自动控制理论邹伯敏PPT第三章

2022-12-5第三章 控制系统的时域分析1作者：浙江大学 邹伯敏 教授 2022-12-5第三章 控制系统的时域分析2第一节第一节 典型的试验信号典型的试验信号典型的试验信号一般应具备两个条件典型的试验信号一般应具备两个条件（1）信号的数学表达式要简单）信号的数学表达式要简单（2）信号易于在实验室中获得）信号易于在实验室中获得一、阶跃输入一、阶跃输入图图3-1 s1 R1 00sRR它的拉氏变换为则称为单位阶跃信号，常量式中，。，0 t0 t00Rtr二、斜坡信号二、斜坡信号 0 t 0 t 0tvtr2022-12-5第三章 控制系统的时域分析3三、等加速度信号三、等加速度信号2011sv拉氏变换为，称为单位斜坡信号，若等加速度信号是一种抛物线函数，其数学表达式为等加速度信号是一种抛物线函数，其数学表达式为30011aas号，拉氏变换为，称为单位等加速度信常数，若 0 t ta210 t 201tr四、脉冲信号四、脉冲信号图3-2 t H0 t tr2022-12-5第三章 控制系统的时域分析4 表示之函数，并用为单位理想脉冲，则称，若时，记为当ttt 1H五、正弦信号五、正弦信号 tAtrsin2022-12-5第三章 控制系统的时域分析5第二节第二节 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应 11GTSsRsCs一阶系统的方框图如图一阶系统的方框图如图3-3所示，它的传递函数为所示，它的传递函数为图图3-3一、单位阶跃响应一、单位阶跃响应 则令ss1R TSTSTsSsC111112022-12-5第三章 控制系统的时域分析6 0.63-1TC1Te阶跃阶跃 响应曲线响应曲线 C（t）上升到其终值的）上升到其终值的63.27，对应的时间就是系统的时间，对应的时间就是系统的时间常数常数T tTetC11:时，则有当tT二、单位斜坡响应二、单位斜坡响应 则令21Rss TS1TST111222STsSsC tTeTttC112022-12-5第三章 控制系统的时域分析7 Tessttelim tTeTtCtr11te三、单位脉冲响应三、单位脉冲响应 ，则系统的输出令tstr TSTsGsC11 tTeTsGLsg111线性定常系统的性质线性定常系统的性质（1）一个输入信号导数的时域响应高于该输入信号的时域响应的导数）一个输入信号导数的时域响应高于该输入信号的时域响应的导数（2）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的时域响应的积分）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的时域响应的积分结论结论：了解一种典型信号的响应，就可据知于其它信号作用下的响应。了解一种典型信号的响应，就可据知于其它信号作用下的响应。2022-12-5第三章 控制系统的时域分析8第三节第三节 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应一、传递函数的导求一、传递函数的导求图图3-6 KFSJsKssFJSSKsRSujKKKRCeSufFKVrcApcrpe20G :开环传递函数系统的开环传递函数7中-图32022-12-5第三章 控制系统的时域分析9图图3-7 图图3-6所示系统的框图及简化框图所示系统的框图及简化框图二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应标准形式：标准形式：13-3 2 222nnnsssRsC率为系统的无阻尼自然频为系统的阻尼比;n2022-12-5第三章 控制系统的时域分析10图图3-8 二阶系统的框图二阶系统的框图10欠阻尼欠阻尼1、dnnnjj21.21s 则,令ssR1 22222221dnndnndnnsssssssC 0t sin1cos12ttetCddtn2022-12-5第三章 控制系统的时域分析11则时,当njs2.10 0t 1arctansin11122tetCdtn或写作或写作 ttCdcos12、1 临界阻尼ns2.10时,当 nnnnnsssssC11 2222 tnnettC11 图图3-9 二阶系统的实极点二阶系统的实极点2022-12-5第三章 控制系统的时域分析12 ttnneAeAtC13122213、1过阻尼1s21.2nn 11 223221222nnnndnnsAsAsAssssC11A1121222A1121223A二附中阻尼系统的近似处理二附中阻尼系统的近似处理 112211nnnnsssssRsC 则,令ssR12022-12-5第三章 控制系统的时域分析13 11111222nnnnnnsssssC tnetC121则输出响应的准确值为,如令,1n tteetC027.073.3077.1077.01 tetC27.01近似计算值：近似计算值：三、二阶系统阶跃响应的性能指标三、二阶系统阶跃响应的性能指标1、上升时间、上升时间当被控制量当被控制量c(t)首次由零上升到其稳态值首次由零上升到其稳态值所需的时间所需的时间,称上升时间称上升时间tr。图图3-13 二阶系统瞬态响应的性能指标二阶系统瞬态响应的性能指标 1sin1112rdtrtetcrn2022-12-5第三章 控制系统的时域分析1421arctan drt求得：求得：2、峰值时间、峰值时间瞬态响应第一次出现峰值的时间叫峰值时间瞬态响应第一次出现峰值的时间叫峰值时间,用用tp表示表示 0cossin11pdtnpdtntttetedttdcpnpnppddpdnttincos2、011tanpdt2022-12-5第三章 控制系统的时域分析15处，即t系统最大峰值出在pddpt3、超调量、超调量Mp图图3-14 二阶系统的关系曲线二阶系统的关系曲线 cctccctcMppp100 p或M 11etcMpp4、超调量、超调量tp阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值 的误差的误差范围范围,并且从此不现超越这个范围的时间称为并且从此不现超越这个范围的时间称为系统时间系统时间,用用ts表示之，其中表示之，其中为为5%或或2%。2022-12-5第三章 控制系统的时域分析16Ttns4402.0时,21 snte令求得：求得：211ln1ln1nst近似计算：近似计算：Ttns3305.0时,5、稳态误差、稳态误差 则,令21,ssRttr2022-12-5第三章 控制系统的时域分析17 nnnnssssssssssssEe2 122limlim 22200 22212211ssssssRsGsEnnn四、二阶系统阶的动态校正四、二阶系统阶的动态校正1、比例微分、比例微分(PD)校正校正校正前图校正前图3-7b所示系统的特征方程为：所示系统的特征方程为：33-3 02KfsJs图图3-15 具有具有PD校正的二阶系统校正的二阶系统对应的对应的KJFJKn2 ,校正后，系统特征方程为：校正后，系统特征方程为：34-3 02pdKsKFJs2022-12-5第三章 控制系统的时域分析18调节调节Kp值值,使之满足稳态误差使之满足稳态误差ess要求要求,然后调节然后调节Kp值使之满足值使之满足的要求。的要求。为但校正后的系统的阻尼,JK都为校正前后的则系统,K若令K,从面增大了系统的阻尼的负转矩,dtdc轴上加了一个量值为K它表示在电动机的s项,中增加了K可知校正后的系统方程,34-3和33-3对比式npddJKKFpd22、测速反馈校正、测速反馈校正图图3-16 随动系统框图随动系统框图图图3-17 图图3-16的等效图的等效图 JKsJKKFsJKKsKKFJsKsRsChh22 2222nnnss2022-12-5第三章 控制系统的时域分析19 KKKFeKKKFttCtrhssh系系统统的的稳稳态态输输出出时时当当,KJKKFJKhn2,例例3-1图图3-18 控制系统的框图控制系统的框图图图3-19 图图3-18的等效图的等效图零斜坡输入的稳态误差为系统跟踪试证明当t时,当r,2ndK 22221 nnndsssKsRsC解：解：据此画出图据此画出图3-19。dnKtCtCtC2-t 21 0,2ssndetrttCK当2022-12-5第三章 控制系统的时域分析20第四节第四节 高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式设高阶系统闭环传递函数的一般形式 43-3 ,42-3 ,21211111110mnpspspszszszsKmnasasasbsbsbsbsRsCmmnnnnmmmm 则,令s1sR rknknkkknkknkkqjjqjrknknkkmissCsBpssAsspsszsKsC122210112211121 2 2022-12-5第三章 控制系统的时域分析21 nrq 0 t,1sin 1cos212110式中teCteBEAAtCknkrktkknkrkkkqjtpjnkktnkkj即：即：（1）高阶系统的时域响应瞬态分量是由一阶惯性环节和二阶震荡环节的响应）高阶系统的时域响应瞬态分量是由一阶惯性环节和二阶震荡环节的响应分量合成，其中控制信号极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，分量合成，其中控制信号极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量结论结论（2）系统瞬态分量的形式由闭环胡点的性质决定，调整时间的长短主要取决）系统瞬态分量的形式由闭环胡点的性质决定，调整时间的长短主要取决于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分量幅值的大小正负和符号于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分量幅值的大小正负和符号的正负的正负2022-12-5第三章 控制系统的时域分析22（3）如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很近，则其产生的瞬）如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很近，则其产生的瞬态分量可略去不计态分量可略去不计（4）如果闭环传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，则该极）如果闭环传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，则该极点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去（5）如果所有闭环极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时）如果所有闭环极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。闭环极点均位于间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。闭环极点均位于S左半平左半平面系统，称为稳定系统面系统，称为稳定系统（6）如果闭环极点中有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附）如果闭环极点中有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大离大5倍以上，则称此对极点为系统的主导极点倍以上，则称此对极点为系统的主导极点2022-12-5第三章 控制系统的时域分析23第六节第六节 线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性稳定的充要条件稳定的充要条件设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它在瞬间受到某一扰动而偏听偏离了原有的平衡在瞬间受到某一扰动而偏听偏离了原有的平衡状态。当此扰动撤消后，系统借助于自身的调状态。当此扰动撤消后，系统借助于自身的调节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反之，则称为不稳定。如图之，则称为不稳定。如图3-30所示。所示。稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信号无关只取决其本身的结构和参数号无关只取决其本身的结构和参数用系统的单位脉冲响应函数用系统的单位脉冲响应函数 来描述系统的稳定性来描述系统的稳定性 tg如果如果 0limtgt则系统是稳定的则系统是稳定的2022-12-5第三章 控制系统的时域分析24 便改写为433则式对其复数极点点,闭环系统有q个实数极令;1,sRttr rknknkkknkknkkqjjqjrknknkkmissCsBpsAsspsszsKsCsG122211112211121 2 0,1sin 1cos2211teCteBeAtgknktkknkrkkkqjtpjnkktnkkj 0limtgt若若 ，表示方程的所有根全位于，表示方程的所有根全位于S平面的左方，这是系统稳定的充要平面的左方，这是系统稳定的充要条件。它不仅是零输入时系统稳定的充要条件，而且也是在给定信号作用下条件。它不仅是零输入时系统稳定的充要条件，而且也是在给定信号作用下系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件2022-12-5第三章 控制系统的时域分析25稳定的必要条件稳定的必要条件令系统特征方程为令系统特征方程为0,001110aasasasannnn如果方程所有的根均位于如果方程所有的根均位于S平面的左方，则方程中多项系数均为正值，平面的左方，则方程中多项系数均为正值，且无零系数。对此说明如下：且无零系数。对此说明如下：02 20 22222221211221022111121022112122aasassaspspsajasjasjasjaspspsa、ja、ja，、p、p即为都为正值，则上式改与、a和a、p其中p为复数根。为实数根设2121、由于上式等号右方所有因式的系数都为正值，因而它们相乘后由于上式等号右方所有因式的系数都为正值，因而它们相乘后S的多次的多次项示数必然都为正值，且不会有零系数出现。项示数必然都为正值，且不会有零系数出现。2022-12-5第三章 控制系统的时域分析26对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全为正值是对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统，特征系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统，特征方程的多项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件而非充分方程的多项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件而非充分条件。条件。结论结论2022-12-5第三章 控制系统的时域分析27第七节第七节 劳斯稳定判据劳斯稳定判据令系统特征方程为令系统特征方程为0,001110aasasasannnn排劳斯表：排劳斯表：102113212321343212753116420f e e d d d c c c b b b b a a a a a a a a sssssssnnnn,bbaabc,bbaabc,bbaabc ,aaaaab,aaaaab,aaaaab 141713131512121311170613150412130211 表中2022-12-5第三章 控制系统的时域分析28结论结论（1）若表中第一列的系数均为正值）若表中第一列的系数均为正值,则系统稳定则系统稳定（2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于该）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定右半平面上的个数，相应的系统为不稳定例例3-6 一调速系统的特征方程为一调速系统的特征方程为401423423103.2 s38.5-103.2 41.5 0 517 1 0103.25175.41ssssss由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的的右半平面，因而系统是不稳定的右半平面，因而系统是不稳定的例例3-7 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为0116705175.4123Ksss2022-12-5第三章 控制系统的时域分析29求系统稳定的求系统稳定的K值范围值范围K16701 s0 41.5K16701-51741.5 K16701 41.5 0 517 1 0123sss9.1110K167010K16701-51741.5K欲使系统稳定则应满足欲使系统稳定则应满足排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：1）劳斯珍中某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不全）劳斯珍中某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不全为零。解决的办法是以一个很小正数为零。解决的办法是以一个很小正数来代替为零的这项。然后来代替为零的这项。然后完成劳斯表的排列完成劳斯表的排列2022-12-5第三章 控制系统的时域分析30结论：结论：如果第一列如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一对其它虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数等于对其它虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数等于该方程在该方程在S平面右方根的数目。平面右方根的数目。例例3-8 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为02223sss，试判别相应系统的稳定性，试判别相应系统的稳定性解：解：列劳斯表列劳斯表 2 s0 0 2 2 0 1 1 0123sss方程中有对虚根，系统不稳定。方程中有对虚根，系统不稳定。例例3-9 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为0233 ss，试用劳斯判据确定方程式的根在，试用劳斯判据确定方程式的根在S平面上的具体分布平面上的具体分布2022-12-5第三章 控制系统的时域分析31解：解：列劳斯表列劳斯表 2 s 2-3-0 2 0 0 3-1 0123sss2）如果劳斯表的某一行中所有的系数都为零，则表示相应方程中含有一）如果劳斯表的某一行中所有的系数都为零，则表示相应方程中含有一些大小相等，径向位置相反的根。些大小相等，径向位置相反的根。结论：有两个根在结论：有两个根在S的右半平面。的右半平面。例：例：01616201282123456ssssss劳斯列表：劳斯列表：0 0 0 s 0 16 12 2 0 16 12 2 0 16 20 8 1 3456sss2022-12-5第三章 控制系统的时域分析32 16122sP24ss令令 248sP3ssdsd 0 38 1s 61 s0j；j；j1s2s2s 6、54、32、124 8 3s 16 6 2s例例3-10 用劳斯判据检验下列方程用劳斯判据检验下列方程041310223sss是否有根在是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂直线的右半平面上，并检验有几个根在垂直线S=-1的右方？的右方？2022-12-5第三章 控制系统的时域分析33解：解：列劳斯表列劳斯表4 s12.2 108130 4 01 13 2 0123sss1 z0 21 0 1-4 0 1-2 01-z-4z2z 012323zzz有一个根在垂直线有一个根在垂直线S=-1的右方。的右方。代入方程又令1 zs2022-12-5第三章 控制系统的时域分析34第八节第八节 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 sHsG1limlimsRsHsG11EsCsH-sRE00sSRsSEessssss稳态误差的定义稳态误差的定义图图3-31给定输入下的稳定误差给定输入下的稳定误差 mnsTsTsTssssKsHsvnvm,111111G 2121令2022-12-5第三章 控制系统的时域分析351、阶跃输入、阶跃输入0 sseI型及I型以上系统 sRsRRtr00常量，令 pssssKRsHsGRsSEe1lim1lim0000 sHsGKsp0lim静态位置误差系数静态位置误差系数K00pK型系统V1IpK以上系统I型及KRKRepss11 00 O型系统2、斜坡信号输入、斜坡信号输入图图3-32 2000,sVsRVtVtr常量，令2022-12-5第三章 控制系统的时域分析36 0 K 0-lim00ssvssvssvsveKKVeKeKsHsSGK型系统I型系统O型系统静态速度误差系数 KVsSEesss00lim3、抛物线信号输入、抛物线信号输入图图3-33 静态加速度误差系数-sHsGSKKasSEesaasss2000limlim 30020,21sasRatatr常量，令2022-12-5第三章 控制系统的时域分析37KaeKssa0 K I型系统ssaeK 0O型、I型系统扰动作用下的稳定误差扰动作用下的稳定误差图图3-34，则令0Rs sDssss212DGG1G-C 21222111G,G vvssWKsssWKs 令 sDsssssEesDssd21200GG1SGlimlim sDsssssED212DGG1GC2022-12-5第三章 控制系统的时域分析38 ，则其中1,2121oWoWvvv1、0型系统型系统(v=0)1021021KDKKDKesd vssWsWKKsss212121G G G sDsWsWKKssWKssEvvD2121221 sDsDDtd00,令2、型系统型系统(v=1)sDsDvv021,0,1令1）2022-12-5第三章 控制系统的时域分析3910 Kvesdsde sDsWsWKKSsWSKSessd02121220lim ，则如20 ,td sDsDv sDsDvv021,1,0令2）10K Desd，则 如20 sDsD3、型系统型系统(v=1)0,0,22021sdesvsDvv，令1）2022-12-5第三章 控制系统的时域分析40 ,2,02021sdesvsDvv，令 102021Kv,1,1sdesvsDvv，令2）3）提高系统稳态精度的方法提高系统稳态精度的方法1、对扰动进行补偿、对扰动进行补偿 ssGD1G1图图3-35，则令0Rs sDsssss21212DGG11-GGGC全补偿条件：全补偿条件：2022-12-5第三章 控制系统的时域分析412、对输入进行补偿、对输入进行补偿 sRsC图图3-36，则令0Rs sRsssG1G1GsCR2 ，则如：ssGG1R