CH06电路的暂态分析

河北工业大学河北工业大学 电工学教研室电工学教研室掌握一阶线性电路的掌握一阶线性电路的，及在阶跃激，及在阶跃激励下的励下的和和的分析方法。的分析方法。tECu稳态稳态暂态暂态旧稳态旧稳态 新稳态新稳态 过渡过程过渡过程:C电路处于旧稳态电路处于旧稳态KRE+_Cu开关开关K闭合闭合电路处于新稳态电路处于新稳态RE+_Cu“”与“”的概念:电阻电路电阻电路t=0ER+_IK是是耗能耗能元件，其上电流随电压成元件，其上电流随电压成比例比例变化，变化，不存在过渡过程。不存在过渡过程。无过渡过程无过渡过程ItEtCu 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其大小为：其大小为：电容电路电容电路2021WCuidtutC储能元件储能元件 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。电容的电路存在过渡过程。EKR+_CuCtLi储能元件储能元件电感电路电感电路 电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：其大小为：2021LidtuiWtL 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。电感的电路存在过渡过程。KRE+_t=0iLL 有储能元件有储能元件（L、C）的电路在电路状态发）的电路在电路状态发生变化时（如：电路接入电源、从电源断生变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）开、电路参数改变等）存在过渡过程存在过渡过程；没有储能作用的电阻（没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过）电路，不存在过渡过程。渡过程。暂态电路：暂态电路：含有储能（动态）元件的电路。含有储能（动态）元件的电路。稳定状态：稳定状态：在指定条件下电路中电压、电流在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。已达到稳定值。暂态过程暂态过程 暂态分析：暂态分析：换路：换路：引起电路中过渡过程现象的电路变引起电路中过渡过程现象的电路变化。化。电路结构或参数发生变化电路结构或参数发生变化 e.g.电源或无源元件的接入电源或无源元件的接入 设设t=0为换路瞬间，则为换路瞬间，则 t0-为换路前的终了瞬间；为换路前的终了瞬间；t0+为换路后的初始瞬间；为换路后的初始瞬间；t=0-0+利用利用电路暂态过程产生特定波形的电信号电路暂态过程产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。路。控制控制、预防预防可能产生的危害可能产生的危害 暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使直流电气设备或元件损坏。使直流电气设备或元件损坏。电路、交流电路都存在暂态过程电路、交流电路都存在暂态过程,我们讲课的我们讲课的重点是重点是直流电路直流电路的暂态过程。的暂态过程。VCR微分方程微分方程（以时间为变量的线性微分方程）（以时间为变量的线性微分方程）KL一阶电路：一阶电路：仅含有一个或可等效为一个储能仅含有一个或可等效为一个储能元件的电路。元件的电路。一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程 换路定则换路定则换路换路:电路状态的改变。如电路状态的改变。如：1.电路接通、断开电源；电路接通、断开电源；2.电路中电源电压的升高或降低；电路中电源电压的升高或降低；3.电路中元件参数的改变电路中元件参数的改变.)0()0(CCuu注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、iL初始值。初始值。设：设：t=0 表示换路瞬间表示换路瞬间(定为计时起点定为计时起点)t=0-表示换路前的终了瞬间表示换路前的终了瞬间 t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）表示换路后的初始瞬间（初始值）)0()0(LL 自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或 衰减需要一定的时间。所以衰减需要一定的时间。所以*电感电感L储存的磁场能量储存的磁场能量）（221LLLiW LW不能突变不能突变Li不能突变不能突变CuCW不能突变不能突变不能突变不能突变电容电容C存储的电场能量存储的电场能量）（221cCuWc 若若cu发生突变，发生突变，dtduci则则所以电容电压所以电容电压不能跃变不能跃变KRE+_CiuCCCCudtduRCuiREK 闭合后，列回路电压方程闭合后，列回路电压方程：)(dtduCi：电路中电路中 u、i 在在 t=0+时时的大小。的大小。独独 立立 初初 始始 值：值：uC(0+)，iL(0+);非独立初始值：非独立初始值：除了除了uC(0+)，iL(0+)外的变量初始值，外的变量初始值，如如iC(0+)、uL(0+)、uR(0+)，iR(0+)。独立初始值的确定：独立初始值的确定：换路前的瞬间，将电路视为稳态换路前的瞬间，将电路视为稳态电容开路、电容开路、电感短路。电感短路。由换路前的电路状态，求出由换路前的电路状态，求出uC(0-)，iL(0-);根据根据换路定则换路定则，求独立初始值：，求独立初始值：uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-);非独立初始值的确定：非独立初始值的确定：把把 t=0+时的电容用电压源代替，电感用电流源代时的电容用电压源代替，电感用电流源代替，独立源分别取其替，独立源分别取其0+时的值时的值-0+等效电路等效电路；由由0+等效电路，运用直流电阻电路分析方法，求等效电路，运用直流电阻电路分析方法，求解其它非独立初始值。解其它非独立初始值。Page 6-2)0(),0(LCiu0000)(,)(LCiu0)0()0(CCuu0)0()0(LL U+-00)(Cu,00)(L,RUC)()(001 )0)0(C 0)0(2 uUuuL )0()0(1)0)0(LuiC、uL 产生突变产生突变(2)由由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值电路，求其余各电流、电压的初始值U+-iL(0+)U iC(0+)uC(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R1+_+-t=0+等效电路等效电路解：解：(1)由由t=0-电路求电路求 uC(0)、iL(0)换路前电路已处于稳态：换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电容元件视为开路；电感元件视为短路。电感元件视为短路。由由t=0-电路可求得：电路可求得：A144442444)0(3131311 URRRRRURRRiL+_+_t=0-等效电路等效电路+_+_V414)0()0(3 LCiRu解：解：A1)0()1(Li+_+_t=0-等效电路等效电路由换路定则：由换路定则：V4)0()0(CCuuA1)0()0(LLii+_+_解：解：(2)由由t=0+电路求电路求 iC(0+)、uL(0+)由图可列出由图可列出)0()0()0(2 CCuiRiRU)0()0()0(LCiii带入数据带入数据4)0(4)0(28 Cii1)0()0(Cii+_+_t=0+时等效电路时等效电路4V1A+_+_t=0+时等效电路时等效电路4V1A+_+_解：解：解之得解之得 A31)0(Ci并可求出并可求出)0()0()0()0(32 LCCLiRuiRuV311144314 +_+_电量电量A/LiA/CiV/CuV/Lu 0t 0t41103104311LCiu、LCui、+_+_1.1.换路瞬间，换路瞬间，LCiu、不能突变。其它电量均可不能突变。其它电量均可能突变；能突变；0I0)0(Li0)0(0IiL3.3.换路瞬间，换路瞬间，电感相当于，电感相当于恒流源恒流源，其值等于其值等于，电感相当于，电感相当于断路断路。，0)0(0UuC2.2.换路瞬间，换路瞬间，电容相当于电容相当于恒压恒压，0)0(Cu电容相当于电容相当于短短；0U源源，其值等于，其值等于路路；1E+-S2RCCu 对暂态电路用经典的分析方法，就是根对暂态电路用经典的分析方法，就是根据激励计算电压和电流响应的时间函数，这据激励计算电压和电流响应的时间函数，这是一种是一种时域分析法时域分析法。1.经典法经典法:根据激励根据激励(电源电压或电流电源电压或电流)，通过求解，通过求解电路的微分方程得出电路的响应电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流电压和电流)。2.三要素法三要素法初始值初始值稳态值稳态值时间常数时间常数求求（三要素）（三要素）代入上式得代入上式得0dd CCutuRCtuCCCdd RuCR换路前电路已处稳态换路前电路已处稳态 UuC )0(t=0时开关时开关,电容电容C 经电阻经电阻R 放电放电1S 一阶线性常系数一阶线性常系数 齐次微分方程齐次微分方程(1)列列 KVL方程方程0 CRuu1.电容电压电容电压 uC 的变化规律的变化规律(t 0)零输入响应零输入响应:无电源激励无电源激励,输输入信号为零入信号为零,仅由电容元件的仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。初始储能所产生的电路的响应。UuC )0(+-SRU21+CiCu0 tRu+c 对于一阶线性齐次方程，可根据公式法求解，对于一阶线性齐次方程，可根据公式法求解，也可应用也可应用求解。求解。得得0udtduRCCCCCuRC1dtduRCdtuduCCkRCtuClnRCtkRCtkRCtCAeeeeuRCP1 0dd CCutuRC01 RCP特征方程特征方程RCtAuC e可可得得时时，根根据据换换路路定定则则,)0()0(UutC UA RCtUuC e齐次微分方程的通解：齐次微分方程的通解：0)0(e tCu tptAuCe:通通解解电阻电压：电阻电压：RCtURiuCR eRCtRUtuCiCC edd放电电流放电电流:RCtUuC e CuCiRu3.uC、iC、uR tOUuC )0(+-SRU21+CiCu0 tRu+c(2)物理意义物理意义RC 令令:(1)量纲量纲sVAs UUuC008.36e1 t当当 时时RCtUtuC e)(008.36 时间常数时间常数等于电压等于电压Cu衰减到初始值衰减到初始值U0 的的所需的时间。所需的时间。换路后的等效电阻和等效电容换路后的等效电阻和等效电容0.368U23Cu 1URC tRCtUUuC ee321 t0ucU0ut0U0 e的计算：从的计算：从C C两端看进两端看进去的戴维南等效电阻。去的戴维南等效电阻。的实验求法：的实验求法：从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。ttCCeUeUdttdututgABBC001)()(ABC当当0Cu t0Cu)53(t Cu0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 2 3 4 6 51e 2e 3e 4e 5e 6e t e t e202000221)(CURdteRURdtiwRCtR2021CUwCPage 6-3RCtRUtuCiCC eddRCtUuC et=01E+-K2RCCu零状态响应零状态响应:储能元件的初储能元件的初始能量为零，始能量为零，仅由电源激励仅由电源激励所产生的电路的响应。所产生的电路的响应。000tUtuuC(0-)=0sRU+_C+_i0 tuCUtu阶跃电压阶跃电压OuUutuRCCC dd一阶线性常系数一阶线性常系数非齐次微分方程非齐次微分方程UuuCR CCCuutu)(即即1.uC的变化规律的变化规律(1)列列 KVL方程方程uC(0-)=0sRU+_C+_i0tuc求特解求特解 ：CuUuUKC即即：解解得得：KdtdKRCUKuC ,代代入入方方程程设设：RCtCCCAeUuuu UutuCC)()(Cu tAUuuuCCC e0dd CCutuRC通解即：通解即：的解的解）（令令RC Cu求特解求特解-RCtptAAuC ee其其解解：0)0(Cu根据换路定则在根据换路定则在 t=0+时，时，UA 则则0)(t)()t RCt e1ue1(UuCCRCtCUUu e 暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量电路达到电路达到稳定状态稳定状态时的电压时的电压-UCu Cu+UCu仅存在仅存在于暂态于暂态过程中过程中 63.2%U-36.8%UtCuoU0.632U1 2 3 321 Cu0Cu 2 6 4 5 3tCuOCuCiCiCutCuCi当当 t=时时UeUuC%2.63)1()(1 )e1(RCtUuC 0 edd tRUtuCitCC URUPage 6-4，全响应全响应:电源激励、储能元电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电件的初始能量均不为零时，电路中的响应。路中的响应。uC(0-)=U0sRU+_C+_i0tuC换路前电容储能不为零，换路前电容储能不为零，00UuC)(0因为换路后的电路与零状态响应的电路相同，因为换路后的电路与零状态响应的电路相同，所以微分方程相同。所以微分方程相同。CCudtduRCU时，0tuC因为电路的初始条件不同，通解中的积分常数因为电路的初始条件不同，通解中的积分常数A A不同不同。0CCU)(0u)(0utRC1CAeUu将将代入代入得得UUA0所以所以tRC10CU)e(UUu)eU(1eUutt0C全响全响应应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应)0()e1(e 0 tUUuRCtRCtC0)(t)e1()(u)e(0uuRCt RCt CCC)0()e1(e 0 tUUuRCtRCtC)0()e(0 tUUURCt稳态分量稳态分量零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应暂态分量暂态分量全响应全响应稳态值稳态值初始值初始值如果如果U=U0，曲线会是，曲线会是什么形状？什么形状？0)(t U)e(UUu RCt 0COtU0UCu0UU OtU0UCuUU0CuUuC )(稳态解稳态解初始值初始值0)0()0(UuuCC tCUUUu e)(0RCtCCCCuuuu e)()0()(uC(0-)=UosRU+_C+_i0tuc)(tf-)(f稳态值稳态值-)0(f-tffftfe)()0()()(只适用于一阶线性电路的暂态分析只适用于一阶线性电路的暂态分析)0(ft)(tfO)(f)0(f0)0()a(f0)0()b(f0)()c(ft)(tfOt)(tfO)(f0)()d(ft)(tfO)0(f)(f)(f)0(f(1)求初始值、稳态值、时间常数；求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；)0()0()(6320 fff.tf(t)O 由由t=0-电路求电路求)0()0(LCiu、根据换路定则求出根据换路定则求出)0()0()0()0(LLCCiiuu 由由t=0+时时的电路，求所需其它各量的的电路，求所需其它各量的)0(i)0(u或或电容元件视为短路。电容元件视为短路。;0U其值等于其值等于，若若 0)0(Cu 若若，0)0(0 UuC电容元件用恒压源代替，电容元件用恒压源代替，0 )0(0 IiL0)0(Li若若其值等于其值等于I0,电感元件视为开路。电感元件视为开路。若若 ,电感元件用恒流源代替电感元件用恒流源代替，画出换路后的等效电路（注意画出换路后的等效电路（注意:在直流激励的情在直流激励的情况下况下,令令C开路开路,L短路短路）；）；根据电路的定理和规则，根据电路的定理和规则，求换路后所求未知数求换路后所求未知数的稳态值。的稳态值。V555510)(Cu6666)(LimA3 uC+-t=0C10V 1 FS例：例：5k+-Lit=03 6 6 6mASCR0 0RL 原则原则:要由要由换路后换路后的电路结构和参数计算。的电路结构和参数计算。(同一电路中各物理量的同一电路中各物理量的 是一样的是一样的)R03210)/(RRRR U0+-CR0CR0 R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3Page6-5解：解：teuuuuCCCC )()0()(cuCi2i电路如图，电路如图，t=0时合上开关时合上开关S，合，合S前电路已处于前电路已处于稳态。试求电容电压稳态。试求电容电压 和电流和电流 、。)0(CuV54106109)0(33 CuV54)0()0(CCuut=0-等效电路等效电路)0(Cu9mA+-6k RS9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R)(cu由换路后电路求稳态值由换路后电路求稳态值)(cuV18103636109)(33 Cus3630104102103636 CR)(Cut 电路电路9mA+-6k R 3k t=0-等效电路等效电路)0(Cu9mA+-6k RV54)0(CuV18)(Cus3104 Ve3618e)1854(182503104ttCu ttuCiCC250e)250(36102dd6 Ae018.0t250 18V54VtCuO tCCCCiiii e)()0()(用三要素法求用三要素法求Ci0)(CimAe126250t 32103)()(tutiCmAe18)(250ttiC mA181025418)0(3 Ci54V18V2k)0(Ci+-S9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R3k 6k)0(Ci+-54 V9mAt=0+等效电路等效电路由由t=0-时电路时电路解：解：V333216)0(Cu求初始值求初始值)0(CuV3)0()0(CCuu+-St=0C F56V1 2 Cu3 2 1+-)0(Cut=0-等效电路等效电路1 2 6V3)0(i+-Ve35107.1t t66103e0 tCCCCUuuutu e)()0()()(s6600161053232 CR 求时间常数求时间常数由右图电路可求得由右图电路可求得求稳态值求稳态值 Cu 0 Cu+-St=0C F56V1 2 Cu3 2 1+-Cf 52 Cu3 21+-tuCtiCCdd)(A3510712t.eu)t(iC Ciiti 21)(tt5107.15107.1e5.2e A5107.1e5.1t (、关联关联)CCiuAe5.25107.1t +-St=0C F56V1 2 Cu3 2 1+-p)1(tRC 1uTtU0tpV0)0(_ CuCR1u2u+_+_iCu+_21uuuC 很很小小，很很小小时时当当RuuR 2Cuu 1tuRCRiuCCdd2 tuRCdd1 由公式可知由公式可知 输出电压近似与输入电输出电压近似与输入电压对时间的微分成正比。压对时间的微分成正比。1utt1UtpOt2uOV0)0(_ CuCR1u2u+_+_iCu+_不同不同时的时的u2波形波形UT2T2utUUT2Tt2u2TTtU2u2TTUtT/21utptCuT2TCR1u2u+_+_iCu+_;p)1(tRC RiuuuuRR 21Rui1)(pt 输出电压与输入电输出电压与输入电压近似成积分关系。压近似成积分关系。2.分析分析1uTtU0tptuRCtiCuuCd1d112 V0)0(_ CuCR1u2u+_+_iRu+_t2Utt12utt2t1U2utt2t1U 用作示波器的扫描锯齿波电压用作示波器的扫描锯齿波电压u1Li tLLLLiiii e)()0()()0(LiRUiiLL )0()0(0)(Li 2)确定稳态值确定稳态值)(Li RL tLRtLRLRURUi ee)0(0RuLuU+-SRL21t=0Li+-+-tLRUtiLuL eddtLRURiuL eRLiOtRuOutLutLRRUiL eRU-UURU%8.36RuLuU+-SRL21t=0Li+-+-tiLeuLLddRUiL )0(RU)(0iLRUiiLL )0()0(表表表表表表RRURiVL )0()0(RuLuU+-SRL21t=0Li+-+-RuLuU+-SRL21t=0Li+-+-VR VDRuLuUSRL21t=0Li+-+-R RuLuUSRL21t=0Li+-+-图示电路中图示电路中,RL是发电机的励磁绕组，其电感是发电机的励磁绕组，其电感较大。较大。Rf是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏开关触头，往往用一个泄放电阻开关触头，往往用一个泄放电阻R 与线圈联接。开与线圈联接。开关接通关接通R 同时将电源断开。经过一段时间后，再将同时将电源断开。经过一段时间后，再将开关扳到开关扳到 3的位置，此时电路完全断开。的位置，此时电路完全断开。(1)R=1000,试求开关试求开关S由由1合合向向2瞬间线圈两端的电压瞬间线圈两端的电压uRL。已知已知 30,80 H,10 ,V220fRRLU电路稳态时电路稳态时S由由1合向合向2。(2)在在(1)中中,若使若使U不超过不超过220V,则泄放电阻则泄放电阻R 应选多大？应选多大？ULRF+_RR 1S23iA23080220F RRUIV20602)100030()()0(F IRRuRL (3)根据根据(2)中所选用的电阻中所选用的电阻R,试求开关接通试求开关接通R 后经后经过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出95%？(4)写出写出(3)中中uRL随时间变化的表示式。随时间变化的表示式。2202)30(R即即 80R2221)95.01(21LILi 222102105.01021 iA446.0 i求所经过的求所经过的时间时间ttLRRRIei19e2F t19e2446.0 s078.0 t)(FRRiuRL 计计算算若若按按 80)4(RV19220e)8030(tiuRL tLLLLiiii e)()0()(Li)e1()0(tLRtLRRUeRURUiL RUiL )(0)0()0(LLiiRL )0)0(0(LiULuU+-SRLt=0LiRu+-+-tLRtLUUdtdiLu ee)e1(tLRLRURiu RuLiLuRuOutLuULiOtRU)e1(tLRLRUi )0)0(0(LiULi tLLLLiiii e)()0()(A2.16412)0()0(21 RRUiiLL+-R2R14 6 U12V)0(LiLit=012V+-R1LS)(ti1HU6 R23 4 R3)(tu+-A2 32321)(RRRRRUiL s61 32321RRRRRL 0RL ttLi66e8.02e)22.1(2 )0(t)(Li)(u12V+-R1LSU6 R23 4 R3+-R1L6 R23 4 R31H)e8.02(36366tu )0(Ve6.146 ttu tuuuu e)()0()(32.1366)0(Ru V4.232.132 )(tu33223RiRRRiRuL )0(u+-R11.2AU6 R23 4 R3t=0+等效电路等效电路+-sRL610 V43296 3322)()(RiRRRuL )0(ttu6e)44.2(4 Ve6.146t 21.2tA/LiOLi变化曲线变化曲线Ae8.026tLi uVe6.146tu 42.4t/Vu0)(u+-R1U6 R23 4 R3t=时时等效电路等效电路+-A23212)0(LiA2)0()0(LLii用三要素法求解用三要素法求解解解:。和和电电压压LLui例例:t=0等效电路等效电路Li2 1 3AR12 由由t=0等效电路可求得等效电路可求得t=03ALuR3IS2 1 1H_+LSR2R12 Lit=03ALuR3IS2 1 1H_+LSR2R12 由由t=0+等效电路可求得等效电路可求得V4)12222()0()0(LLiuA2)0()0(LLii (2)求稳态值求稳态值)()(LLui和和t=0+等效电路等效电路2 1 2AR12 Lu+_R3R2t=等效电路等效电路2 1 2 LiR1R3R2V0)(Li由由t=等效电路可求得等效电路可求得V0)(Lu(3)求时间常数求时间常数s5.0210 RL 3210/RRRR t=03ALuR3IS2 1 1H_+LSR2R12 2 1 R12 R3R2LVe4)04(022ettLu Ae2e)02(022ttLi 起始值起始值-4V稳态值稳态值2ALu0Li,t