排列组合题型方法归纳

排列组合题型方法归纳总结一. 特殊元素和特殊位置优先策略素占了例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排，以免不合要求的元 这两个位置.先排末位共有C i 然后排首位共有C i3 4最后排其它位置共有A3由分步计数原理得C1C1 A3二2884 434位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少 不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行非列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有AfA2叫-480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三. 不相邻问题插空策略例3.个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少 种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间5包含首尾两个空位共有种A 4不同的方法，由分步计数原理,节目的不同顺序共有A 5 A 4_种656元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为0四. 定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： A7/ A373（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A4种方法，其余的三个位置甲乙丙共有4种坐7法，则共有A4种方法。7思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插练习题:（1）10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？C510（2）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入 原节目单中，那么不同插法的种数为42五. 重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有种分法把第二名实习生分配到车间也有7种分依 此类推，由分步计数原理共有76 种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种练习题：1. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法竺六. 环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人，并从此位置把圆形展成 直线其余7人共有（8-1）！种排法即7 ！AABCDEFGHA一般地,n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆1形排列共有一Amn n练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120七. 多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有A2种,再排后4个位置上 4的特殊元素丙有巴种，其余的5人在5个位置上任意排列有聖种,则共有A 4 A A5种后排一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑,再分段研八. 排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C2种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C2 A4_45 4解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想此法与相邻元素捆绑策略相似吗？练习题：一个班有6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务， 且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种九. 小集团问题先整体后局部策略例9.用1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间,这样的五位数有 多少个？解：把1,5,2, 4当作一个小集团与3排队共有A 2种排法，再排小集团内部共有A 2 A 2种排法，由分步计2 2 2数原理共有 A2A2A2 种排法.2 2 2讣3小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。练习题：1 .计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A 2 A 5 A 4254十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6种分法。9o|o ololo ololo olo班 班 班 班 班 班 班将n个相同的元素分成m份(n, m为正整数)，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板， 插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为CmTn _1练习题：110个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？ C492 . xyz + +利100求这个方程组的自然数解的组数 C3103十一.正难则反总体淘汰策略对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法例11从 4台甲型和5 台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的 取法共有( )种A140 种B80 种C70 种D35 种有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出 它的反面，再从整体中淘汰.练习：1.求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。2. 我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解：分三步取书得C2C2C2种方法，但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,642第 二 步 取 CD, 第 三 步 取 EF 该 分 法 记 为 （AB,CD,EF）, 则 C2C2C2 中 还 有642(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3 种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)3一种分法,故共有C2C2C2 /A3种分法。6423平均分成的组，不管它们的顺序如何,都是一种情况，所以分组后要一定要除以An （ n为均分的n 组数）避免重复计数。练习题：1将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？ （ CC 4C4 /A2）13 8422.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法（1540）3. 某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ C2C2AA 2二90）4262十三.合理分类与分步策略 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节 目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5 人中没有人选上唱歌人员共有C2C2种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员CiCiC2种，只会唱的5人33534中只有2人选上唱歌人员有C2C2种，由分类计数原理共有C2C2 + CiC C2 + C2C2种。5 53353455解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有注2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2号船最多乘2人,3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法. （27）本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3 盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C3种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒 模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？(120) 十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每 个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有C2种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原理有2C2种53号盒4号盒5号盒对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1. 同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2. 给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有卫种十六.分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2X3X5 X 7 X 11X 13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：C1 + C2 + C3 + C4 + C555555练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C4 -12二58,每个四面体有3对异面直线，正方 8体中的8个顶点可连成3乞8二174对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题 逐一解决,然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到 问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略例17. 25人排成5 X 5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？解:将这个问题退化成9人排成3X3方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少选法. 这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后，把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3X3方队中 选3人的方法有C1C1C1种。再从5X5方阵选出3X3方阵便可解决问题.从5X5方队中选取3行3列有321竺选法所以从5X5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有qqqqC1选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简 要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法, 从而进下一步解决原来的问题练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？ （C3二35）7十八.数字排序问题查字典策略 例18由0， 1， 2， 3， 4， 5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？4321解：N 二 2 A 5 + 2 A 4 + A 3 + A 2 + A1 二 29数字排序问题可用查字典法，查字典的法 应从高位向低位查，依次求出其符合要求 的个数，根据分类计数原理求出其总数。练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是3140十九.树图策略例 193 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有 N二10对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果练习：分别编有1, 2, 3, 4, 5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（i = 1,2,3,4,5 ）的不同坐法有多少 种？ N 二 44二十、一一对应法：例 20. 在 100 名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几 场？99 场。小结本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点,通过 我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞 大,难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来 解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三, 触类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础。反馈练习一1. 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排扌 种.2. 7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？3. 8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？4. 用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8组成没有重复数字的八位数，要求1 与2相邻， 2与4相邻， 5与6相邻而7与8不相邻。这样的八位数共有个.（用数字作答）5. 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？6. 从1、2、3、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？7. 6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲乙丙”顺序排的排队方法有多少种？8. 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？的填法种数有10. 方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？11. 把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数试求不同分法的种数。12. 20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？13. 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？14 从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？15. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有种？反馈练习二一.填空题:(用直接填空法解下列排列组合问题)1. 7 个人并排站成一排(1) 如果甲必须站在中间,有种排法.(2) 如果甲、乙两人必须站在两端,有种排法.2. 用 0,1,2,3,4,5,可以组成没有重复数字的四位偶数个.3. 四男三女排成一排,三个女的要相邻，有种排法；(2)女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)有种.4. 四男三女排成一排,(1)女同学互不相邻,有种排法.(2)男同学互不相邻,女同学也互不相邻,有种排法.5. 8 人排成一排,其中甲、乙两人不排在一起,有种排法.6. 平面内有 8个点,其中有 4个点共线,另外还有三点共线,此外再无三点共线.则(1)过这8 个点中的任何两点可和条直线.(2)由这8个点可以组 个不同的三角形分组分配问题：7.18名同学,(1)平均分成三组，有种分法.(2) 平均分给数、理、化小组有种分法.(3) 分配给化学小组7人，物理小组6人，数学小组5人，有种分法.(4)分给数、理、化小组,其中一个组为 5 人,一个组为 6 人, 一个组为 7 人,有种分法.二.填空题(可以尝试用多种方法解)1. 某班上午要上语文、数学、体育和英语,又体育教师因故不能上第一节和第四节, 则不同的排课方案有 种.2. 从 5 位女同学,6位男同学中选出3 位女同学和2位男同学担任五种不同的职务,有种选法.3从甲、乙,，等6人中选出4名代表，那么(1)甲一定当选，共有种选法.(2) 甲一定不入选，共有种选法.(3) 甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.4. 将5本不同的数学书，4本不同的物理，3本不同的化学书排成一排，(1) 各类书必须排成一起，问有种排法.(2) 化学书不全排在一起，问有种排法.(3) 化学书每两本都不相邻，问有种排法.5. 有男女售票员各4人，被分配在四辆公共汽车上，要求每辆车上男、女各1人，则有种分法.