泛函分析在小波理论中的应用

现代数学基础报告泛函分析在小波理论中的应用通过应用泛函分析课程的学习，了解到泛函分析是本科高等数学的推 广，它综合了函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子 和极限理论。半个多世纪以来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材 提取自己研究的对象和某些手段，并形成了自己的许多重要分支；另一方面， 它也强有力地推动着其他分析学科的发展。它的观点和方法已经渗入到不少工 程技术的学科之中，成为近代分析的基础之一。小波分析作为一个新的数学分支，它与 Fourier 分析、函数理论、泛函分 析、数值分析、神经网络以及计算机科学等众多学科分支都有着密切的联系， 已成为人们解决科技问题的又一有力的数学工具。工程技术领域中，小波分析 的理论得到了广泛的应用，尤其在信号处理中应用广泛，包括信号的检测、识 别以及去噪等，比如语音信号、雷达信号、医学信号、天文信号、地震探矿信 号、机械故障信号等等。小波理论的研究难点之一就是小波基的构造，这又需要对小波理论有深入 的理解，而小波理论需要数学分析、实变函数与泛函分析的基础知识。因此， 泛函分析课程的学习对小波理论的认识非常重要，对信号处理专业的学生有着 广泛的实际应用。因此学习好泛函分析课程，对研究生期间的研究方向高 频地波雷达的信号处理有重要应用。下面就三方面讨论泛函分析在小波中的应用：一、希尔伯特空间的正交分解及投影算子在构造小波基中的作用泛函分析中希尔伯特空间的正交分解及投影算子的概念如下：定义1设H是希尔伯特空间,E是H的非空线性闭子空间，则任意的x e X有唯一的 正交分解式x = y + z， y e E,z e E丄即H = EE丄，记号称为直和。令Px = y，称P为H上的正交投影算子，称为 投影算子。容易证明P为定义在H上的有界线性算子。正交分解与投影算子应用广泛，这里即论述他们在构造小波基中的作用。构造小波基的一般方法是多分辨分析，即满足下面四个条件的L2空间的闭子空间族(i) V u V u Vi0 i(ii) n V = 0, JV = L2(R)jeZ jjeZ j,jeZ(iii).f (x) e V of(2x) e Vjj+i(iv) (x-n) e Z 是 V 的标准n0正交基。令怙二刼2e(2Jx -n)，则怙e Vj。f在Vj上的正交投影算子子可通过他在尺度正交基下的展开式得到, 即a=工si/4Qf+gF-g+ig|2-i|f-ig|2jezjjjj|Pv f 卜 0 A |f 112 E|2 = A Ilf 112, Vf e Hlim | f 一 Pv f I = 0 limj T+8jj T-8f = A-1 S e，= Sc 从多分辨分析的概念知，沪令骂是Vj在Vj+i中的正交补，即由巴塞弗等式, 得1|pvf I2 = S n =gJ = VW.，也就是f(x)在 J 上的正交投影可分解为它在V.和W.上的正 j+1j jj+1j j交投影之和，即PV.f = PV.f + PW.f。通过替代可知对任何的JL,有j+1jj/ 、V. = LW JVL。由多分辨分析定义的第(ii)个条件得L2(R) = W.， jJjeZ jV j=J-1 丿即函数f在小波正交基下的展开式为f =sPwf =ssj=-8jj=-8 n =-8j，nj，n二、伴随算子、依范数收敛与弱收敛在小波理论中的应用 伴随算子、点列依范数收敛与弱收敛的概念如下：定义2设H与H2是希尔伯特空间，T： H1 T H2是有界线性算子。如果存在T* :H2 t H，使得对于所有的 x e H1 和 y e H2，有 =，贝V称T *为T的伴随算子。定义3设X是赋范线性空间，xn,x e X。如果lim |xn - x| = 0，则称xj依范nT8数收敛于X。记作lim xn = x或xn T x(n T8)。 nT8定义4设X是赋范线性空间，睜疋垃心二1,2)。如果对任一的x G X, x：(x) T x* (x)，即在X上，x：(x)处处收敛于x：(x)，则称x： 弱收敛于x *。记作 x* Tnw*x* (n T 8)。注意傅立叶变换的伴随算子就是傅立叶逆变换。设f和g都是平方可积的，则V Ff,g =，其中Ff是f的傅里叶变换，F-1g是g的傅里叶逆变换。事实上，根据L2空间内积的定义，有+8 J +8-8 -8= J+8 f (w) g(w)dw = 1 J+8 +8 f (t)e-jwtdtg(w)dw-8f/ 12兀=J+8 f (t) J+8 g (w)ejwtdw Jdt-82 兀-8因此= +8 f(t)F-1g(t)dt=-8 即傅里叶变换的伴随算子就是傅里叶逆变换.下面是伴随算子、依范数收敛与弱 收敛在小波理论中的应用。从多分辨分析定义中的第(ii)个条件可知，lim I f 一 Pv f = 0, lim |Pv f | = 0j T+8jj T-8j这就是依范数收敛。小波框架是小波理论的一个重要内容，在小波框架研究中，算子弱收敛起 着重要的作用.我们说jj e Zu H是一个框架是指：存在A0,B0,使得对任 意的f e H ,都有A |f 112 工|2 B|f|2jezj其中A,B为框架界。若A=B,则称该框架为紧框架，即2 = A|f| |2, Ff e Hjez由等式= 1/4| f + g |2 | f - g 112 + ig 112 - i If - ig 112 知紧框架蕴含a=工 心jj也就是至少在弱收敛的意义下，有f=A-】s e对于一般的框架，需要引进框架算子，F :(Ff) = , F是H到12(Z)的线 jj性算子。F的伴随算子计算如下：= S c 因此，至少在弱收敛的意义下，有F*c = S c pjjjwZ因此框架条件可改写为AI F*F BI，其中I是恒等算子。将(F*F)-1作用于P可以证明，上面的收敛也是依范数收敛的。因为I|f*| = |F|，故|f*c|B1/2|c|。由F的定义，有S （f，p.）f=f =F*FfjeZj可得到一个新的向量族，记为0，即口p = (F*F)-ip。$ e Z也构成一个框 jjjj j架，框架界为 B-1 ， A-1 ，即B-i| f| |2 S |(f, P)|2 A-i|f|2jeZjeZ可以证明F* F = F* F，具体即jeZ这就得到一个由或f,p重构f的公式，同时也得到了把f写为p或 jjjpr的重叠方法。三、s函数与共轭空间理解线性空间X上的全体有界线性泛函X *称为X的共轭空间。以s函数为例，说 明共轭空间的重要性。 s 函数可以描述很多物理现象，例如力学中瞬时发生作 用力的冲击力;数字信号处理中的抽样脉冲;直线上质量集中在一点附近时的密 度; 电学中点电荷的密度等. s 函数是由物理学家狄拉克最先引进的，其表示 式是0 x 丰 0 fS (x) = ， J 8 s (x)dx = 1。g X 0-8这样表示的函数与数学命题“f=0 a.e.，贝叮f 0矛盾，因此S函数的上述表示一直不能被数学家接受数学家经过长期的努力，在共轭空间中找到了S函数 的位置和理论依据。对C-1,1 中任意一个连续函数f(t),对应一个C-1,1T R的泛函f (x) J 1 f (t) x(t)dtn-1 n线性是显然的，现证其连续性。对任意的x e C-1,1，有 0)| J1 f (t) x (t) - x (t )dt-1 0 max x(t) - x (t)| J 1 if (t) dt -1t1-0-1I lx - x0f( x)Tf( x0J1-1f (t) dt当x T x，即|x T xH T 0时，f (x) T f (x )，故f在x点连续。由x的任意性知, f在C-1,1上连续。考察C-1,1中的如下函数列f (t): nI n 一 Itln 2 f (t) n当心0时，lim f (t) =0,且J8 f (t )dt 1。设想f (t)的极限函数应当就是有广 n T8 n-8 nn泛应用的S函数，所以称f (t)为S函数序列。但由于在t=0时，limf (t)不收nnT8 n敛，故不能采用limf (t)来作为S函数的数学定义。nn T8在C-1,1的共轭空间来考察。S函数序列f (t)对应于 nf (x) = J1 f (t)x(t)dt = J1/n f (t)x(t)dtn -1 n-1/n n, | 1/ n=x(g)J1/n (n - |t|n2)dt = x(g)t 丰 0-1/nf 的极限 n当nS 时，limf (x) = limx(g) = x(0)，即在C-1,1的共轭空间中, nn sng函数应是C-1,1上的如下泛函：6 (x) = x(0), Vx g -1,1总结以上泛函分析中的部分知识点：希尔伯特空间的正交分解、投影算子、伴随算子、点列依范数收敛、弱收敛、共轭空间等，对小波基的构造和小 波框架理解学习有重要帮助，受益匪浅。