平行四边形有关面积

CABDO O问题：古代流传着这样一个趣题：一位财主有一大片田问题：古代流传着这样一个趣题：一位财主有一大片田地，其形状是一个平行四边形，他祖父打了一口井，位地，其形状是一个平行四边形，他祖父打了一口井，位于图中的于图中的O点。财主临终前留下遗嘱，把相对的两块三点。财主临终前留下遗嘱，把相对的两块三角形田地给大儿子，剩下的全部给小儿子，这口井两家角形田地给大儿子，剩下的全部给小儿子，这口井两家合用，遗嘱公布之后，亲友们议论纷纷，有的说大儿子合用，遗嘱公布之后，亲友们议论纷纷，有的说大儿子分得田地多，这太不公平了。同学们，你认为这样分配分得田地多，这太不公平了。同学们，你认为这样分配田地公平吗？试说明理由。田地公平吗？试说明理由。在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，BD是对是对角线，你能得出有关面积相等的结论吗？角线，你能得出有关面积相等的结论吗？为什么？为什么？ABCD123 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，BD是对是对角线，你能得出有关面积相等的结论吗？角线，你能得出有关面积相等的结论吗？为什么？为什么？ABCD SBCD=SDAB=理由：由平行四边形的性质理由：由平行四边形的性质 证得证得BCD DAB S ABCD12 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，BD是对是对角线，你能得出有关面积相等的结论吗？角线，你能得出有关面积相等的结论吗？为什么？为什么？ABCD 由平行四边形的由平行四边形的性质得性质得 出出BCD与与DAB等底（等底（BC=DA）等高（两平行等高（两平行 线间的线间的距离处处相等），从距离处处相等），从而得出结论。而得出结论。在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，BD是对是对角线，你能得出有关面积相等的结论吗？角线，你能得出有关面积相等的结论吗？为什么？为什么？ABCD 由平行四边形的中心对称性得出结论由平行四边形的中心对称性得出结论A AD DO OC CB BD DB BO OC CA A ABCD绕它的中心绕它的中心O旋转旋转180后与自身重合，这时后与自身重合，这时我们说我们说 ABCD是是中心对称图形中心对称图形，点，点O叫叫对称中心对称中心。(1)SBCD=SDAB=理由：由平行四边形的性质理由：由平行四边形的性质证得证得BCD DAB(2)由平行四边形的性质由平行四边形的性质得出得出BCD与与DAB等底等底（BC=DA）等高（两平行线间的距离处处相等），）等高（两平行线间的距离处处相等），从而得出结论。从而得出结论。(3)由平行四边形的中心对称性得出结论由平行四边形的中心对称性得出结论结论：平行四边形对角线把平行四边形分成面结论：平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等两部分积相等两部分 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，BD是对是对角线，你能得出有关面积相等的结论吗角线，你能得出有关面积相等的结论吗？ABCDS ABCD12如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，过对角线中，过对角线BD一点一点P作作EFBC，GHAB，图中哪两个平，图中哪两个平四边形面积相等？为什么？四边形面积相等？为什么？SABD=SBCD SPHD=SPFD SBEP=SBGP 三式相减：三式相减：AEPHFPGCS SABDABD S SPHDPHD S SBEPBEP=S=SBCDBCD S SPFDPFD S SBGPBGP 从而得到从而得到 S S =S S DHABCEFGP 探究一：如果连结探究一：如果连结AP、CP，则得，则得到了四个平行四边形的四条对角线到了四个平行四边形的四条对角线AP、BP、CP、DP他们把平行四边形他们把平行四边形ABCD分成分成4对面积相等的三角形，你能得到什对面积相等的三角形，你能得到什么结论？么结论？SAPD+SBPC=S1+S2+S3+S4=ABCEFGPDHS ABCD12s1s2s3s4探究二：如果点探究二：如果点P不在对角线上，而是平行四不在对角线上，而是平行四边形内任意一点，那么探究一中的结论是否成边形内任意一点，那么探究一中的结论是否成立呢？立呢？ABCDPS3S2S1S4 如图，李村有口呈四边形的池塘在它的四周如图，李村有口呈四边形的池塘在它的四周A、B、C、D处均种有一棵大树，现在李村处均种有一棵大树，现在李村准备开挖池塘养鱼，既想将池塘的面积扩大准备开挖池塘养鱼，既想将池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，（四棵大树要在一倍，又想保持大树不动，（四棵大树要在扩大后的池塘上），还要求扩建后的池塘成扩大后的池塘上），还要求扩建后的池塘成平行四边形状，你能设计出扩挖方案图吗？平行四边形状，你能设计出扩挖方案图吗？ABCD1231、连接、连接AC、BD，分别过点，分别过点A、C作作BD的的平行线、过点平行线、过点B、D作作AC的平行线，四线的平行线，四线围成的平行四边形围成的平行四边形EFGH即为所求。即为所求。ABCDHEGF2、连结、连结BD，分别过点，分别过点A、C作作BD的平行线，的平行线，过点过点B、D作两条平行线（可不与作两条平行线（可不与AC平平行），四线围成的平行四边形行），四线围成的平行四边形EFGH即为即为所求。所求。EHGFABCD3、连结、连结AC，分别过点，分别过点B、D作作AC的平行线的平行线作过点作过点A、C作两条平行线（可不与作两条平行线（可不与BD平平行），四线围成的平行四边形行），四线围成的平行四边形EFGH即为所即为所求。求。ABCDEFGH 若点若点P是平行四边形一边上的任意一点，连结是平行四边形一边上的任意一点，连结PB、PC，得到的三个三角形面积之间有何，得到的三个三角形面积之间有何等量关系？等量关系？过过P作作AB的平行线的平行线PE即可得到结论即可得到结论ABCDPE ：如图，如果点如图，如果点P在平行四边形的外在平行四边形的外任意一点，连接任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到的，得到的四个三角形，四个三角形，APB、BPC、CPD、DPA面积之间有何等量关系面积之间有何等量关系?SPBC=SPBC-SPAD=-=BCADPEFS EBCF12S EBCF12S EADF12S SPADPAD=S EADF12S ABCD12解：过点解：过点P作作BC的平行线分别交的平行线分别交BA、CD的的延长线于点延长线于点E、F由上题的结论得：由上题的结论得：探究三：平行四边形的一条对角线把平探究三：平行四边形的一条对角线把平行四边形分成面积相等的两部分，你还行四边形分成面积相等的两部分，你还能找出其它直线把平行四边形分成面积能找出其它直线把平行四边形分成面积相等的两部分吗？理由呢？相等的两部分吗？理由呢？ABCD12 1、过平行四边形对边中点的直线能把平、过平行四边形对边中点的直线能把平行四边形分成面积相等的两部分。行四边形分成面积相等的两部分。ABCD理由：因为可证理由：因为可证BOF DOE，所以所以S BOF=S DOE，S四边形四边形EFCD=S DOE+S四边形四边形OFCD=S BOF+S四边形四边形OFCD=S BCD=S ABCD所以所以S四边形四边形EFCD=S四边形四边形FEAB=S ABCD12122、过平行四边形两条对角线交点、过平行四边形两条对角线交点o的任意一的任意一条直线都能把平行四边形分成面积相等的两条直线都能把平行四边形分成面积相等的两部分。部分。由平行四边形的（中心）由平行四边形的（中心）对称性得到结论对称性得到结论 在平行四边形中，还有其它线（曲、折）能把平行在平行四边形中，还有其它线（曲、折）能把平行四边形分成面积相等的两部分吗？四边形分成面积相等的两部分吗？ABCD12在平行四边形中，还有其它线（曲、折）能把在平行四边形中，还有其它线（曲、折）能把平行四边形分成面积相等的两部分吗？平行四边形分成面积相等的两部分吗？在平行四边形中，还有其它线（直、曲、折）在平行四边形中，还有其它线（直、曲、折）能把平行四边形分成面积相等的两部分吗？能把平行四边形分成面积相等的两部分吗？发现：发现：过平行四边形两条对角线的交点过平行四边形两条对角线的交点o，且关于且关于o对称的任意一条（直、曲、对称的任意一条（直、曲、折）线能把平行四边形分成面积相等折）线能把平行四边形分成面积相等的两部分。（可由平行四边形中心对的两部分。（可由平行四边形中心对称性得出结论。）称性得出结论。）说一说：说说你在本节课的探究中有什么收获？说说你在本节课的探究中有什么收获？（1）证明面积相等的方法有：全等形的）证明面积相等的方法有：全等形的面积相等，等（同）底等（同）高的面积相等，等（同）底等（同）高的三角形面积相等，对称性的面积相等三角形面积相等，对称性的面积相等（或旋转、折叠后面积不变）等。（或旋转、折叠后面积不变）等。（2）过平行四边形对角线的交点）过平行四边形对角线的交点O，且，且关于点关于点O对称的任一（直、曲、折）线对称的任一（直、曲、折）线都能把平行四边形分成面积相等的两都能把平行四边形分成面积相等的两部分（而且全等）部分（而且全等）做一做：做一做：如图，在形状为平行四边形的一块土地如图，在形状为平行四边形的一块土地ABCD上，有一条小路上，有一条小路EFG，现在想把它改，现在想把它改为经过点为经过点E且要求小路两侧土地的面积相等，且要求小路两侧土地的面积相等，请在图中表示出改动后的小路。（可以是直、请在图中表示出改动后的小路。（可以是直、曲、折的小路吗？）曲、折的小路吗？）ABCDEFG