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问题的提出问题的提出泰勒级数泰勒级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数来来的的问问题题。和和函函数数。现现在在研研究究反反过过并并用用它它的的分分析析性性质质求求收收敛敛区区间间的的收收敛敛半半径径已已讨讨论论它它给给定定一一个个幂幂级级数数,3,)(00 nnnxxa.,)()(00函函数数即即用用一一无无穷穷级级数数来来表表达达级级数数，将将其其表表成成幂幂数数问问题题的的提提出出：已已知知一一函函 nnnxxaxf问题问题:2.如果能展开如果能展开,是什么是什么?na3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1.在什么条件下函数才能展开成幂级数在什么条件下函数才能展开成幂级数?一、问题的提出一、问题的提出二、泰勒级数二、泰勒级数则则阶阶导导数数的的某某个个邻邻域域内内有有直直到到在在若若,1)(0 nxxf)()()1()()(!)()()()(00)(000 xRxpxRxxnxfxxxfxfxfnnnnn ),()()!1()()(:010)1(之之间间在在其其中中xxxxnfxRnnn 1.复习泰勒公式复习泰勒公式任任意意阶阶导导数数在在所所讨讨论论的的邻邻域域内内具具有有若若)(xf:)1(:的的右右边边总总可可写写成成幂幂级级数数泰泰勒勒公公式式形形式式上上)2()(!)()(!2)()()(00)(200000nnxxnxfxxxfxxxfxf称为称为f(x)的泰勒级数的泰勒级数f(x)?2.泰勒级数概念泰勒级数概念?)(,?)2(xf和和函函数数是是否否就就是是若若收收敛敛是是否否收收敛敛)(0)(lim)()(,)()(000 xUxxRxfxfxUxxfnn 泰泰勒勒公公式式的的余余项项：的的勒勒级级数数在在该该区区间间内内能能展展开开成成泰泰内内任任意意阶阶可可导导的的某某个个邻邻域域在在点点设设定理定理).2()(,)(),()2(可可展展成成幂幂级级数数即即级级数数就就可可表表示示成成它它的的那那么么收收敛敛于于若若xfTalorxfxf问题问题:3.函数展开成泰勒级数的充要条件函数展开成泰勒级数的充要条件nnnnnxxnxfxxxfxfxSxRxSxfxf)(!)()()()()()()()(00)(00011 的的泰泰勒勒公公式式：证明证明即即就就可可表表达达成成泰泰勒勒级级数数故故函函数数数数就就为为的的泰泰勒勒级级数数收收敛敛且且和和函函时时，当当内内故故在在,)()()(0)(lim,)(0 xfxfxfxRxUnn )3()(,)(!)()()()(000)(000 xUxxxnxfxxxfxfxfnn 0)(lim)()(lim)(10 xRxfxSxxUnnnn内内的的一一切切对对于于)()()(1xSxfxRnn 4.展开式的唯一性展开式的唯一性!)0(,)4()()5()5()(:)(2210nfaxfxaxaxaaxfnnnn系数即，的麦克劳林级数式称为要证能 xannnanxfxannxaaxfxnaxaxaaxfnnnnnnn1)(232123212)1()1(!)()1(23!2)(32)(导导在收敛区间内可逐项求在收敛区间内可逐项求事实上事实上)5(:,!)0(,!2)0()0()0(0)(210nfafafafaxnn 代代入入得得将将且且展展开开式式是是唯唯一一的的。的的泰泰勒勒级级数数内内能能展展成成点点在在重重要要结结论论,0)(lim)(:000RxxxRxRxxxfnn nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(!2)()()()(00)(200000nnxnfxfxffxfx)0(!)0()0(!2)0()0)(0()0()(0:)(20时当特别的的麦麦克克劳劳林林级级数数)(xf)(0)()!1()(lim)(lim)3()2(),2,1,0)(,()()1(010)1(00)(之之间间与与在在内内考考察察确确定定收收敛敛半半径径写写出出泰泰勒勒级级数数求求泰泰勒勒级级数数作作出出xxxxnfxRRxxRnxfxfnnnnnn 三、函数展开成幂级数三、函数展开成幂级数1.直接展开法直接展开法nnxnxnxxxxfnfexf!1!31!211)()2,1,0(1)0()()1(32)()(的麦克劳林级数)0()(0林林级级数数处处的的泰泰勒勒级级数数或或麦麦克克劳劳或或在在的的幂幂展展开开成成幂幂级级数数。按按将将 xxexfx例例1解解 Rnnaannnn0)!1(!limlim)2(1xxnexRnn 0)!1()()3(1 0)!1(limlim),(!(0!lim010 nnnnnnnnxxneRnxnxeex 绝绝对对收收在在且且对对任任何何指指定定的的),()1(!1!31!21132xxnxxxenx展展开开为为麦麦克克劳劳林林级级数数将将xxfsin)(121753)(1)()()!12()1(!71!51!310,1,0,1,0,1,0,1)0(0)0(),2,1(12)1(202sin)0()3,2,1()2sin()()1(kknnkkxkxxxxffnnknkkfkkxxf 例例2解解)2()!12()1(!71!51!31sin121753 nnxnxxxxx)(x0)!1()!1()sin()()3(1121 kkkkkkxxkxR R)2(为为任任一一实实数数其其中中的的幂幂级级数数展展成成mxxxfm,)1()()5(!)1()1(!2)1(1)1()2)(1()0()1)(1()2)(1()()1(2)()(nnnmnxnnmmmxmmmxnmmmmfxnmmmmxf11)1(lim)1()1(!)!1()()1(limlim)2(1 Rnnmnmmmnnnmmmaannnnn例例3解解)()5()3(xF收敛于收敛于设设mxxF)1()(下面证明下面证明)!1()1()1(!2)2)(1(!111)(12 nxnnmmxmmxmmxF0100111(1)()(1)()(1)!(1)()(1)()!(1)()(1)(1)!(1)!(1)()(1)(1)!(1)!(1)(1)nnnnnnnnnnnnmmnx Fxx mxnm mmnm mmnxxnnm mmnm mmnmxxnnm mmnm mmnmxnnm mmnmm10!(1)(2)(1)()!nnnnxnm mmmnmxmF xnmmmmxxFxCxxxmFxFxxxFxxFx)1()(1)(1)0()(0)1()()()1()1()(1)0()0()1()()(21 显显然然令令)3()11(!)1()2)(1(!2)1(1)1(2 xxnnmmmmxmmmxxnm.,)3(,代代数数学学中中的的二二项项式式定定理理次次多多项项式式的的为为级级数数为为正正整整数数时时当当mxm确确定定式式端端点点的的情情况况由由m)3(注有有时时当当,21,1 m)1,1()1(11132 nnxxxxx 1,1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx1,1(!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘.,计计算算也也是是简简单单的的究究余余项项的的工工作作而而我我们们可可以以避避免免直直接接研研相相同同结结果果有有用用此此方方法法展展开开与与直直接接法法成成幂幂级级数数是是唯唯一一的的成成幂幂级级数数。因因为为函函数数展展变变量量代代换换等等，将将函函数数展展级级数数的的代代数数与与分分析析运运算算利利用用已已知知的的展展开开式式及及幂幂用直接展开法（用直接展开法（1）计算）计算f(n)(x0)工作量大工作量大;.0)(lim2难难）证证明明（xRnn2.间接展开法间接展开法处处展展成成泰泰勒勒级级数数在在将将0cos)(xxxf)(sincosxx 注注意意到到),()4()!2()1()!22()1(!61!41!211cos2221642 xkxkxxxxxkkkk 121753)!12()1(!71!51!31sinnnxnxxxxx将上式两边对将上式两边对x求导求导:解解例例3的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf)1ln()()11()1(11)1(ln(111 xxxxnnn)5()11()1()1ln(11 xnxxnnn 1011)1()1ln(nxnnxodxxdxx例例4 解解)1(),(!131!21132 xxnxxxenx)2(),()!12()1(!71!51!31sin121753 xxnxxxxxnn)3(),()!2()1()!22()1(!61!41!211cos21642 xkxkxxxxkkk)5()11(!)1()2)(1(!2)1(1)1(2 xxnnmmmmxmmmxxnm)4()11()1()1ln(11 xnxxnnn的的麦麦克克劳劳林林级级数数及及求求xxarctan112 1)1(11126422 xxxxxxnn112)1(53110arctanarctan125302 xnxxxxdxxxnnx例例5解解)1(211 21)1(2131 xxx的的幂幂级级数数展展成成将将)1(31 xx例例6 解解1 21)1(21312 nttttx,)1(21tx 令令21)21()21(211 212 xxxxn的的幂幂级级数数展展成成将将)4(sin xx)4sin()4cos(21)4sin(4cos)4cos(4sin)4(4sin(sin xxxxxx xxxxxxx!5)4(!4)4(!3)4(!2)4()4(1 21sin5432 例例7解解
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