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v空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 v曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面1.1.设空间曲线设空间曲线C C的参数方程为的参数方程为:它们在它们在 可导可导,且且,It 0)()()(222 tztytx取定曲线上一点取定曲线上一点).(),(),(),(00000000tztytxPzyxP ),(0001zzyyxxP过曲线过曲线C C上两点的割线方程为上两点的割线方程为10,PP.),(),(),(Ittzztyytxx I).(),(),(0001ttzttyttxP zzzyyyxxx 000或或tzzztyyytxxx 000当当 沿曲线沿曲线C C 时时,即即 割线割线的的极限极限位置就是曲线在点位置就是曲线在点 的切线的切线.1P0P0 t10PP0P则切线方程为则切线方程为.)()()()()()(000000tztzztytyytxtxx 切线的方向向量切线的方向向量)(),(),(000tztytxT 称为曲线称为曲线C C在点的在点的切向量切向量。0P一个平面通过空间曲线一个平面通过空间曲线C C上的一点上的一点),(0000zyxP且与点的切线垂直，称此平面是空间且与点的切线垂直，称此平面是空间0P曲线曲线C C在点的在点的法平面法平面。0P在法平面上任取一点在法平面上任取一点 ,则则),(0000zzyyxxPP 与切向量垂直即与切向量垂直即0),()(),(),(000000 zzyyxxtztytx),(zyxP法平面方程法平面方程法平面方程法平面方程是是0)()()(000000 zztzyytyxxtx或或0)()()()()()(000000 tzztztyytytxxtx例例1求螺旋线求螺旋线btztaytax ,sin,cos在在 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程30 t若空间曲线若空间曲线C C是由函数方程组是由函数方程组 0),(0),(21zyxFzyxF),(000zyxP所确定所确定若方程组在曲线若方程组在曲线C C上一定点上一定点 的某的某邻域邻域满足隐函数组定理的条件，即满足隐函数组定理的条件，即21,FF对对x,y,zx,y,z的偏导数在点的偏导数在点P P的邻域内连续，的邻域内连续，PPpxzFFzyFFyxFF),(),(,),(),(,),(),(212121 不妨设不妨设,0),(),(21 PzyFF且且不同时为零，不同时为零，).(),(xzzxyy 曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为).(),(,xzzxyyxx 切向量切向量).,1(dxdzdxdyT 利用利用 分别对求偏导，求出分别对求偏导，求出21,FFx.,dxdzdxdy,00222111 dxdzzFdxdyyFxFdxdzzFdxdyyFxF则在点某邻域，曲线则在点某邻域，曲线C C可表示为可表示为0 x解得解得.),(),(),(),(,),(),(),(),(21212121zyFFyxFFdxdzzyFFxzFFdxdy 从而可得曲线在点从而可得曲线在点 的的切线方程切线方程：PPPPyxFFzzxzFFyyzyFFxx),(),(),(),(),(),(210210210 法平面方程法平面方程0)(),(),()(),(),()(),(),(021021021 zzyxFFyyxzFFxxzyFFPPP例例2 2求曲线求曲线 在点在点0,6222 zyxzyx法平面方程：法平面方程：切线方程：切线方程：610261 zyx解解.,622221zyxFzyxF ,2,2,2111zzFyyFxxF ,1,1,1222 zFyFxF6),(),(,0),(),(,6),(),(212121 PPPyxFFxzFFzyFF处的切线及法平面方程。处的切线及法平面方程。.0 zx)1,2,1(法向量法向量 Dyxyxfz ),(),(),(000yxz 1 1.设曲面设曲面S S的方程是的方程是 ,),(000zyxM)1),(),(0000 yxfyxfnyx则它的在点则它的在点二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线它在点它在点 可微可微,设曲面设曲面S S的方程是在曲面的方程是在曲面S S.0),(zyxF上任取一点上任取一点 .),(000zyxM),(zyxF满足函数确定的隐函数的条件，曲面满足函数确定的隐函数的条件，曲面S S可表为可表为),(yxfz 则曲面在点则曲面在点M M的的切平面方程切平面方程是是.0)()()(000 zzzFyyyFxxxFMMM则曲面则曲面S S在点在点M M的的法线方程法线方程是是.)()()(000MMMzFzzyFyyxFxx 若若 在点在点M例例3 3 求曲面求曲面 上点上点32323232azyx ),(000zyxP的切平面的方程与法线方程的切平面的方程与法线方程.解解.),(32323232azyxzyxF .32,32,32313231 zFyFxFzyx切平面方程与法线方程分别为切平面方程与法线方程分别为0)()()(031003200310 zzzyyyxxx310031003100 zzzyyyxxx与与 设曲面设曲面S S的方程是的方程是),(),(),(vuzzvuyyvuxx .),(Dvu 取定取定 ,),(00DvuQ 对应曲面上的点对应曲面上的点).,(000zyxM若函数组若函数组 满足定理满足定理),(),(vuyyvuxx 则在点则在点 的邻域存在连续偏的邻域存在连续偏),(00yx导数的反函数组导数的反函数组),(),(yxvvyxuu 代入代入 有有).,(),(yxvyxuzz 曲面曲面S S在点在点M M的法向量为的法向量为 ).1),(,(0000 yxzyxznyxz的推论，的推论，.,vyyzvxxzvzuyyzuxxzuz对对u,vu,v求偏导求偏导解方程组，得解方程组，得),(),(),(),(,),(),(),(),(vuyxvuxzyzvuyxvuzyxz 它的在点的切平面方程是它的在点的切平面方程是),(000zyxM0)(),(),()(),(),()(),(),(000 zzvuyxyyvuxzxxvuzyQQQ法线方程是法线方程是它在点它在点),(000zyxM.),(),(),(),(),(),(000QQQvuyxzzvuxzyyvuzyxx 例例4求曲面求曲面3322,vuzvuyvux )2,0(Q在点在点 对应的曲面上点的切平面对应的曲面上点的切平面方程与法线方程方程与法线方程练习练习:1 求球面求球面 与锥面与锥面50222 zyx222zyx 所截出的曲线的点所截出的曲线的点 )5,4,3(处的切线与法平面方程处的切线与法平面方程.2.求椭球面求椭球面 在在 632222 zyx)1,1,1(处的切平面方程与法线方程处的切平面方程与法线方程.练习的答案练习的答案:1.切线方程切线方程,0512041603 zyx法平面的方程法平面的方程.0)5(0)4(3)3(4 zyx2.切平面方程切平面方程,0)1(6)1(4)1(2 zyx法线方程法线方程.312111 zyx
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