求值域的10种方法

求函数值域的十种方法一直接法(观察法) ：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1求函数y =+1的值域。【解析】: Qx 0 ,：px +1 1，:函数y =+1的值域为】+只)。【练习】1求下列函数的值域： y 二 3x + 2(1 x 1)； f (x) = 2 +、4 - x ； y = ；Q y = C -11 , x g l,o,l,2。x+1【参考答案】-1,5；2, +8)(-I) (1,+) ； Q 1,0,3。二配方法： 适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如F(x) = af 2(x) + bf (x) + c的函数的值域问题，均可使用配方法。例 2.求函数 y = -x2 + 4x + 2 (x g -1,1)的值域。【解析】 y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6。.-1 x 1，.-3 x - 2 -1，.1 (x - 2)2 9，.-3 -( x - 2)2 + 6 5，a -3 y 0)配方得：f (x) = -(x - 2)2 + 4(x g lo,4)利用二次函数的相关知识得f (x) et),4，从而得出：y g0,2。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为f(x)0。例 4.若x + 2y = 4, x 0, y 0，试求lgx + lg y 的最大值。【分析与解】本题可看成第一象限内动点P(x,y)在直线x + 2y = 4上滑动时函数igx + igy = igxy的最大 值。利用两点 (4,0) ， (0, 2) 确定一条直线，作出图象易得：x e (0,4), y e (0,2),而lg x + lg y = lg xy = lgy(4 - 2y) = lg-2(y -1)2 + 2，y=i 时，x + lg y 取最大 值仗2。【练习】2求下列函数的最大值、最小值与值域： y 二 x2 - 4x +1； y 二 x 2 - 4x +1, x e 3,4； y 二 x2 - 4x +1, x e 0,1；Qx 2 + 2 x + 41_y =， x e 丁，4； 如 y = J-x2 一 2x + 3。x473【参考答案】-3, +8)；-2,1；-2,1；-3,6 ； Q 6,才；Q 0,2三反函数法： 反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的 值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数 类型。2x例5.求函数y二的值域。x+1分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x,从而便于求出反函数。2 xyy二 反解得x二，故函数的值域为(-,2) (2, +8)。x+12- yU【练习】2x+31 求函数y二的值域。3x-2ax + b (d 12.求函数y二叱b， c主0,x主一的值域。cx + Vc 丿2 2aa【参考答案】1. (一8,丁)( ,+8) ； (-8,一)( ,+8)。3 3cc四.分离变量法：U适用类型 1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法1 - x例6：求函数y = 2775的值域。解：17-(2 x + 5) + 72 22 x + 52 丰02x 7 5y 一1-x1函数y =茁5的值域为y 1 y -适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y二k 士 f (x)(k为常 数)的形式。x 2 - x例7：求函数y的值域。x2 - x 71x2 - x x2 - x + 1 - 1 分析与解：观察分子、分母中均含有x2 - x项，可利用分离变量法；则有y =x2 - x+1 x2 - x+1=1 -3(x - 2)2+413不妨令：f(x) = (x 2)2 + 4,g(x)=7(f (x)丰0)从而 f (x) e3,+J4。注意：在本题中若出现应排除f (x)二0,因为f (x)作为分母所以g(x) el 0,4故 y e - |,i)o2另解：观察知道本题中分子较为简单，可令t = i +，求出：的值域，进而可得到y的x2 - xx2 - x值域。【练习】1.求函数y = 2x2 + 2x + 3的值域。x2 + x +1【参考答案】1. (2,0五、换元法： 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根 式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例8：求函数y = 2x +、： 一2x的值域。解：令t二常1- 2x (t 0) y = -t2 +1 +1 = -(t -)2135、，. /5.当t =，即x = 时，y =，无最小值。函数y = 2x +、；1 2x的值域为。 28max 44例9：求函数y = x + 2 +J1 (x +1)2的值域。解：因 1 (X + 1)2 0，即 (x + 1)2 1。故可令 x +1 cos 卩,P 0,兀，y _ cos卩 +1 + * 1 - cos2 卩=sin 卩 + cos 卩 +1 = J2 sin(P + 才)+1。0卩兀，万卩 + n , 亚 sin(P +) 10V2sin(卩+) +1 1 +迈4 4424，4故所求函数的值域为0,1 .2例10.求函数y - x3_ x的值域。x4 + 2x2 + 1解：原函数可变形为：y 1x匕兰2 1 + x2 1 + x2可令 X= tan 卩，则有 2x sin 2p,1_ cos2 p1 + x 21 + x 211y - 一 sin2p x cos2p - sin4p丿24当p-k_8 时ymax当p-k+8 时ymin而此时 tanp 有意义。故所求函数的值域为11例 11.求函数 y (sin x + 1)(cosx +1)，解： y (sinx+1)(cosx+1) sin x cos x + sin x + cos x +11令 sin x + cos x = t，则 sin x cos x 二 (t2 1) 2y 二 1(t2 -1) +1 +1 二 1(t +1)2由 t = sin x + cos x = 2 sin(x +)4兀兀J且 x ,12 2:当t =迈时，ymax二2心，当t弋时，y3+辽4 2故所求函数的值域为3 +空+近。4 2 2例12.求函数y = x + 4的值域。解：由 5 - x2 0，可得I x故可令 x =、;5 cos P, P 0,兀y =、5 cos p + 4 + J5 sin p = 10 sin( p + 扌)+ 4/ 0 P 0，从而求得原函数的值域，形如y= 11 4（、a不同时为零）的函数的值域，常用此方a x 2 + b x + c1 22 2 2法求解。2例13：求函数y =- 一-的值域。x 2 - x + 1解：由 y = - x -变形得(y - 1)x2(y - 1)x + y - 3 二 0,x 2 - x + 1当y二1时，此方程无解;当 y 丰 1 时， x e R ,二(y -1)2 - 4( y -1)( y - 3) 0，解得1 y 斗，又y丰1 ,1 y x 2 x | 11函数y =-的值域为y11 y x 2 - x +13七、函数的单调性法： 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例14：求函数y = x -x-1 - 2x的值域。解：当x增大时，1-2x随x的增大而减少，-、1- 2x随x的增大而增大, .函数y二x -71- 2x在定义域（一 2上是增函数。 1/1 1y 0，故原函数的值域为（0,2适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例16：求函数y = lgJ4x-x2）的值域。2 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令t（x） = -x2 + 4x（t（x） 0）配方得：t（x） = -（x-2）2 + 4所以t（x）（0,4）由复合函数的单调性（同增异减）知：y g 2,+8）。八、利用有界性： 一般用于三角函数型，即利用sin x g -1,1,cos x g -1,1等。例17：求函数y=絆3的值域。解：由原函数式可得：y sin x-cos x = 3y，可化为:Q y2 + 1sin x(x + p ) = 3y3y即sinx(x +p )= y 2 +1 x g Rsin x(x + p ) g -1,1解得：-連 y 244故函数的值域为y2 01 - 2x 函数y =的值域为y e (一1，1)。1 + 2 x九、图像法(数形结合法) ：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例19：求函数y -1 x + 31 + 1 x 一 5丨的值域。2x + 2 (x -3)解：T y =丨 x + 31 + 丨 x 5丨=8(3 x 5)y =丨x + 3| +丨x 5|的图像如图所示，由图像知：函数y =丨x + 3丨+丨x 5丨的值域为8, +8)例 20.求函数 y =、：(x-2)2 + J(x + 8)2 的值域。BP-8 0 2解：原函数可化简得：y =丨x 2I + I x + Si上式可以看成数轴上点P (x)到定点A (2), B(8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y =1 x 21 + I x + 8丨=丨AB 1= 10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y =I x 2I +丨x + 8II AB 1= 10故所求函数的值域为： 10,+8例21.求函数y =般2 -6x +13 + Jx2 + 4x + 5的值域。解：原函数可变形为：y =、( x 3)2 + (0 2)2 + ( x + 2)2 + (0 +1)2上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2), B(2, 1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y =1 AB |=耳：(3 + 2)2 + (2 +1)2 =，min故所求函数的值域为氏；43, +8 例 22.求函数 y = X：X2 6x + 13 ：x2 + 4x + 5 的值域。解：将函数变形为：y = J(x 3)2 + (0 2)2(X + 2)2 + (0 1)2上式可看成定点A(3，2)到点P (x, 0)的距离与定点B(2,1)到点P(x,0)的距离之差。即： y =| AP| BP |由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成AABP，根据三角 形两边之差小于第三边，有| AP | | BP | AB |= J(3 + 2)2 + (2 -1)2 =迈6即：-26 y 0, v 0, u 2 + v2 = 2 , u + v -儿原问题转化为：当直线u + v = y与圆u2 + v2 = 2在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当u + v = y经过点（0八迈）时，y 二辽；min当直线与圆相切时，y 二OD = J1OC = C2）二2。max所以：值域为叮2 y 2ab,a + b + c 33abc （a,b,c e R +），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添 项和两边平方等技巧。例25.求函数y二（sinx +)2 + (cos x + sin xcos x）2 - 4的值域。解：原函数变形为：y = (sin2 x + cos2 x) +11+sin2 x cos2 x=1+ces2x+sec2 x=3+tan2x+cot2x 3 +tan2 x cot2 x=5当且仅当tan x = cot x冗即当x二k兀土一时(k e z)，等号成立4故原函数的值域为：5, +8)例26.求函数y = 2sin xsin 2x的值域。解: y = 4sin xsin xcos x=4sin2 x cos xy 二 16sin4 x cos2 x二 8sin 2 x sin2 x(2 2sin 2 x) 8(sin2 x + sin2 x + 2 2sin 2 x)/33_ 64_272当且仅当sin2 x = 2 2sin 2 x，即当sin2 x = 3时，等号成立。由y 2 67可得:学 y 0)，则 x + 3 二 12 +11当且仅当t=1,即x_1时取等号，所以0 v y 2_ t _1 0 时，y 12 +11 _ 2t + t2)当 t=0 时， y=0。综上所述，函数的值域为：02注：先换元，后用不等式法例28.求函数y二1 + X 2X2 +心+ X4的值域。1 + 2 X 2 + X 4解：y 二 I 2X2 + X4 + X + X31 + 2X2 + X41 + 2X2 + X421 - X 2 2 X +、1 + X 2 丿1 + X 2=cos2 B1y = cos2 B + sin B21=sin2 B + sin B +1217+ -16当sinB= 1时，y =卩4max 16当 sin B = -1 时，y = -2minB17 此时tan-都存在，故函数的值域为-2,2L16注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin B的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰 当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特 殊方法。