资源描述
第十节 导数及其运算内内 容容要要 求求A AB BC C导数的概念导数的概念导数的几何意义导数的几何意义导数的运算导数的运算三年三年2 2考考 高考指数高考指数:1.1.导数的定义及其几何意义导数的定义及其几何意义(1)(1)定义：设函数定义：设函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上有定义，上有定义，x0(a,b)x0(a,b)，当当xx无限趋近于无限趋近于0 0时，比值时，比值 =_ =_无限趋近无限趋近于一个常数于一个常数A A，那么称常数，那么称常数A A为函数为函数f(x)f(x)在在x=x0 x=x0处的导数，记作处的导数，记作f(x0).f(x0).(2)(2)导数的几何意义：函数导数的几何意义：函数y=f(x)y=f(x)在在x=x0 x=x0处的导数的几何意处的导数的几何意义是曲线义是曲线y=f(x)y=f(x)在点在点_处的切线的斜率处的切线的斜率.yx00f xxf xx(x0,f(x0)(x0,f(x0)【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索：思索：f(x)f(x)与与f(x0)f(x0)有何区别？有何区别？提示：提示：f(x)f(x)是是x x的函数，的函数，f(x0)f(x0)只是只是f(x)f(x)的一个函数值的一个函数值.(2)(2)曲线曲线y=x2y=x2在点在点(1,1)(1,1)处的切线斜率是处的切线斜率是_._.【解析】【解析】y=2xy=2x，曲线曲线y=x2y=x2在点在点(1,1)(1,1)处的切线斜率是处的切线斜率是2.2.答案：答案：2 2(3)(3)函数函数f(x)=lnxf(x)=lnx的图象在点的图象在点(e,f(e)(e,f(e)处的切线方程是处的切线方程是_._.【解析】【解析】f(e)=f(e)=，所求的切线方程为所求的切线方程为y-f(e)=f(e)(x-e)y-f(e)=f(e)(x-e)，即，即y-lne=(x-e)y-lne=(x-e)，化简为，化简为x-ey=0.x-ey=0.答案：答案：x-ey=0 x-ey=0 x e11|xe1e2.2.根本初等函数的求导公式根本初等函数的求导公式基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式(C)=_(C)=_(x(x)=_()=_(为常数为常数)(sinx)=_(sinx)=_(cosx)=_(cosx)=_(e(ex x)=_)=_ (a(ax x)=_(a=_(a0,0,且且a a1)1)(lnx)=_(lnx)=_(log(loga ax)=_x)=_(a(a0,0,且且a1,x0)a1,x0)0 0 x-1x-1cosxcosx-sinx-sinxexexaxlnaaxlna1xa11log exxlna【即时运用】【即时运用】(1)y=x-5(1)y=x-5，那么，那么y=_.y=_.(2)y=4x(2)y=4x，那么，那么y=_.y=_.(3)y=log3x(3)y=log3x，那么，那么y=_.y=_.(4)y=sin (4)y=sin ，那么，那么y=_.y=_.3【解析】【解析】(1)y=x-5(1)y=x-5，y=-5x-6.y=-5x-6.(2)y=4x,y=4xln4.(2)y=4x,y=4xln4.(3)y=log3x,y=.(3)y=log3x,y=.(4)y=sin ,y=0.(4)y=sin ,y=0.答案：答案：(1)-5x-6 (2)4xln4 (3)(4)0(1)-5x-6 (2)4xln4 (3)(4)01xln331xln33.3.导数的运算法那么导数的运算法那么假设假设y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x)的导数存在，那么的导数存在，那么(1)(1)Cf(x)Cf(x)=Cf(x)(C=Cf(x)(C为常数为常数)；(2)f(x)(2)f(x)g(x)=_g(x)=_；(3)f(x)g(x)=_(3)f(x)g(x)=_；(4)=_(g(x)0).(4)=_(g(x)0).f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f xg(x)2fx g xf x g xg(x)【即时运用】【即时运用】(1)y=x3+sinx(1)y=x3+sinx，那么，那么y=_.y=_.(2)y=x4-x2-x+3(2)y=x4-x2-x+3，那么，那么y=_.y=_.(3)y=(2x2+3)(3x-2)(3)y=(2x2+3)(3x-2)，那么，那么y=_.y=_.【解析】【解析】(1)y=(x3)+(sinx)=3x2+cosx.(1)y=(x3)+(sinx)=3x2+cosx.(2)y=4x3-2x-1.(2)y=4x3-2x-1.(3)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)(3)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.或：或：y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.答案：答案：(1)3x2+cosx (2)4x3-2x-1 (3)18x2-8x+9(1)3x2+cosx (2)4x3-2x-1 (3)18x2-8x+9 导数的运算导数的运算【方法点睛】【方法点睛】求函数导数的方法求函数导数的方法遵照先化简后求导的原那么遵照先化简后求导的原那么.乘积的方式化为和、差方式；根式乘积的方式化为和、差方式；根式化为分数指数幂的方式；较为复杂的公式化为简单的和或差；化为分数指数幂的方式；较为复杂的公式化为简单的和或差；熟记导数公式和求导法那么是关键熟记导数公式和求导法那么是关键.【例【例1 1】(1)(2021(1)(2021无锡模拟无锡模拟)函数函数f(x)=f(x)=的导函数是的导函数是_._.(2)(2)求以下函数的导数求以下函数的导数.y=x2sinxy=x2sinx；y=y=【解题指南】【解题指南】(1)(1)利用导数公式计算利用导数公式计算.(2)(2)利用积的导数法那么；利用商的导数法那么或先化简分利用积的导数法那么；利用商的导数法那么或先化简分式再求导式再求导.【规范解答】【规范解答】(1)f(x)=.(1)f(x)=.答案答案:xexxxe1.e1xxx22ex1e xexxx2ex1x(2)(2)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.方法一：方法一：y=y=.=.方法二：方法二：y=,y=,y=1+(),y=1+(),即即y=y=xxxx2xe1e1e1 e1e1 xxxxx22xxee1e1 e2ee1e1xxxe1221e1e1 x2e1x2x2e.e1【互动探求】把本例【互动探求】把本例(2)(2)中的函数改为中的函数改为y=y=，如何求，如何求导？导？【解析】【解析】y=.y=.5x x5x x325x35122231515y5()xx.222xx 【反思【反思感悟】准确熟练地掌握根本初等函数的导数和导数的感悟】准确熟练地掌握根本初等函数的导数和导数的运算法那么，根据所给函数解析式的特点，灵敏选择解题方法运算法那么，根据所给函数解析式的特点，灵敏选择解题方法决议了解题能否正确、顺利决议了解题能否正确、顺利.【变式备选】求以下函数的导数：【变式备选】求以下函数的导数：(1)y=(1+)(1+)(1)y=(1+)(1+)；(2)y=3xex-lnx+e.(2)y=3xex-lnx+e.【解析】【解析】(1)y=,(1)y=,(2)y=3xexln(3e)-.(2)y=3xexln(3e)-.x1x11221(1x)(1)2xxx312211yxx.22 1x 导数的几何意义导数的几何意义【方法点睛】【方法点睛】1.1.导数的几何意义导数的几何意义函数在切点处的导数是该点处切线的斜率函数在切点处的导数是该点处切线的斜率.2.2.导数几何意义的运用导数几何意义的运用知切点坐标可以求斜率，知斜率也可以求切点坐标知切点坐标可以求斜率，知斜率也可以求切点坐标.当所给的点当所给的点A(x0,y0)A(x0,y0)是切点时，切线斜率是切点时，切线斜率k=f(x0).k=f(x0).当所给的点当所给的点M(a,b)M(a,b)不是切点时，可以设出切点不是切点时，可以设出切点P(x0,y0)P(x0,y0)，那么那么f(x0)=.f(x0)=.【提示】审题时留意所给点能否是切点【提示】审题时留意所给点能否是切点.00ybxa【例【例2 2】(1)(2021(1)(2021湖南高考改编湖南高考改编)曲线曲线y=y=在点在点M(,0)M(,0)处的切线的斜率为处的切线的斜率为_._.(2)(2021(2)(2021山东高考改编山东高考改编)曲线曲线y=x3+11y=x3+11在点在点P(1P(1，12)12)处的切线处的切线与与y y轴交点的纵坐标是轴交点的纵坐标是_._.【解题指南】利用导数的几何意义，【解题指南】利用导数的几何意义，(1)(1)可以求出切线斜率；可以求出切线斜率；(2)(2)先求出切线方程，再得到与先求出切线方程，再得到与y y轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标.sinx1sinxcosx24【规范解答】【规范解答】(1)y=(1)y=所以所以答案：答案：(2)y=3x2(2)y=3x2，切线斜率为切线斜率为3,3,切线方程为切线方程为y=3x+9y=3x+9，与，与y y轴交轴交点的纵坐标是点的纵坐标是9.9.答案：答案：9 92cosx sinxcosxsinx cosxsinxsinxcosx21,sinxcosxx2411y|.2(sincos)4412【互动探求】假设将本例【互动探求】假设将本例(2)“(2)“在点在点P(1P(1，12)12)处改为处改为“过点过点P(1P(1，12)12)，将如何求解？，将如何求解？【解析】当【解析】当P P为切点时，由本例为切点时，由本例(2)(2)知，切线与知，切线与y y轴交点的纵轴交点的纵坐标为坐标为9.9.当当P P不是切点时，设切点坐标为不是切点时，设切点坐标为(x0,y0)(x0,y0)，那么那么 ，即，即 ，解得，解得x0=-x0=-切点为切点为(-,)(-,)，切线方程为，切线方程为 与与y y轴交点轴交点的纵坐标为的纵坐标为2000y123xx132000 x13xx112，12878345yx44，45.4【反思【反思感悟】感悟】(1)(1)要领会切线定义中的运动变化思想，由割线要领会切线定义中的运动变化思想，由割线切线，由两个不同的公共点无限接近切线，由两个不同的公共点无限接近重合重合(切点切点).).(2)(2)利用导数的几何意义求曲线的有关切线的问题时，一定要抓利用导数的几何意义求曲线的有关切线的问题时，一定要抓住切点的三个主要特征：在曲线上，在切线上，该点处的导数住切点的三个主要特征：在曲线上，在切线上，该点处的导数是切线斜率是切线斜率.【变式备选】函数【变式备选】函数y=x2(x0)y=x2(x0)的图象在点的图象在点(ak,ak2)(ak,ak2)处的切线与处的切线与x x轴的交点的横坐标为轴的交点的横坐标为ak+1,ak+1,其中其中kNkN*，假设，假设a1=16a1=16，那么，那么a1+a3+a5a1+a3+a5的值是的值是_._.【解析】由【解析】由y=x2(x0)y=x2(x0)，得，得y=2xy=2x，所以函数所以函数y=x2(x0)y=x2(x0)在点在点(ak,ak2)(ak,ak2)处的切线方程为：处的切线方程为：y-ak2=2ak(x-ak),y-ak2=2ak(x-ak),当当y=0y=0时，解得时，解得x=,x=,所以所以ak+1=,a1+a3+a5=16+4+1=21.ak+1=,a1+a3+a5=16+4+1=21.答案：答案：21 21 ka2ka2【易错误区】导数几何意义运用的易错点【易错误区】导数几何意义运用的易错点【典例】【典例】(2021(2021杭州模拟杭州模拟)假设存在过点假设存在过点(1(1，0)0)的直线与曲线的直线与曲线y=x3y=x3和和y=ax2+x-9y=ax2+x-9都相切，那么都相切，那么a=_.a=_.【解题指南】由于点【解题指南】由于点(1,0)(1,0)不在曲线不在曲线y=x3y=x3上，所以应从设切点上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线入手来求切线方程，再利用切线与曲线y=ax2+x-9y=ax2+x-9相切求相切求a a的值的值.154154【规范解答】设过【规范解答】设过(1,0)(1,0)的直线与的直线与y=x3y=x3相切于点相切于点(x0,)(x0,)，所，所以切线方程为以切线方程为y-=(x-x0),y-=(x-x0),即即 ，又，又(1,0)(1,0)在切线上，那么在切线上，那么x0=0 x0=0或或x0=x0=当当x0=0 x0=0时，由时，由y=0y=0与与y=ax2+x-9y=ax2+x-9相切可得相切可得a=-a=-当当x0=x0=时，由时，由y=x-y=x-与与y=ax2+x-9y=ax2+x-9相切可得相切可得a=-1.a=-1.答案：答案：-1-1或或-30 x30 x203x2300y3x x2x32，1542564，322742741542564【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示和备考建议：误误区区警警示示 在解答本题时有两个易错点：在解答本题时有两个易错点：(1)(1)审题不仔细，未对点审题不仔细，未对点(1(1，0)0)的位置进行判断，误认为的位置进行判断，误认为(1,0)(1,0)是切点；是切点；(2)(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系.备备考考建建议议 解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：时要高度关注：(1)(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握；基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握；(3)(3)对于直线的方程与斜率公式的求解要熟练对于直线的方程与斜率公式的求解要熟练.1.(20211.(2021重庆高考改编重庆高考改编)曲线曲线y=-x3+3x2y=-x3+3x2在点在点(1,2)(1,2)处的切线方处的切线方程为程为_._.【解析】由【解析】由y=-3x2+6xy=-3x2+6x知知,切线斜率为切线斜率为k=-3+6=3.k=-3+6=3.所以切线方程所以切线方程为为y-2=3(x-1),y-2=3(x-1),即即y=3x-1y=3x-1，即，即3x-y-1=0.3x-y-1=0.答案：答案：3x-y-1=03x-y-1=02.(20212.(2021无锡模拟无锡模拟)曲线曲线y=x-y=x-上任一点处的切线与直线上任一点处的切线与直线x=0 x=0，y=xy=x分别相交于分别相交于A A，B B两点，两点，O O是坐标原点，那么是坐标原点，那么OABOAB的的面积是面积是_._.1x【解析】设曲线【解析】设曲线y=x-y=x-上任一点为上任一点为(x0,y0)(x0,y0)，y=1+,y=1+,故过任一点故过任一点(x0,y0)(x0,y0)处的切线方程为处的切线方程为y-y0=(1+)(x-x0)y-y0=(1+)(x-x0)，令令x=0 x=0得：得：y=,y=,令令x=yx=y，解得，解得x=y=2x0 x=y=2x0答案：答案：2 21x21x201x02xAOB0012S|2x2.2x3.(20213.(2021南京模拟南京模拟)曲线曲线C C：f(x)=ex+sinx+1f(x)=ex+sinx+1在在x=0 x=0处的切线方处的切线方程为程为_._.【解析】【解析】f(x)=ex+cosx.f(x)=ex+cosx.f(0)=e0+cos0=2.f(0)=e0+cos0=2.f(0)=e0+sin0+1=2.f(0)=e0+sin0+1=2.故切线方程为故切线方程为y-2=2(x-0).y-2=2(x-0).即即2x-y+2=0.2x-y+2=0.答案：答案：2x-y+2=02x-y+2=0
展开阅读全文