微分方程模型之人口增长模型

退 出前一页后一页传染病模型学习小结传染病模型学习小结一一 常用传染病模型类型常用传染病模型类型微分方程模型微分方程模型1 1指数增长模型指数增长模型2 SI2 SI模型模型(logistic(logistic模型模型)3 SIS3 SIS模型模型4 SIR4 SIR模型模型二二 SASSAS传播模型中的收获传播模型中的收获 增加人群分类，构建增加人群分类，构建SEIRSEIR或或SEPIRSEPIR模型模型 关于经济的正面或负面影响地分析关于经济的正面或负面影响地分析 学会全面地看问题学会全面地看问题 写作是建模学习的一个重要内容写作是建模学习的一个重要内容.退 出前一页后一页背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长退 出前一页后一页常用的计算公式常用的计算公式x(t)时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数()()()x ttx tr x tt 今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0,(0)dxrxxxdt 0()()rtx tx e 0(1)txr 随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长退 出前一页后一页指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)退 出前一页后一页人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设)0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxr退 出前一页后一页dxrxdt)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)退 出前一页后一页参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1退 出前一页后一页模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/)1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为实际为281.4(百万百万)5.274)2000(x阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)指数增长模型指数增长模型0,(0)dxrxxxdt ()(1)mdxxr x xrxdtx 退 出前一页后一页模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0退 出前一页后一页5.6 人口预测和控制人口预测和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),(年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口人口发展发展方程方程的人口）年龄人口分布函数rtrF(),(人口密度函数),(trp人口总数)(tN最高年龄)(mr退 出前一页后一页),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口发展方程人口发展方程死亡率),(trdrtrp),(人数年龄,drrrt死亡人数内),(dttt人数年龄,11drdrrdrrdtt1drdt 一阶偏微分方程一阶偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(1退 出前一页后一页0),(),0(0),()0,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt)(tfrt rt)(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(退 出前一页后一页21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性别比函数女性)(),(trk生育数女性)(),(trb育龄区间,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rr退 出前一页后一页rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率)(t总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大退 出前一页后一页mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/)()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t)计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高退 出前一页后一页本节学习要求本节学习要求1 熟练掌握指数增长和logistic模型的构建2 掌握指数增长和logistic模型参数的确定方法3 掌握指数增长和logistic模型参数的验证方法日期日期开盘开盘收盘收盘交易量交易量20060125200601251,163.881,163.881,258.051,258.05451,695,086451,695,08620060228200602281,263.001,263.001,299.031,299.03466,549,964466,549,96420060331200603311,299.151,299.151,298.301,298.30502,812,897502,812,89720060428200604281,298.681,298.681,440.221,440.22825,969,500825,969,50020060531200605311,446.991,446.991,641.301,641.301,156,306,2181,156,306,21820060630200606301,639.671,639.671,672.211,672.21985,911,905985,911,90520060731200607311,677.311,677.311,612.731,612.73837,135,633837,135,63320060831200608311,619.631,619.631,658.641,658.64631,743,902631,743,90220060929200609291,658.661,658.661,752.421,752.42782,391,998782,391,99820061031200610311,768.141,768.141,837.991,837.99802,099,313802,099,31320061130200611301,838.681,838.682,099.292,099.291,193,314,4801,193,314,48020061229200612292,106.302,106.302,675.472,675.471,523,273,0391,523,273,03920070131200701312,728.192,728.192,786.342,786.34114,021,217114,021,21720070228200702282,744.812,744.812,881.072,881.07857,208,999857,208,99920070330200703302,877.202,877.203,183.983,183.98647,300,270647,300,27020070416200704163,196.593,196.593,596.443,596.44110,402,529110,402,529练习：2006年1月至2007年4月上证指数历史数据如下。建立指数增长模型和logistic模型；进行模型验证；并分别进行为期2个月的预测。男生用开盘价做，女生用收盘价做。