基本不等式全题型

基本不等式全题型题型1基本不等式正用ab2例1:（1）函数f(x）x(x0）值域为_；函数f（x)x(xR）值域为_;(2) 函数f(x）x2的值域为_ 解析:(1)x 0，x22,f（x)(x 0)值域为2，）;当xR时，f(x)值域为（，22,）；（2)x2（x21）1211，当且仅当 x0 时等号成立答案:(1）2，） （，22，) （2)1，)4(2013镇江期中)若x1，则x的最小值为_解析：xx11415。当且仅当x1，即x3时等号成立答案:5例1(1）已知x0，则f(x)2x的最大值为_（1）x0，x0，f（x）2x2。（x)24,当且仅当x，即x2时等号成立f（x）2242，f（x）的最大值为2。例：当x0时,则f(x）的最大值为_解析：(1)x0，f(x）1，当且仅当x，即x1时取等号3函数y(x1)的最小值是_解析：x1,x10。yx122 222。当且仅当x1，即x1时，取等号答案：2210已知x0，a为大于2x的常数，求yx的最小值解：y2 .当且仅当x时取等号故yx的最小值为.题型2基本不等式反用例：(1）函数f（x）x（1x）(0x1）的值域为_；（2)函数f(x）x(12x）的值域为_解析：(1)0x1，1x0， x（1x)2，f(x) 值域为。（2）00。 x(12x）2x（12x）2,f（x) 值域为。答案：（1)（2)3（教材习题改编）已知0x1，则x（33x)取得最大值时x的值为_解析：由x(33x)3x(33x)，当且仅当3x33x，即x时等号成立答案：3函数yx的最大值为_解析：x.4已知0x1,则x（33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D。解析00.yx6x15259，当且仅当x1,即x1时,取等号当x1时，函数y的最小值是9.1若x0，y0，且xy18,则xy的最大值是_解析由于x0,y0，则xy2,所以xy281，当且仅当xy9时,xy取到最大值81。 答案815已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_解析x0，y0且12，xy3。当且仅当时取等号答案36（2013大连期中)已知x，y为正实数,且满足4x3y12，则xy的最大值为_解析:124x3y2，xy3。当且仅当即时xy取得最大值3.答案：32已知m0，n0,且mn81，则mn的最小值为_解析：m0，n0，mn218.当且仅当mn9时,等号成立答案：185已知x0，y0，lg xlg y1，则z的最小值为_解析：由已知条件lg xlg y1,可得xy10.则2 2，故min2，当且仅当2y5x时取等号又xy10，即x2，y5时等号成立答案：2（2012天津高考）已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_解析：由log2alog2b1得log2(ab)1，即ab2，3a9b3a32b23（当且仅当3a32b,即a2b时取等号)a2b24(当且仅当a2b时取等号）,3a9b23218.即当a2b时,3a9b有最小值18.3设x,yR，a1，b1,若axby3，ab2,则的最大值为()A2 B。 C1 D.解析由axby3，得：xloga3，ylogb3,由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321,当且仅当ab时“”成立，则的最大值 为1。 答案C6(2011湖南)设x，yR,且xy0，则的最小值为_解析54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立答案9例：若正数x,y满足x3y5xy，求xy的最小值解：x0,y0，则5xyx3y2，xy,当且仅当x3y时取等号xy的最小值为. 4若正实数x,y满足2xy6xy，则xy的最小值是_答案18解析由x0，y0，2xy6xy，得xy26（当且仅当2xy时，取“)，即()2260，（3）（）0。又0，3，即xy18.xy的最小值为18。例：已知x0,y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是（）A3 B4 C. D.解析依题意，得（x1)（2y1）9，(x1）(2y1)26，即x2y4。当且仅当即时等号成立x2y的最小值是4.3若x,y（0，），x2yxy30.(1)求xy的取值范围;(2）求xy的取值范围解:由x2yxy30,（2x）y30x，则2x0，y0,0x30.（1）xyx323418，当且仅当x6时取等号，因此xy的取值范围是（0，18（2)xyxx1x2383，当且仅当时，等号成立，又xyx2330，因此xy的取值范围是83，30)例：已知ab0，则a2的最小值是_解析：ab0，b（ab)2，当且仅当a2b时等号成立a2a2a2216，当且仅当a2时等号成立当a2,b时，a2取得最小值16。8设x，y，z为正实数,满足x2y3z0，则的最小值是_解析：由已知条件可得y,所以3，当且仅当xy3z时，取得最小值3.答案:3例：已知x0,y0,xyx2y，若xym2恒成立,则实数m的最大值是_解析：由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28,即m10.故m的最大值为10.1已知正数x,y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_解析:依题意得x2x（x2y)2(xy），即2（当且仅当x2y时取等号)，即的最大值是2；又，因此有2，即的最小值是2。答案：21已知关于x的不等式2x7在x（a，)上恒成立，则实数a的最小值为_解析：因为xa，所以2x2(xa)2a22a2a4，即2a47，所以a,即a的最小值为。答案:5圆x2y22x4y10关于直线2axby20 (a，bR)对称，则ab的取值范围是（）A. B。C. D。答案A解析由题可知直线2axby20过圆心（1，2)，故可得ab1，又因ab2 （ab时取等号)故ab的取值范围是。典例：(12分）已知a、b均为正实数，且ab1，求y的最小值易错分析在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到审题视角（1）求函数最值问题,可以考虑利用基本不等式,但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件(2）可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围规范解答解方法一y22222.10分当且仅当ab时，y取最小值,最小值为.12分方法二yabababab2.8分令tab2,即t。又f（t）t在上是单调递减的，10分当t时，f（t)min,此时，ab。当ab时，y有最小值。12分温馨提醒（1)这类题目考生总感到比较容易下手但是解这类题目却又常常出错（2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错(3）本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件。方法与技巧1基本不等式具有将“和式转化为“积式和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形比如:(1）当x2时，x(x2）2224.(2）0x0,y0，且2xy1，则的最小值是_答案8解析因为（2xy)4428，等号当且仅当y，x时成立例：已知x0，y0，且2xy1,则的最小值为_；解析x0，y0，且2xy1，332.当且仅当时，取等号例：已知x0，y0，且1,求xy的最小值思维突破：“整体代换，将1用代替，则xy（xy），再化简，用基本不等式求解解析:1,xy(xy)1010216.当且仅当且1，即x12，y4时取等号当x12,y4时，xy有最小值为16。总结：已知条件与“1”有关,常利用“1”进行整体代换，转化为能使积为定值的形式例：已知x，y为正实数，且1，求xy的最小值解析：1,xy(xy)1717225。当且仅当且1时，等号成立x5，y20时，xy有最小值25.4（2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy,则3x4y的最小值是(）A。 B。 C5 D6答案C解析x0,y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号),3x4y的最小值为5.11（2013泉州模拟）正数x，y满足1。（1）求xy的最小值；(2)求x2y的最小值解：（1)由12 得xy36，当且仅当,即y9x18时取等号，故xy的最小值为36。（2）由题意可得x2y（x2y）19192 196,当且仅当，即9x22y2时取等号，故x2y的最小值为196.3函数yloga(x3）1 (a0，且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A2 B4 C8 D16答案C解析点A(2,1）,所以2mn1.所以(2mn）48，当且仅当n2m,即m，n时等号成立典例（2011重庆高考)已知a0,b0，ab2，则y的最小值是_尝试解题ab2，1.2 。故y的最小值为.答案-易错提醒-(1)解答本题易两次利用基本不等式，如：a0，b0，ab2，ab1。又yf（1,a)f（4,b)24,又ab1，y44.但它们成立的条件不同,一个是ab，另一个是b4a.这显然是不能同时成立的，故不正确。(2)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(3)在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定“等”的条件.题型五：利用基本不等式证明简单不等式例3：已知正数a，b满足ab1，求证：(1）ab； (2）a2b2；(3)4;（4）9。（5)8;思维突破：本题在考查均值定理等号何时成立的同时，也考查到形如“f(x）x”函数的单调性自主解答：（1)，ab.(2)，a2b2.(3)方法一:（ab）224.方法二:（ab）11224。方法三：224.（4）19.方法一a0，b0,ab1，112，同理，12，52549。9（当且仅当ab时等号成立）方法二1。由（5）知，8，故19.（5）2，ab1，a0，b0，2224，8（当且仅当ab时等号成立)例1已知x0，y0,z0.求证：8.思维启迪:由题意,先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证证明x0,y0,z0，0，0，0，8。当且仅当xyz时等号成立探究提高利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 已知a0，b0，c0，且abc1。求证：9。证明a0,b0,c0,且abc1，3332229，当且仅当abc时,取等号题型六：基本不等式的实际应用例3某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为 150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？思维启迪:用长度x表示出造价,利用基本不等式求最值即可还应注意定义域0x5;函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性解由题意可得,造价y3(2x150400）5 8009005 800 (00），即x80时“”成立,故选B.9（12分)为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱（如图所示)，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱的底长为a m，高度为b m已知流出的水中该杂质的质量分别与a,b的乘积成反比,现有制箱材料60 m2.问：当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔的面积忽略不计）?解方法一设y为流出的水中该杂质的质量分数，则y，其中k0为比例系数，依题意，求使y值最小的a,b的值根据题设，有4b2ab2a60 (a0，b0），解得b （0a30)于是y，当且仅当a2时等号成立,y取得最小值这时a6或a10(舍)，将其代入式，得b3。故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小方法二依题意，求使ab值最大的a，b的值由题设,知4b2ab2a60 (a0,b0)，即a2bab30 (a0，b0)因为a2b2,所以2ab30,当且仅当a2b时,上式取等号由a0，b0，解得0ab18，即当a2b时,ab取得最大值,其最大值为18。所以2b218,解得b3,进而求得a6。故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小7（13分)甲、乙两地相距s千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p（单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q千米/小时（qp)已知船每小时的燃料费用（单位：元）与船在静水中的速度v(单位：千米/小时)的平方成正比,比例系数为k。(1）把全程燃料费用y(单位:元）表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域；(2）为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解（1）由题意，知船每小时的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用ykv2 （pvq)(2)由（1）,知ykv2ksksvpksvp2pks22p4ksp（当且仅当vp，即v2p时等号成立)当2p(p，q，即2pq时，ymin4ksp,此时船的前进速度为2ppp；当2p（p,q，即2pq时，函数ykv2在(p，q内单调递减,所以yminks,此时船的前进速度为qp。故为了使全程燃料费用最小，当2pq时，船的实际前进速度应为p千米/小时;当2pq时，船的实际前进速度应为(qp)千米/小时例2(2012江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx（1k2）x2（k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1）求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小),其飞行高度为3。2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由自主解答（1)令y0,得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10,当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3。2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式（20a)24a2(a264)0a6。所以当a不超过6千米时，可击中目标2(2012福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元公司拟投入（x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解:（1）设每件定价为t元,依题意，有t258，整理得t265t1 0000,解得25t40。因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解,等价于x25时，ax有解x2 10（当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10。2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元