信号与系统第9章课件

信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS1第第9章章 时域离散系统的时域离散系统的Z域分析域分析 9.1 利用z变换分析系统的频域特性 9.2 几种特殊的时域离散系统 9.3 小结信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS2引言引言在第在第4章已经详细介绍了序列的章已经详细介绍了序列的z变换和傅里叶变变换和傅里叶变换，本章应用序列换，本章应用序列z变换和傅里叶变换来分析系统变换和傅里叶变换来分析系统的频域特性，包括用的频域特性，包括用z变换解差分方程、系统函数变换解差分方程、系统函数与频率响应的关系、利用系统函数的零极点判断系与频率响应的关系、利用系统函数的零极点判断系统的因果性和稳定性、通过系统函数零极点的几何统的因果性和稳定性、通过系统函数零极点的几何位置分析系统的频率特性等，并运用这些知识详细位置分析系统的频率特性等，并运用这些知识详细地分析了全通滤波器、梳状滤波器、最小相位系统地分析了全通滤波器、梳状滤波器、最小相位系统等。利用等。利用z变换来分析系统的性质是数字信号处理变换来分析系统的性质是数字信号处理的重要内容之一。的重要内容之一。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS39.1 利用利用Z变换分析系统的频域特性变换分析系统的频域特性 9.1.1 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程9.1.2 频率响应与系统函数频率响应与系统函数9.1.3 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性和稳定性9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性利用系统的零极点分布分析系统的频率特性信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS49.1.1 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程设N阶LTI离散系统的差分方程一般形式为(9.1-1)()(00inxbknyaMiiNkk设 是因果序列，即 ，已知初始条件 ，。对(9.1-1)式进行z变换，注意这里要用单边z变换。)(nx0)(nx0n)1(y)2(y)(Ny 信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS59.1.1 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程设 0)()(nnznyzYkmmknknknnIzmyzzknyzzknynuknyZ)()()()()(0)(0110)()()()(kmmkkmmmmkzmyzYzzmyzmyz(9.1-2)信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS69.1.1 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程按照(9.1-2)式对(9.1-1)式进行单边z变换，有(9.1-3)iMiiNkkmmkkzzXbzmyzYza)()()(001NkkkNkkmmkkNkkkMiiizazmyzazXzazbzY00100)()()(信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS79.1.1 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程 上式右边第一部分与系统初始状态无关，称为上式右边第一部分与系统初始状态无关，称为零状态解，第二部分与输入信号无关，称为零输零状态解，第二部分与输入信号无关，称为零输入解。求零状态解时可用双边入解。求零状态解时可用双边z变换，也可用单变换，也可用单边边z变换。求零输入解时须考虑初始条件，必须变换。求零输入解时须考虑初始条件，必须用单边用单边z变换求解。变换求解。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS89.1.1 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程其中 ，求 。例例9-1 已知一离散系统的差分方程为)()1()(nxnbyny)(ny)()(nuanxnby1)1()()1()()(1zXyzYzbzY111)1(1)()(bzbybzzXzY111111111)(bzazbzzY解：解：对方程两边取z变换 信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS99.1.1 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程上式第一部分是零状态响应 ，第二部分是零输入响应 ，全响应 。111()()()nnzsynabu nab()()nziynb u n)()()(1)()()(11nubnubabanynynynnnzizs信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS109.1.2 频率响应与系统函数频率响应与系统函数1.系统的频率响应()()jj nnH eh n e2.系统的系统函数 NkkkMiiizazbzXzYzH00)()()(jezjzHeH|)()(3.系统函数与频率响应的关系：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS11o因果系统的单位响应 一定满足当 时，=0，那么其系统函数 的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域是圆外区域。2.系统稳定要求 ，对照z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为：9.1.3 利用系统函数的极点分布分析系利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性统的因果性和稳定性)(nh)(nh0n)(zHnnh|)(|10,|rzr信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS129.1.3 利用系统函数的极点分布分析系利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性统的因果性和稳定性例例9-2 已知 ，分析其因果性和稳定性。)10()1)(1(1)(12aazazazH，)(zHaz 1 az|1zaaz|01|aza解：解：的极点为 ，。(1)收敛域，对应的系统是因果系统，但，对应的系统是非因果且(2)收敛域由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。不稳定系统。(3)收敛域 ，对应的系统是一个非因果系统，由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS139.1.3 利用系统函数的极点分布分析系利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性统的因果性和稳定性单位响应 ，这是一个收敛的双边序列，如图9-1(a)所示。|)(nanh1n)(nh8.0a0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-512 N（a）信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS149.1.3 利用系统函数的极点分布分析系利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性统的因果性和稳定性(b)图9-1 例9-2图示6 7 8 9 10n)(nh8.0a0 1 2 3 4 5信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS15将式(9.1-5)因式分解，得到9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性NkkMmmzdzcAzH1111)1()1()(9.1-8)将式(9.1-8)分子、分母同乘以 ，得到MNzNkkMmmMNNkkMmmdzczAzzdzcAzH111111)()()1()1()(9.1-9)信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS16设 ，由式(9.1-10)得到9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性设系统稳定，将 代入上式，得到频率响应jez)(arg11)()()()()(jeHjjNkkjMmmjMNjjeeHdeceAeeH(9.1-10)MN NkkjNmmjjdeceAeH11)()()(9.1-11)信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS179.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性mjmceBckjkdeBdmjmmecBckjkkedBd零点矢量和极点矢量用极坐标表示)(1111)()()()(jjNkkNmmNkkjNmmjjeeHBdBcAdeceAeH代入式(9.1-11)得 信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS18系统或者信号的频率特性由式(9.1-12)和式(9.1-13)确定。当频率 从零变化到 时，这些矢量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照式(9.1-12)和式(9.1-13)，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性NkkNmmjdcAeH11|)(|NkkNmm11)(9.1-12)(9.1-13)2信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS199.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性 当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点矢量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近时，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，且零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点在单位圆上时，谷值为零。综上所述，极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS209.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性例例9-4 设一阶系统的差分方程为 用几何法分析其幅度特性。解：解：由系统差分方程得到系统函数为：式中 ，系统极点 ，零点 ，当B点从 逆时针旋转时，在 点，由于极点矢量长度最短，形成波峰。在 时形成波谷。处的零点不影响频响。零极点分布及幅度特性如图9-4所示。)()1()(nxnbyny|11)(1bzbzzbzzH10 bbz 0z000z信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS219.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性02|)(|jeH25.0b0jImzRez1b图9-4例9-4的零极点及幅度特性信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS229.2 几种特殊的时域离散系统几种特殊的时域离散系统9.2.1 全通滤波器9.2.2 梳状滤波器9.2.3 最小相位延时系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS231.定义：定义：滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，即2.全通滤波器的频率响应可表示成9.2.1 全通滤波器全通滤波器201|)(|，jeH )()(jjeeH 表明信号通过全通滤波器后，幅度谱保持不变，仅相位谱 随改变，起纯相位滤波作用。)(3.全通滤波器的系统函数一般表达式如下：12012012120()11NN kNNNkkNNNkNkka zzaza zaH zaaza za za z ，信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS24全通滤波器系统函数 的构成特点是其分子、分母多项式的系数相同，但排列顺序相反。可以表示为：或者写成二阶滤波器级联形式：9.2.1 全通滤波器全通滤波器LiiiiizazaazazzH1112221121)()(zH)()()(10000zDzDzzazazzazazHNNkkkNkkkNNkkkNkkNkNkkkzazD0)(信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS259.2.1 全通滤波器全通滤波器全通滤波器零极点的分布规律：极点和零点互为共轭倒易关系。因此，全通滤波器的系统函数也可以写成如下形式：NkkkzzzzzH1111)(全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡。如果要求设计一个线性相位滤波器，可以设计一个具有线性相位的FIR滤波器（第11章），也可以先设计一个满足幅频特性要求的IIR滤波器（第10章），再级联一个全通滤波器进行相位校正，使总的相位特性是线性的。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS26当N=8时，零点为 ；极点为 ；的零极点分布和幅频响应特性曲线如图9-6所示。9.2.2 梳状滤波器梳状滤波器梳状滤波器的系统函数为：NNNazzzH11)(71082，kezkjk710828，keapkjk)(zH。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS279.2.2 梳状滤波器梳状滤波器0Re(z)1(a)N1零点在单位圆上极点在半径为 的圆上N10N2N4N6 N8 N10(b)(jeHjIm(z)图图9-6 梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性（梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性（N=8）信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS289.2.3 最小相位延时系统最小相位延时系统)(arg11)()()()()(jeHjjNkkjMmmjMNjjeeHdeceAeeH稳定系统的频响函数)(argarg)(arg11MNdeceeHNkkjMmmjj=(各零点矢量相角和)(各极点矢量相角和)(MN 只有单位圆内的零极点对 有影响。)(argjeH信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS29若用 ，分别表示单位圆内与单位圆外的零点数，则 ，用 ，分别表示单位圆内与单位圆外的极点数，则 。下面具体讨论零极点分布对系统相角的影响。（1）一个因果稳定的时域离散线性时不变系统，其所有极点必须在单位圆内，则9.2.3 最小相位延时系统最小相位延时系统im0m0mmMiip0p0ppNi0222)(222)(argmMmMNNmeHiij信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS309.2.3 最小相位延时系统最小相位延时系统当全部零点在单位圆内时，即 ，则Mmi00m0)(222)(argMNNMeHj这时相角变化最小，把这种系统称为最小相位延时系统，即一个线性时不变系统，如果零极点全部都在单位圆内，那么该系统是最小相位的。当全部零点在单位圆外时，即 ，则0im 0mMarg()22()2jH eNNMM 这时相角变化最大，把这种系统称为最大相位延时系统。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS319.2.3 最小相位延时系统最小相位延时系统（2）对逆因果稳定系统，其所有极点必须在单位圆外，)(22)(argMNmeHij当全部零点在单位圆内时，即 ，则Mmi00marg()22()2jH eMNMN这时相角变化最大，把这种系统称为最大相位超前系统。当全部零点在单位圆外时，即 ，则0im 0mMarg()2()jH eNM这时相角超前量最小，把这种系统称为最小相位超前系统。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS329.2.3 最小相位延时系统最小相位延时系统 最小相位延时系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位延时系统的几个重要特点。(1)任何一个非最小相位系统的系统函数 均可由一个最小相位延时系统 和一个全通系统 级联而成，即)(minzH)(zHap)(zH)(zH)()(minzHzHap=1*0011*011*01*00110111)1)(11)()()(zzzzzzzHzzzzzzzHzzzHzH信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS339.2.3 最小相位延时系统最小相位延时系统(2)在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延时(负的相位值)最小。同一个系统函数，利用共轭倒易关系可以将零点在单位圆内外进行相互转移，得到若干幅频特性相同的滤波器，但其中全部零点均在单位圆内的是最小相位系统。（3）最小相位延时系统保证其逆系统因果稳定。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS349.3 小结小结本章重点介绍了利用z变换来分析时域离散系统。1、利用z变换解差分方程，z变换能将差分方程变换成线性方程，通过解线性方程得到全响应的z变换解，然后通过逆z变换得到全响应的时域解，并且能将零状态响应和零输入响应分开研究。2、系统函数与频率响应之间的关系为：，可以从系统的零极点分布判断系统的因果性和稳定性，系统函数零极点的位置还能决定系统的幅频特性和相频特性，其中极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状。jezjzHeH|)()(信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS359.3 小结小结3、用z变换分析了几个典型的系统全通滤波器、梳状滤波器和最小相位系统。全通滤波器、梳状滤波器和最小相位系统都是数字信号处理中常用的系统，全通滤波器的零极点成共轭倒易关系，是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡；梳状滤波器的零点等间隔地分布在单位圆上，极点等间隔地分布在半径为 的圆上，可用于消除电网谐波干扰，在彩色电视接收机中用于进行亮色分离和色分离。最小相位延时系统的零极点全部在单位圆内，延时最小，并且其逆系统也是因果稳定的，在解卷积和信号预测等数字信号处理中有重要的作用。Na