考研极限试题

考研极限试题（卷）（总15页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-“考研数学”做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高等数学主编： 杨降龙 杨 帆刘建新翁连贵 吴业军近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生 由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来 越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的 学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种 的原因希望通过读研来更好地实现自我。这些年的统计数据表明：应届与往 届的考生基本各占一半。自 1989 年起，研究生入学数学考试实行全国统一 命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲”， 该考试大纲除了在 1996 年实施了一次重大的修补以外，从1997 年起一直 沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。因此要求考生能及时了解掌 握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不 同考试要求系统有重点的复习。通常研究生入学数学考试与在校大学生的期 末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的 期望值设定在 80（按总分 150 分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性 强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技 能（包括各学科之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘 汰率很高。为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。该讲义共 分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同 时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效 的指导。第一章 函数 极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函 数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函 数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比 较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间 断点的类型，闭区间上连续函数的性质。考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念 的结合应用。3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。6、掌握极限的性质与四则运算。7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限 的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并会利用这些性质。1 函数一、函数的概念二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性；三、函数的运算（重要考点）：四则运算、复合运算（复合函数）、逆运算（反函 数）；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。例题1、（88）已知f（x） = ex2, fg （x） = 1 -x,且申（x） 0，求甲（x）及定义域。2、(92)已知 f (x) = sinx, fg (x) = 1 -x2,求甲(x)定义域。3、设 f ( ) = x(1+；xf (sin x +) = sin2 x + sin x +1), x 0，求 f (x)。4、丄+ 3,sin 2 x12 x,5、(97) g(x) = L + x,x 0,x2,x 011 + x, 设 f (x) = Lx 0求 ff (x)。xf1,7、(90) f(x)=仁Uplxl 1求 f f (x) 。1 x 00 x1的反函数。9、(96)设函数f (x) = x3, 1 x 2写出f (x)的反函数g(x)的表达式；(2) g(x)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点1 c10、设f (x)满足：af (x) + bf二-,a,b,c为常数，且|a|丰b，试证：f (x)为奇函x x数。sin x设 f (x)连续，且 f (x)二+ 2lim f (x),x 兀xT兀11、Vx e R, f (x)满足：2f (x) + f (1 x)二 x2，求 f (x)。12、求 f (x),lim f (x) 。x T兀13、(89)设 f (x)连续，且 f (x) = x + 2f1 f (x)dx，求 f (x)。014、(97)设 f (x)二-+ 1 x2 f 1 f (x)dx，求 f 1 f (x)dx。2 极限一、定义及性质 （1）唯一性；（2）局部有界性；（3）局部保号性:(i)若f (x) 0,(或f (x) 0 (或 A 0 xTx0(或 A 0 (或 f (x) 0).2、- 丿注意：x的广泛的代表性sin u, tan u, ln(1 + u), e 1, arcsin u, arctanu u1 cosu17 2 u 2, (1 + u)a 1 a u 等（2） 有界函数乘无穷小仍为无穷小5、用罗必达法则设(1) lim f (x) = OS), limF(x) = O(s),(x T x或x Ta) 在x的某个去心邻域内(当x充分大时)f (x),F(x)可导，且Fx)丰0 O(3) lim f (x) = A(a)F x)lim 型=lim 仝=A(a) F (x)F (x)基本类型有0和-。对于0g a a，可以通过初等变形转化为0和-。对于0 a 0 a1a , a0, 00，通过取对数再用罗必达法则6、用变量代换注意：该方法要视极限的具体形式而定，如：在计算xTx的极限时，如果被求极限中 0含有x x的因式时，可以令x x = t ；在计算x T-的极限中，如果被求极限中含有 0011-，则可令-=t。在研究生数学入学考试中不常出现 xx7、用极限存在的二个准则i）夹逼（两边夹）定理；ii）单调有界定理：单调递增（减）有上界（下界）的数列必有极限9、用定积分定义当已知函数 f (x) 可积时，有lim 工 f (-)1 = f1 f (x)dx, lim 工 f (ia )1 = fnsn n 0nsn n 0a 0i=1i=1limnT8 .-i=1f (a + -)-nnf1 f (a + x)dx = f0a+1 f (x)dxalim 工 f (a +)匕= fbf( x)dxnsnnai=110、用微分和积分中值定理11、用 Taylor 公式注意：下面几类极限一般要讨论左右极限：分段函数在分段点的极限；xTx时，与绝对值或开偶次方根有关的极限；01x T x时，含有形如ax - xo因式的极限。0三、无穷小阶的比较设a,卩均为无穷小，且不为0,如果：lima/卩=0时，则称a是卩的高阶无穷小，或称卩是a的低阶无穷小，记a = 0( P)。lim a / P= c丰0时，则称a与卩为同阶无穷小，特别当c = 1时，称a与卩是等价无 穷小。(3) lima/pk = c丰0时，则称a是卩的k阶无穷小。注意：无穷小的比较是在数学考试中一个经常考的考点,尤其在数二、三、四中。其主要考法有：已知函数f ( x)与另一已知函数g (x)是同阶无穷小，求f (x)中所含的参数;当函数f ( x)满足什么条件时，是xn的同阶(高阶)无穷小；将给出的几个无穷小按其阶从小到大排列。例题一) 极限的计算1、(00)设对任意的 x，总有9 (x) f (x) g(x)，且limg(x) 9 (x)二 0，则xTglim f(x)：xTg2、3、4、5、(A)存在且等于零,(C)定不存在，1)1)1)B)D)存在但不一定为零，不一定存在。ex +sinxlimxT0 xcosx+sinx1x + x2 cos x3sin(97) limxtO (1+ cos x) - ln(1+ x)1 + x 0) o9、05)设函数f (x)连续，且f (0)丰0，求极限limx t0Jx (x 一 t) f (t )dt -0xarctan x - sin x10、(07) lim=x0x3二) 关于数列极限：10、(03)设a ,b , c 均为非负数列，且 lim a 二 0, lim b 二 1, lim c ，则 n n n n n nn sn sng必有：(A) a b对任意n成立； nn(B) b 1)，求 lim x 。 n* n17、(06)设数列t 满足0 0x1 (02)设函数f (x)彳arcsin2在x二0处连续，则a二ae 2xx 0ln(l+ ax3)x arcsin x2 (03)设函数f(x) = 6eax + x2 ax 1x 0xx sin4续；a为何值时，x二0是f (x)的可去间断点？x3、(00)设函数f (x)二- 在(-。+Q内连续，且lim f (x)二0，则常数a、b满a + ebxx足：(A) a 0, b 0, b 0 ,(C) a 0 ,(D) a 0, b 0 .14、(05)设 f (x)二，则()el1 1(A) x = 0, x = 1都是f (x)的第一类间断点。(B) x = 0,x = 1都是f (x)的第二类间断点。(C) x = 0是f (x)的第二类间断点，x = 1是f (x)的第二类间断点(D) x = 0是f (x)的第二类间断点，x = 1是f (x)的第一类间断点5、(04)设f (x) = lim(n 1)x，则 f (x)的间断点为 x =。nx2 +16、98)设 f (x)二 limnT8(A)不存在间断点，讨论 f (x) 的间断点，结论为：(B)存在间断点x二1,(C)存在间断点x二0,(D)存在间断点x = -1。7、下列命题中正确的是( )(A) 设函数f (x)在x二x0处连续,g(x)在x二x0处不连续，则f (x) + g(x)在x二x0处必 不连续(B) f (x), g(x)都在x = x0处不连续，则f (x) + g(x)在x = x0处必不连续(C) 设函数f (x)在x二x0处连续，g(x)在x二x0处不连续，则f (x) g(x)在x二x0处 必不连续(D) f (x)， g(x)都在x二x0处不连续，则f (x) g(x)在x二x0处必不连续xQ8. (98)求f (x) = (1+ x)tan(x-4)在(0, 2 )内的间断点及类型。9、(07)函数f(x) = 在-Q，兀上的第一类间断点是x =x(e x - e)(A) 0; (B) 1;(C) -； (D)巴。2210、设 f (x)在a, b上连续，且 a2 f (x) b2 ,求证:玉 w a, b，使 f(g) = g211、f (x)在0,1上非负连续，f (0)二f (1)二0，证明：对Vl e R (0 l 1), 3x e 0,1，使 f (x ) = f (x +1)。0 0 012、证明：方程x + p + q cos x二0恰有一个实根，其中p, q为常数，且0 q 113、设f (x)在a, b上连续，a x x b，试证，对V两个正数t与t，定3点1 2 1 2 c e a, b，使 tf (x ) +1 f (x )二(t +1 )f (c)。1 1 2 2 1 2 (本题的证明思想应掌握，并应能将结论推广到更为般的情况)14、(4)函数f二刖总在下列哪个区间内有界:A)(1，0)；(B)(0，1)；(C)(1，2)；(D)(2，3)单元练习1、求函数f (x)二sin( x)的定义域2、函数f (x) = ln(1 -ei-x)的定义域为。3、若f (x)的定义域为(0,1)，则函数f (ex -1)的定义域为_4、f (x) = |x sin x|ecosx， x e (-s, + s)是(A)有界函数(B)单调函数(C)周期函数n 2 + .n5、n为奇数n为偶数o)(D)偶函数()(A)无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量(D)无界变量6、设 f (x)是连续函数，且 f (x) = x + 211 f (t )dt，则 f (x)二07、当 x T 0时,下列四个无穷小量中,哪个是比其它三个更高阶的无穷小)(A) x 2(B) ；1 x2 一 1C) x- tan xD) 1-cosx28、设f (x)， g(x)在x二0的某个领域内连续，且当x T 0时f (x)是g(x)咼阶的无穷 小，则当 x T 0时， Jx f (t) sin tdt 是 Jx tg (t)dt 的()00(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)同阶但不等价无穷小 (D)等价无穷小9、 (x)二卜竺 dt, 0 (x)二卜x (1 + t)；dt，则当 x t 0 时 a (x)是 0 (x)的()0 t0(A)低阶无穷小B)高阶无穷小(C)同阶但不等价无穷小(D)等价无穷小10、已知iimln(1 + x) -(ax + bx2)= 2，则 XT0X2(A) a = 1,b = (B) a = 0,b = 221111、当x T 0时，变量一sin 是x 2 x5 - 2-一一b,0一一a一一b,1一一a(A)无穷大量(B) 无穷小量(C) 有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大12、131415、11 lim(-) xT0 x ex 1lim( $ n + 3 n 、； n n)nTglim(x x2x TS a1ln(1 + -)xlim - (一 a)ln(1 + ax)(a 丰 0)xT0 xx 216、lim xxTSsinxsin ln(1 + _)xarctan(1 +1)dt du17、lim丄xT0x xcos xIn cos( x -1).x丰1兀18、问f (x)在x = 1处是否连续，若不连续,设 f (x) = 1-sin - x1x = 1修改函数在 x = 1处的定义，使之连续。2)(06)设函数 f (x)=丄J x 3a,x sin t3 dt, x 丰 0 +0在x = 0连续，则a =x=019、讨论函数 f ( x) = arctan的连续性20、21、研究函数f (x) = limn1 + x2n的连续性ns(1 -丄V x x + 1 丿讨论函数f (x)=-丄 -丄的间断点，并指出其类型V x -1 x 丿22、设0 x1 3， x = ；x (3-x )，证明数列c 收敛，并求limx1n+1n n n n23、若f (x)在区间a, b上连续，a x x x b，证明存在gw x , x ，使12n12f 忆)=f (/ f (“ 2+ f (I)结论可以改成：存在xi，x2，使f (g )=賞(G + 12f ( x 2) + + t丄(I)n t = 1,(0 t 1)ii i=1答案：1、定义域：4n2兀2 x (2n +11 兀2 ; 2、(1, +Q ； 3、(0,ln2) ；4、D ；5、D ；6、f (x)二 x-1 ；7、D ；8、B ；9、C ；10、A ；11、D ； 12、1/2 ；13、2 ；14、1/2,兀4 15、a2-2 ； 16、2 ； 17、； 18、在x二1处不连续，改变定义使f (1)二-可使6兀2函数在x二1连续；19、x二0,1,-3均为第一类间断点；20、函数在(-0+)上处处连3续；21、x = 0,1是可去间断点，x =-1是无穷间断点；22、limx =；23、在区n 2间 x , x 上应用最值定理12i1一舟殳形式：lim(1 + u) u = e , lim(1 + )u = e u T0u Tgu通常对于含三角函数的0型极限用i）,对于lg型极限用ii）。4、（1） 用等价无穷小计算极限x T 0 时，常见的 等价无穷小有