7-3 区间估计

第第6.36.3节节 参数的区间估计参数的区间估计一一.区间估计的根本概念区间估计的根本概念二二.正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计三三.小结小结 引言引言 前面，我们讨论了参数的点估计前面，我们讨论了参数的点估计,它是用样本算得的一个估计值去估计未它是用样本算得的一个估计值去估计未知参数知参数.但是，点估计值仅仅是未知参但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，这是点估计的一个缺似值的误差范围，这是点估计的一个缺陷。下面我们将介绍的区间估计正好弥陷。下面我们将介绍的区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷补了点估计的这个缺陷.一、区间估计的根本概念一、区间估计的根本概念1.置信区间的定义置信区间的定义存在两个统计量存在两个统计量，的样本，若对于给定值的样本，若对于给定值为为为未知参数，为未知参数，的分布函数为的分布函数为设总体设总体)10(X,);(21 nXXXxFX 1),(),(2121222111PXXXXXXnn满足满足和和 1,21的的置置信信度度为为是是则则称称区区间间的的置置信信区区间间的的分分别别称称为为和和的的置置信信区区间间21 ,.1 ,称称为为置置信信度度置置信信下下限限和和置置信信上上限限 关于定义的说明关于定义的说明.,21是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个个常常数数虽虽然然未未知知被被估估计计的的参参数数 :1的的本本质质是是因因此此定定义义中中以以下下表表达达式式 21P112,.区区间间以以的的概概率率包包含含着着参参数数 的的真真值值 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间,21 内内.由定义可见，由定义可见，11 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限两个只依赖于样本的界限 22 )(21 (X1,Xn)(X1,Xn)2.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(共共3步步)12121(),:(,;),().nnXXXZZ XXXZ 寻寻求求一一个个样样本本的的函函数数其其中中仅仅包包含含待待估估参参数数并并且且 的的分分布布已已知知且且不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参数数 包包括括.1);,(,)2(21 bXXXZaPban使使决决定定出出两两个个常常数数对对于于给给定定的的置置信信度度,1 ,);,(2121其其中中不不等等式式等等价价的的得得到到若若能能从从 bXXXZan)3(11222121(,),(,)nnXXXXXX .1 ,21的的置置信信区区间间置置信信度度为为的的一一个个就就是是那那么么都都是是统统计计量量 .,1,区区间间估估计计精精度度降降低低可可信信程程度度增增大大长长度度增增大大置置信信区区间间增增大大置置信信度度固固定定样样本本容容量量 n.,1区区间间估估计计精精度度提提高高可可信信程程度度不不变变长长度度减减小小置置信信区区间间增增大大样样本本容容量量固固定定置置信信度度n .,),(,12*221修修正正样样本本方方差差分分别别是是样样本本均均值值和和的的样样本本总总体体为为并并设设设设给给定定置置信信度度为为nnSXNXXX 二、正态总体均值与方差的区间估计二、正态总体均值与方差的区间估计已已知知2)1(1 的置信区间为的置信区间为的一个置信度为的一个置信度为 的的置置信信区区间间均均值值 1.I.单个正态总体均值与方差的区间估计单个正态总体均值与方差的区间估计 ,X 的的无无偏偏估估计计是是因因为为),1,0(/NnXU 且且 )1,0(中不含任何未知参数中不含任何未知参数分布分布N推导过程如下推导过程如下:.,2/2/unXunX ,/12unXP,/122unXunXP即即 分分位位点点的的定定义义知知由由标标准准正正态态分分布布的的上上.,1 2/2/unXunX的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成.2 /unX其置信区间的长度为其置信区间的长度为.22/un 包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了1212包糖包糖,称得重量称得重量(单单位位:克克)分别为分别为506,500,495,488,504,486,505,506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布,解解,12,10 n,92.502 x计计算算得得样样本本均均值值,10.0)1(时时当当 645.1 05.02/uu查查表表得得0.05).0.10(1 10,和和分别取分别取置信区间置信区间的的试求糖包的平均重量试求糖包的平均重量且标准差为且标准差为附表附表2-12-1,95.021 例例1 2/unx645.1121092.502 ,67.507 2/unx645.1121092.502 ,17.498 90%的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为即即.,.6750717498,05.0)2(时时当当 ,975.021 02502./uu 95%的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为同同理理可可得得.,.5850826497.,1 ;,1 ,置置信信区区间间也也较较小小较较小小时时当当置置信信度度置置信信区区间间也也较较大大较较大大时时当当置置信信度度从从此此例例可可以以看看出出 附表附表2-22-2,96.1查表得查表得 从以上解题过程还可以看出，求未知参数的区间从以上解题过程还可以看出，求未知参数的区间 估计最关估计最关 键一步是，选择适宜的函数并求出它的键一步是，选择适宜的函数并求出它的分布；其次是对给定的分布；其次是对给定的 实数实数 ，查分位数表，查分位数表求出分位点，通过不等式变形得到参数的区间求出分位点，通过不等式变形得到参数的区间估计估计。我们从以上步骤看出我们从以上步骤看出区间估计中，选择函数是关区间估计中，选择函数是关键，给定键，给定 查数表，不等式变形即得置信区间。查数表，不等式变形即得置信区间。,)2(2为为未未知知 1 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为 .)1(),1(2/*2/*ntnSXntnSXnn推导过程如下推导过程如下:简记为简记为.)1(2/*ntnSXn ,2*22*替换替换可用可用的无偏估计的无偏估计是是但因为但因为nnnSSS ,2直接使用此区间不能中含有未知参数由于区间 /unX,1)1()1(2/*2/*ntnSXntnSXPnn即即 1 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为于于是是得得 .)(/*12ntnSXn1*(),/nXt nSn 又又根根据据前前面面章章节节的的定定理理知知,1)1(/)1(2/*2/ntnSXntPn故故解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋,称得重称得重量量(克克)如下如下:496509502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值试求总体均值,151 0.05,n :)1(分布表可知分布表可知查查 nt)15(025.0t,.,.*2022675503 nsx计算得 .0.95 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 附表附表3-13-1,1315.2例例2 5%9 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为得得 1315.2162022.675.503.,.15074500即即就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间,这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%.).(61.621315.2162022.6 克克其其误误差差不不大大于于 ,的的近近似似值值为为若若依依此此区区间间内内任任一一值值作作 这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%.95%,),(2的置信区间的置信区间的的试求糖包重量试求糖包重量 N解解,12,n未知未知此时此时,92.502 0.05,x,.*3512 ns :)1(分布表可知分布表可知查查 nt)11(025.0t,.)(/*85720121235121 2 ntnsn于是 5%9 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为得得.,.7751007495,201.2附表附表3-23-2例例3(续例续例1)1)如果只假设糖包的重量服从正态分布如果只假设糖包的重量服从正态分布解解).(,1 ,),(,22221LELNXXXn求求的的置置信信区区间间的的长长度度的的置置信信度度为为关关于于是是设设随随机机变变量量为为未未知知参参数数和和其其中中的的样样本本是是来来自自正正态态总总体体设设 ,2未未知知时时当当 ,11 2 )(/*ntnSXn的置信区间为的置信度为 ,12 2)(/*ntnSLn置信区间长度例例4 ,14 2222)(/*ntnSLn nii2*nXXnE(SE 1211)()又 21211XnXnEnii )()(11212XnEXEnnii )()()()(XEXDnXEXDnniii21211 2212211 nnnni,2 ntnSELE 2n )()(/*14222于是)()(*/2214n2SEntn .)1(4222/ntn推导过程如下推导过程如下:,S 22n的无偏估计是因为*),()(*11222 nSnn根据前面章节的定理知根据前面章节的定理知 1 2的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为方方差差 .)1()1(,)1()1(22/12*22/2*nSnnSnnn .,未知的情况未知的情况只介绍只介绍根据实际需要根据实际需要 2的置信区间的置信区间方差方差 II.1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 ,1)1()1()1(22/22*22/1 nSnnPn故故 ,1)1()1()1()1(22/12*222/2*nSnnSnPnn即即 .)1()1(,)1()1(22/12*22/2*nSnnSnnn 1 的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为标标准准差差 .)1(1,)1(122/1*22/*nSnnSnnn 进一步可得进一步可得:注意注意:在密度函数不对称时在密度函数不对称时,2分分布布分分布布和和如如F 习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图).(续例续例2)求例求例2 2中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间.解解,151 0.975,21 0.025,2 n :)1(2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025.0,.*20226 ns 计算得)15(2975.0 代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间.,.609584附表附表4-14-1,488.27,262.6附表附表4-24-2例例52、两个正态总体均值与方差的区间估计、两个正态总体均值与方差的区间估计 12212112122222121*,(,),(,),.nnXXXNYYYNXYSS 给给定定置置信信度度为为并并设设为为第第一一个个总总体体的的样样本本为为第第二二个个总总体体的的样样本本分分别别是是第第一一、二二个个总总体体的的样样本本均均值值分分别别是是第第一一、二二个个总总体体的的修修正正样样本本方方差差两两总总体体相相互互独独立立，讨论两个总体讨论两个总体均值差均值差和和方差比方差比的估计问题的估计问题.,)1(2221均均为为已已知知和和 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .nnuYX 2221212/,21的的无无偏偏估估计计分分别别是是因因为为 YX推导过程如下推导过程如下:,21的的无无偏偏估估计计是是所所以以 YX 21的的置置信信区区间间两两个个总总体体均均值值差差 I.,的的独独立立性性及及由由YX,1211 nNX ,2222 nNY ,22212121 nnNYX 可可知知 ,1,0 22212121NnnYX 或或 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为于于是是得得 .nnuYX 2221212/,)2(2221均均为为未未知知和和 ),50(21则则有有即即可可实实用用上上都都很很大大和和只只要要 nn 1 21的的近近似似置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .nSnSuYX 2221212*/,)3(222221为未知为未知但但 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .11)2(21212/nnSnntYXw.,)()(*2212222112211wwwSSnnSnSnS 其中例例6机床厂某日从两台机床加工的零件中机床厂某日从两台机床加工的零件中,分别分别抽取抽取 假设干个样品假设干个样品,测得零件尺寸分别如下测得零件尺寸分别如下(单单位位:cm):第一台机器第一台机器 6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.8 5.7,6.0,6.0,5.8,6.0 第二台机器第二台机器 5.6,5.9,5.6,5.7,5.8 6.0,5.5,5.7,5.5 假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布,且且方差相等方差相等,试求两机床加工的零件平均尺寸之试求两机床加工的零件平均尺寸之差的差的区间估计区间估计)05.0(解解 用用 X 表示第一台机床加工的零件尺寸表示第一台机床加工的零件尺寸,用用 Y 表示第二台机床加工的零件尺寸表示第二台机床加工的零件尺寸 由题设由题设05.0,9,1121 nn1009.2)18(025.0 t查查表表得得分分位位数数为为64.0)1(2112*111 xnxSnnii24.0)1(2212*221 ynySnnii 2)1()1(212*222*11nnSnSnS 经计算，得经计算，得2211.0291124.064.0 0.6 x7.5 y0912.011)18(21025.0 nnStyx 5088.011)18(21025.0 nnStyx 置信下限置信下限置信上限置信上限故所求故所求 的置信度为的置信度为95%的置信的置信区间为区间为 0.0912,0.5088.21 .,21为为未未知知的的情情况况仅仅讨讨论论总总体体均均值值 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .),(,),(/*/*111111212122212122221nnFSSnnFSS推导过程如下推导过程如下:),1()1(12212*11 nSn 由由于于 ),1()1(22222*22 nSn 2221的的置置信信区区间间两两个个总总体体方方差差比比 II.Sn Sn 22,)()(*相互独立与且由假设知2222121111 根据根据F分布的定义分布的定义,知知 nnFSS),(*112122222121 SS 22222121*即 nSnnSn)()()()(*1111222222121211 ),1,1(21 nnF,1 )1,1()1,1(212/222*2212*1212/1 nnFSSnnFP ,1)1,1(1)1,1(1212/12*22*12221212/2*22*1 nnFSSnnFSSP 1 2221的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为于于是是得得 .)1,1(1,)1,1(1212/12*22*1212/2*22*1 nnFSSnnFSS 解解,181 n,132 n例例7 研究由机器研究由机器A和机器和机器B生产的钢管内径生产的钢管内径,随随机抽取机器机抽取机器A生产的管子生产的管子18只只,测得样本方差为测得样本方差为均未知均未知,求方差比求方差比 .900 的的置置的的置置信信度度为为区间区间.设两样本相互独设两样本相互独);(.*221340mms).(.*222290mms 抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子13只只,测测得样本方差为得样本方差为立立,且设由机器且设由机器A和机器和机器B生产的钢管内径分别服生产的钢管内径分别服从正态分布从正态分布),(),(222211 NN)2,1(,2 iii 2221 信信,10.0 ),(.*221340mms ),(.*222290mms ,59.2)12,17()1,1(05.0212/FnnF)12,17()12,17(95.02/1FF ,38.21)17,12(105.0 F .900 2221的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为于于是是得得 38.229.034.0,59.2129.034.0 .79.2,45.0 解解,91 n,62 n,02.0 例例8的置的置甲、乙两台机床加工同一种零件甲、乙两台机床加工同一种零件,在机床甲在机床甲加工的零件中抽取加工的零件中抽取9个样品个样品,在机床乙加工的零件在机床乙加工的零件信区间信区间.假定测量值都服从正态分布假定测量值都服从正态分布,方差分别为方差分别为在置信度在置信度,.*245021 s,.*357022 s由所给数据算得由所给数据算得0.98下下,试求这两台机床加工精度之比试求这两台机床加工精度之比.,2221 21 中抽取中抽取6个样品个样品,并分别测得它们的长度并分别测得它们的长度(单位单位:mm),3.10)5,8()1,1(99.0212/1 FnnF)5,8()5,8(01.02/FF ,63.61)8,5(199.0 F .980 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 ),(,),(/*/*111111212122212122221nnFSSnnFSS .,.3570636245031035702450 .,.13322580 三、小结三、小结 点估计不能反映估计的误差和精度点估计不能反映估计的误差和精度,因此，因此，本节引入了区间估计本节引入了区间估计.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(分三步分三步).1)()(,2121P，有有意意的的，即即对对于于任任置置信信度度率率数数具具有有预预先先给给定定的的高高概概它它覆覆盖盖未未知知参参间间置置信信区区间间是是一一个个随随机机区区 .1的的置置信信区区间间单单个个总总体体均均值值 ,)1(2为已知为已知.unX 2/,)2(2为为未未知知.)(/*12ntnSXn .22的的置置信信区区间间单单个个总总体体方方差差 nSnnSnnn.)()(,)()(/*/*11112212222正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计 .321的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 ,2221均均为为已已知知和和 .nnuYX 2221212/,2221均均为为未未知知和和 .22*212*12/nSnSuYX 当n1,n2充分大时近似置信区间 .42221的的置置信信区区间间两两个个总总体体方方差差比比 ,21为为未未知知总总体体均均值值 nnFSSnnFSS.),(,),(/*/*111111212122212122221 ,222221为为未未知知但但 .11)2(21212/nnSnntYXw 附表附表2-12-1 标准正态分布表标准正态分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645221()(0)2xedx z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.091.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表附表2-2-2 2 标准正态分布表标准正态分布表221()(0)2xedx 附表附表3-13-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表2.1315 )()(ntntP=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.2021附表附表3-3-2 2t分布表分布表 )()(ntntP附表附表4-14-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表27.488 (n)(P22n附表附表4-24-2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n2 分布表分布表6.262 (n)(P22n