蚶线——赵文敏

蚶线赵文敏认识蚶线蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决这 问题，一种特殊的蚶线正有这项功能。认识蚶线给定一个圆0及其圆周上一个定点 A,另给定一个正数k。设过A点的任意直 线与给定圆0交于于另一点 M,直线AM上恰有两个点P与P满足 存二百丁 =；,，所有此种P与P点所成的图形，称为圆 0为基圆、A点 为基点、k为常数的蚶线（limacon）。Limacon 一字原为法文，其意为蜗牛。Limacon de mer之意为海扇，乃是一种 可食用的贝类。曲线limacon译为蚶线，可能是采用后者。最先使用limacon来 称呼上述曲线的是 Roberval ，它将上述曲线称为limaco n de mon sieur Pascal， 因为此曲线正是巴斯卡所发现的。此处所指的Pascal引并不是巴斯卡三角形 一词所指的Blaise Pascal ，而是指他的父亲 Etienne Pasal 。蚶线的形状，随着k与基圆之半径的大小关系而有所不同。 例如：设基圆的半径 为a若k2a，则当M点在基圆上时，满足的点P与P必 都在基圆的外部。换句话说，在 k2a的情形中，蚶线上的点全都在其基圆的外 部，而且蚶线没有通过它的基点 Ao图一：k2a与k=2a两种图形的蚶线及其基圆在k2a的情形中，蚶线就不是此种形状了。首先，因为 k2a，所以，我们可 以在基圆上找到两个点 M1与M2,使得録一常。于是，蚶线与直线AMi （或直线AM2）的两个交点中，有一个交点就是 A点，这表示基点A在蚶线上。另一方面，因为 k2a，所以，若点 M在基圆上且 A、M被Mi、M2 隔开，则0 于是，在丽而上必有一点 P满足 MP = k，此P点 在蚶线上而也在基圆的内部。由此可知：在k2a的情形中，蚶线不仅通过基点 A也通过基圆的内部。当k=2a时，情形又如何呢？若k=2时，则所得的蚶线其实是以圆 0为基圆、 点A为歧点的心脏线。所以，此时的蚶线只通过基点A却没有通过基圆的内部（参见本刊二一卷五期（心脏线）一文。蚶线的极坐标方程式在图一中，选择A点为极点、射线 为极轴建立一个极坐标系。如此，若基圆0的半径为a,则基圆的极坐标方程式为八滤。设过基点A的任意 z fl Z直线与基圆0交于另一点 M （亞心），其中，二与P两加:和），而P点的极坐标为点在直线 AM 上，一:，而且 P与 A在 M 的异侧，P与M的同侧，贝U P的极坐标为（。由此可知：所有p点所成图形的方程式为（t-2dcosM+fl）而且当另一方面，因为1，以P点所成图形的方程式为可得于是，所有 P点与P点所成的图形的极坐标方程式为因为-一已表示余弦函数的一个周期，所以，我们可将它改为一）。由此可知：以 w为基圆、极点为基点、k为常数的蚶线的极坐标方程式为蚶线是一垂足曲线给定二正数a, k及一点B，以B为圆心、k为半径作一圆，再选一个点 A使 得7 = （见图二）。对于圆B的任意一对平行切线，其切点分别为 T与T。由A点向两平行切线作垂直线，设垂足分别为P与P，又该M是-的中点。因为TPPT是一矩形，而B与M分别是与_的中点，所以,51与几广垂直。于是,M点落在以为.上一直径的圆上。另一方面,等，而固定圆的圆心角/与滚动圆的圆心角相等，所以，固定圆丰7 = 于7 = 钉=斤。由此可知：若选择以荷为一直径的圆做为基圆、 A 点为基点、k为常数作一蚶线，则对于圆 B的任意一对平行切线， A点到它 们的垂足P与P都一定在此蚶线上。图二若S为一曲线而A为一定点，则由点A至曲线S的所有切线的垂足所成的图 形，称为曲线S对点A的垂足曲线。根据前段的说明，可知：蚶线是一圆对 异于圆心的某个定点的垂足曲线，此圆的半径是该蚶线的常数、定点是该蚶线的 基点、定点至圆心所成线段是该蚶线的基圆的一条直径。蚶线是外次摆线心脏线是蚶线的一种特殊情形，而心脏线是一外摆线，外摆线又是外次摆线 (epitrochoid) 的特殊情形，我们很自然会将蚶线与外次摆线联想在一起。在图三中，设P点是以圆0为基圆、点A为基点、k为常数的蚶线上一点， 直线AP与基圆交于另一点 W。选取I点使得PMOI是一个平行四边形，请丄注意:对每个P点而言，点I是唯一的。分别以点 0与点I为圆心、一.为半径作两圆，前者称为固定圆、后者称为滚动圆。因为 固定圆与滚动圆外切，设切点为Q。设射线与固定圆交于U且A与U在0的异侧、射线与滚动圆交于 V且P与V在I的异侧，则可得因为固定圆与滚动圆的半径相LQIV 二 LAPI = LAMO 二 LMA0 = LQOU上弧QU的长与滚动圆上弧 QV的长相等。这样的现象表示什么意义呢？我们 说明如下。丄取一个半径为 二的固定圆，另取一个大小与固定圆相同的滚动圆，让滚动圆沿 着固定圆的外部作没有滑动的滚动， 此外，还选定一个与滚动圆圆心距离为 a的定点，在滚动前，定点与固定圆圆心0的距离为a+k。亦即：定点、固定圆圆心、 滚动圆圆心等三点共线，且滚动圆圆心介于其它两点之间。图三表示：当滚动圆 滚动到与固定圆相切于 Q点时，滚动圆旁的定点就到达 P点。由此可知：所谓 蚶线，乃是当滚动圆与固定圆的半径相等时， 滚动圆旁的定点所描绘的曲线，这 乃是一外次摆线。若在图三中建立一个直角坐标系， 使0点为原点、直线AB为X轴，则可得蚶 线的参数方程式如下：设以刁？为始边、二为终边的有向角t弧度，则以二为始边、巧加为终边的有向角为2t弧度。又设P点的坐标为（x,y），则得习题：试讨论前述蚶线的极坐标方程式与参数方程式的关系。 图三蚶线是圆的包络线在图三中，滚动圆滚动到与固定圆相切于 Q点，而滚动圆旁的定点则移动到 P 点，所以，Q点是滚动圆在此时刻的瞬间旋转中心。于是，由定点所描绘的蚶 线在P点的切线乃是过 P点而与厶垂直的直线。另一方面，因为 AOIP是 等腰梯形而Q是平行边之一的一的中点，所以。若以Q点为 圆心、-1 为半径作一圆，则此圆必过P点，而且此圆过P点的切线也是过 P 而与；垂直的直线。由此可知：以 Q点为圆心为半径的圆必与上述 蚶线相切于P点。前面所提的性质，可以作如下的解释：给定一定圆0以及一定点A,若对定圆0上所有点Q，以Q点为圆心、为半径作一圆，则所有此种圆可包络出一条蚶线，此蚶线的基圆是以 0为圆心而一为半径的圆、基点是 A点、常数是定圆0的直径（见图四）图四三等分角曲线当蚶线的常数k与基圆的半径a相等时，此蚶线具有一项特殊的性质，它可用来 将任意角三等分，所以特称之为三等分角曲线(trisectrix) 。图五中的虚线是一条三等分角曲线，圆0是它的基圆、A点是它的基点。此种曲线的特点之一就是：它的内循环 (inner loop) 通过其基圆的圆心 0。此曲 线在角三等分问题上的应用是这样的：以射线-1为一边作一角 和:冷斥等于欲 三等分的角，并将R点选成满足 厉二齋。设线段与三等分角曲线的内 循环交于另一点p，则可得为什么呢?图五,所以,设直线AP与基圆交于另一点Q,依蚶线的定义，可知PQ = k =a。因为0A = 0Q , 所以上也总=“. ,aP。因为由此可得因为二：匸，所以 这就是所欲证的结果。习题：在图五中，若乓？的垂直平分线与三等分角曲线的外循环交于一点c,试证一八。蚶线所围的面积一般而言，蚶线是比较不容易掌握的曲线。例如：在的情形，蚶线-： 的弧长，利用积分的方法都无法明白写出来，只能表示成一个积 分式子。至于它所围区域的面积，用综合几何的方法也不易讨论，只能使用积分 的方法来计算。若总H，则蚶线，=加签n只有一个循环。它所围的区域面积等于-，则得若k2a，则蚶线F 朮獭:亂:八爲有内、外两个循环。令 =也 最后，再提出一点：图一的左方，显示蚶线厂+ 。在左侧部分，呈凹 入的现象，但这不是普遍现象。事实上，当2a k 4a时，蚶线 =】；挣肚 有凹入现象，称为凹蚶线；但当 忆 蠢时，蚶线=抵匸駭 飞 就不再有凹 入现象了，称为凸蚶线。要证明凹、凸的分别在于 k是否大于4a,恐怕得引用 曲率的概念才能证明了。