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等差数列及其通项公式等差数列及其通项公式一般地,如果一个数列 a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a an n 从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数d,a a2 2 a a1 1=a a3 3-a-a2 2=a=an n-a-an-1 n-1=d=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。知识回顾知识回顾an+1-an=d(nN*)通通 项项 公公 式式 的的 推推 导导1 1(归纳猜想)(归纳猜想)设一个等差数列设一个等差数列 an n 的首项是的首项是a1 1,公差是公差是d,d,则有:则有:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,所以有:所以有:所以等差数列的通项公式是:所以等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d(nN*)问问an=?=?通过观察:通过观察:a2,a3,a4都可都可以用以用a1与与d 表示出来表示出来;a1与与d的的系数有什么特点?系数有什么特点?a1 1、an n、n、d知三知三求一求一a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,an=a1+(n-1)da2=a1+d,a3=a2+d =(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d =(a1+2d)+d=a1+3d21aad32aad43aad12nnaad1nnaad叠加得叠加得1(1)naand等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式推导2(叠加)(叠加)dnaan)1(1例第一届现代奥运会于例第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每年在希腊雅典举行,此后每4年年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算。举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算。(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式 (2)2008年北京奥运会是第几届?年北京奥运会是第几届?2050年举行奥运会吗?年举行奥运会吗?解解:(1)由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以)由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,为首项,4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为为公差的等差数列。这个数列的通项公式为 an=1896+4(n-1)=1892+4n(nN*)(2)假设假设an=2008,由由 2008=1892+4n,得得 n=29.假设假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解无正整数解答:所求通项公式为答:所求通项公式为 an=1892+4n(nN*),2008年北京奥运会是第年北京奥运会是第29届,届,2050年不举行奥运会年不举行奥运会例例.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a3=10,a9=28,求求a12。推广:推广:等差数列等差数列an中中,am,an(nm)等差数列的通项公式一般形式等差数列的通项公式一般形式:an=am+(nm)d.解:由题意得解:由题意得a1+2d=10a1+8d=28所以所以a12=4+(12-1)3=37注注:a12=a1+11d=+(12-3)d=+(12-3)d =+(12-9)d=+(12-9)d解得:解得:a1=4 d=3练一练练一练:已知:已知a5=11,a8=5,求等差数列求等差数列an的通项公的通项公式式.练练习习1 1、填空题:、填空题:(1)(1)已知等差数列已知等差数列3 3,7 7,1111,则,则a11=(2)(2)已知等差数列已知等差数列1111,6 6,1 1,则,则an =(3)(3)已知等差数列已知等差数列1010,8 8,6 6,中,中,-10是第(是第()项项43-5n+1611练习练习2.已知等差数列已知等差数列an的通项公式为的通项公式为an=2n 1.求首项求首项a1和公差和公差d.变式引申变式引申:如果一个数列如果一个数列an的通项公式的通项公式an=kn+d,其中其中k,b都是常数都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗那么这个数列一定是等差数列吗?语言描述这种现象语言描述这种现象想一想!想一想!1a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamndmnpq mnpqaaaa d na Nqpnm,qpnmqpnmaaaa 在等差数列在等差数列中,中,为公差,若为公差,若且且求证:求证:证明:证明:设首项为设首项为,则,则例例2.111(1)(1)2(2)pqaaapdaqdapqd等差数列的性质等差数列的性质 若p=q呢?2,2mnpmnpaaa若则有练习练习.在在等差数列等差数列an中中(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20,求,求a1+a20(2)已知)已知 a3+a11=10,求,求 a6+a7+a8分析:由分析:由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及及 a6+a9+a12+a15=20,可得可得a1+a20=10分析:分析:a3+a11=a6+a8=2a7,又已知又已知 a3+a11=10,a6+a7+a8=(a3+a11)=1523例题分析例题分析1591317315(3)117,naaaaaa已知数列是等差数列,且求a+a 的值1 1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6,2 2a-5-5,-3-3a+2 2,则则 a 等于(等于()A.-.-1 1 B.1 1 C.-2 -2 D.2B2.在在数列数列an中中a1=1,an=an+1+4,则,则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6-6)提示提示1:提示:提示:d=an+1an=4-353.在在等差数列等差数列an中中 (1)若若a59=70,a80=112,求,求a101;(2)若若ap=q,aq=p(pq),求,求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0课堂练习课堂练习 13746211,101252,12,4.(3)9418nnadaaaaaa 练习题()等差数列第项大于,求公差 的范围()已知等差数列满足求数列的通项公式四个数成等差数列,其中四个数的平方和为,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少,求这四个数。15253533,66,aaa在等差数列中,求的值(4)例31121,2nnnnnaaaaa已知数列的各项均为正数,且满足a,求练习练习已知已知 ,求,求 的值。的值。)(21)(2)1(,2)1(*Nnnfnff)2007(f100523200721)2007(2321)(212)(21)()1(1)(2)1(2fnnfnfnfnfnfnf即的等差数列,公差为是首项为解解:小结小结掌握等差数列的通项公式,并能运用公掌握等差数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的问题式解决一些简单的问题an=a1+(n1)d 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力a amm+a an n=a ap p+a aq q上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项,否则不成立。如的项,否则不成立。如a a1 1+a a2 2=a a3 3 成立吗?成立吗?【说明说明】3.3.更一般的情形,更一般的情形,a an n=,d d=1.1.a an n 为等差数列为等差数列 2.2.a a、b b、c c成等差数列成等差数列 a an n+1+1-a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n=a a1 1+(n-n-1)1)d da an n=kn +bkn +b(k k、b b为常数)为常数)a amm+(n n-mm)d dmnaamnb b为为a a、c c 的等差中项的等差中项2cab 2 2b=a+cb=a+c4.4.在在等差数列等差数列 a an n 中,由中,由 m+n=p+q m+n=p+q 注意:注意:上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的;的;等差数列的性质等差数列的性质5 5.在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+a an n a a2 2+a an-n-1 1 a a3 3+a an-n-2 2 =作业作业书上书上39页,第页,第3题(题(2),第),第4题题谢谢 谢!谢!
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