圆面积公式的三种推导方法

圆面积公式的三种推导方法圆是个封闭的曲线图形，用面积单位度量求面积是行不通的，要么用初等 数学中的剪拼的方法把圆转化为学过的简单图形计算面积，要么用高等数学定积 分的方法求解。笔者就初等方法谈几点粗浅的认识，对于提高数学思维能力不无 裨益。下面就将圆分别剪拼成三角形、平行四边形（长方形）、梯形来计算面积 的方法作具体详细的分析。在剪拼的过程中，图形的大小没有发生变化，只是形状改变了。圆的面积等 于拼成的近似图形的面积。一、将圆剪拼成三角形的方法 把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如下图拼成一个近似三角2形。若圆的半径为r ,近似三角形的底可以看作两个扇形的弧长之和2x 2“r ,高412可以看作是两个半径2r，则近似三角形的面积为S二1 x （2x 2兀r）x 2r = nr2，即24圆的面积为兀r2。把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越近似于三角形。要拼成三角形，分的份数只能是n2（ n2 2的整数）份，将圆n2等份后，拼成的三角形叠了 n层 扇形，最后一层有2n-1个扇形，其中扇形的顶点向上的是n个扇形，向下的是 n-1个扇形，故近似三角形的底为nx丝二 匹，高为nr，则近似三角形的面 n 2n1 2“r积为S = xxnr = “r2，即圆的面积为S = “r2。下面是把圆9等份的剪拼2n图示，二、将圆剪拼成平行四边形的方法 把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如图拼成一个近似平行四边形。同样，圆的半径为r，近似平行四边形的底可以看作2个扇形并成的为22x 2“r，高可以看作是小扇形的半径r，则近似平行四边形的面积为42S =x 2兀r x r = “r 2，即圆的面积为S =兀2。同样的把圆平均分的份数越多，拼出来的图形越接近平行四边形，当分的份 数无限大时，拼出的图形也可以看作是长方形。要拼成平行四边形，分的份数只 能是2n（ n 2的自然数）份，将圆2n等份后，拼成的平行四边形（叠了一层） 的底为nx丝，高为半径r，则平行四边形的面积为S二nx竺x r二兀r2，即圆 2n2n的面积S =nr2。同样可以考虑叠 2 层， 3层等。下面是把圆 8等份后，由两层扇形拼成平行 四边形的图示；三、 将圆拼成梯形的方法把圆平均分成 3 份，得到 3 个小扇形，再把小扇形如图拼成一个近似梯形。 同样，圆的半径为 r ，近似梯形的上底可以看作是由 1 个扇形的弧长构成的为 丝，下底由2个小扇形构成为2x妝，高可以看作是小扇形的半径r，则近似332兀r+2 x 丁)x r 52,即圆的面积为S ”r2。同样的把圆平均分的份数越多，拼出来的图形越接近梯形，要拼成梯形，将圆只能a = (i- 1)(i + 3) + 3 + 2i(j-1)( i，j均为整数)等份，以下有分成8 ij份、12 份、15 份拼成的梯形图示，将圆 a 等份后，由 i 层小扇形叠成的，上底 ij有 j 个小扇形，下底有 j +i 个小扇形，同样记圆的半径为 r 时，梯形的上底为2r，下底为(i + j) x 2k raaij12兀r/.2兀 rijx ir x j x+ (i + j) xjxSaaijiji(i + 2 j)， 高 为 ir ， 则 近 似 梯 形 的 面 积 为(i + 2 j) x 2兀 r x ir(i -1)(i +3)+3+ 2i( j -1)1 (丄 22兀r. _ 1x (i + 2 /) x x ir x2 a2(i - 1)(i + 3) + 3 + 2i(j -1)ij-兀r2， 即圆的面积为S -兀r2。由此可见，圆面积的计算公式可以用不同的拼凑方法推导出来。在剪拼的过 程中，图形的大小没有发生变化，只是形状改变了，圆的面积等于拼成的近似图 形的面积。以上是将圆拼凑成三角形，平行四边形，梯形的方法及过程。