简便运算方法详解

简便运算简便运算一运算法则及定律回顾1、运算法则：(1) 整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。(2) 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位借一作十，和本位上的数 合并在一起，再减。(3) 整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一 位上的数去乘， 乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。(4) 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到 被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补” 0”占位。每次除得 的余数要小于除数。(5) 小数乘法法则： 运算法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看两个因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位， 点上小数点；如果位数不够，就用”0”补足，如果得数小数部分的末尾是0,可以把0去掉。例 1、3.2X4.1=13.12这两个因数一共有2位小数，因此它们的积也有2位小数。3 . 23 .2先皈駅幣黴的丛抿的右边卄站计口：江计耳 X 4 . 1点上两位*数.耳 * 4.13_23 21 2 8 1. 2 E1 3 1 2 1 3 .1 2 例 2、0.3X0.42=这两个因数一共有3位小数，因此它们的积也有3位小数。岗方便讣灯，扯数衣的肢庄前Nil*0.4 2整贅的讣舁法计% X 0.31 2 6从枳的右边卅姑0 .1 2 6 枳的忡珂彳、毘”在前闻济0例 3、4.5X1.4=这两个因数一共有2位小数，因此它们的积也有2位小数。1.51,5先按照整数的肚枳的右边幵的计菲方祛说算X 1斗点卜.站1卜檢X41 60160枳的小数禅分的木尼1 fiA5uo.去掉6 L0610去掉末尾数的0后4.5X1.4=6.1 竖式运算i、竖式计算时，要求将两位因数的末尾数对齐，然后按照整数的乘法计算，最后再根据小数点的 位数的多少点上小数点即可。例：3.25X2.4=r3 . 2513 . 2五先按軽整薮的卜賦积的右边卄抬末足开蛤向右散出了计岸方怯计览X 2 .4X2 .1忆点、上小數点a-P1 3 0013 00积的小数部廿的末熔6 5 065 0玫启队0可以去璋“7 8 007 .8 00去掉末尾数的0后3.25X2.4=7.8ii、如果小数与整十位数（或整百位）时，通常把整十位（或整百位）数的十位数（或百 位数）字与另一个因数的末尾数字对齐，进行计算。例：6.3X50=个阖数的末足数对齐6 . 3点上山切徴点亍X50 位.点I.小辿点，3 1 5 - 2积的小巡淋讣啊衣尽*一披是0. OiJU去却。去掉末尾数的0后，6.3X50=315（6）小数的除法：除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，（a、从被除数的商位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数B、除到被除数的哪一位，就在那一位的上面写 上商。C、每次除后，余下的数必须比除数小）。商的小数点要和被除数的小数点对齐；整数部分不够除商0点上小数点，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添”0”，再继续除。例：12.9三6=敦曙甘醸完r在商的位住血上点H t暫的甩高L谊 数除起.般除 坡加島位比除 敌申用此裾聆数加寥1位，卽除以124 I | 卑 占.J 44 il JL妙1恭9血除肃、妙1厂9 引郦” o9”，冋6/端或除 蔬3 03 UI%点刈齐亍 卜 *9除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右 移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。例：56.28 三 0.67=將陈绘变为鞭数msfc同时即将除泡扩大100扩丈100倍 I +0 + 6 7j 5 6 . 2 S 6 7）5 6 2 8按服绘数是整妳的菇住运章一 8 4+ & 7 5 6 2 SZ5 3 6因此，56.280.67=84被除数的整数部分比除数小，商的整数部分要用“0”占位。例：1.6926=小数点与被除械除數的整坡部井比陆数小 商的輻数部分冋“IT占位数小数点对齐10 . （ 6 5因此，1.69三26=0.065（8）同分母分数加减法计算方法：同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。（9）异分母分数加减法计算方法：先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。（10）带分数加减法的计算方法：整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。（或者先把带分数化为假分数，然 后按照同分母或者异分母分数相加减进行计算。）“87/、*7、32 211111例】、59 -312 =（鬥）+（9 -12）=2+（36）=2+36 =236A整数部分相分数部分相减结果合并例2、 5-3彳=55没有分数部分，因此要制造出分数部分，将5变为45即可。整数部分相减.分数部分相减252/、2335-3 =4 -3 = （4-3） + （- ） =1+ =15555555结果合并J将5变为正数与分数结合的形式15例 3、 54 -36 =按照正常的运算方法，应为：151531031054 -3石=（5-3）+（4 -& ） =2+（12 -右），这时我们发现12 12，不够减，怎么办呢？这415就需要向整数位借，借1，将1变为4。这样54就变成了 4，然后我们就可以正常计算了。简便运算4 E分相减整数部分相减15丄-35 =4 -35 =（4一, +（5 卫）=1+（15 -10）=+_!=54 36 44 36（43）（4 6）1（1212）1 12丄12分数部分向整数部分借1 结果合并（11）分数乘法的计算法则: 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积 作分子，分母相乘的积作分母。（12）分数除法的计算法则: 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。2、性质及定律（1）性质商不变的性质 在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。 小数的性质 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 小数点位置的移动引起小数大小的变化i、小数点向右移动一位，就扩大到原来的10倍；小数点向右移动两位，就扩大到原来的100倍； 小数点向右移动三位，就扩大到原来的1000倍ii、小数点向左移动一位，就缩小10倍；小数点向左移动两位，就缩小100倍；小数点向左移动 三位，就缩小1000倍iii、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用”0”补足位。 分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 减法的性质： 从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变。 即 a-b-c二a- （b+c）。（2）定律加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加； 或者先把第一和第三个数相加，再和第二个数相加，它们的和不变，即a+b+c=a+ （b+c） 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即aXb=bXa 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相 乘；或者先把第一个数与第三个数相乘，再与第二个数相乘，它们的积不变，即aXbXc=aX （bXc） 乘法分配律：两个数的和或者差与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加减，即（ab）Xc=aXcbXc除法分配律：两个数的和或者差与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加减，即（a 土 b） -rc = ac bc3）运算性质 减法性质：从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和，也可以先减去第二个数，再减去第 一个数。即 a-b-c=a-（b+c）=a-c-b一个数减去两个数的差，可以从这个数里减去差里的被减数（在能减的情况下） ，再加上 差里的减数。即 a（bc）=ab+c 除法性质：随堂练习：2 11、】5 + 2585.2、毎 +924 +3正二、简便运算，可以除以后几个数的积。即arbc=a（bXc）21 55- 3554 -3622351443103 - 25- 35308- 4金-正+18熟练的掌握了以上的定律和性质以后我们就可以对于很多的计算进行归类并且可以进行简 便运算了。简便运算的常用方法是“重新结合”、“凑整”、“分拆”等，而所有的这些方法，都是为了一 个目的，就是：重新结合后力争使其结果是“ 1”或者“整10”“整百”、“整千” 它们可以分为以下几类：1、当一个算式中只有同一级运算（即只有加减或者只有乘除）又没有括号。 （1）带符号搬家（即运用加法或者乘法的交换律进行简便运算）33例 1、 X3 X3 = 98833在这个式子中我们可以发现有8三8这个计算，因此，我们可以运用结合率对这个式子重新结合进行简便运算。8 X3-| X3=(8 3 ) X3X3=(8例2、 30.34+9.76-10.34=3X3=1X3X3=9重新结合后结果是1这是单纯的加、减运算，在这个式子中我们仔细研究可以发现式子中有30.34和 10.34这两个数字，而且，它们之间的运算符号是“-”，由此，我们可以想到：可以利用重新组合的方法先计算 这两个数，从而优化计算。30.34+9.76-10.34= (30.34-10.34) +9.76=20+9.76=29.76A重新组合使结果变为整10被重新组合的数字在重新组合的过程中一定要带着它们前面的符号与新的数字组合，由于重新组合后被组合的数字一般离开了原来的位置，因此，我们形象的把这种组合叫做“带着符号搬家”。2）直接添加括号进行简便运算（位置不需要改变）。添加括号要遵循一定的原则：在“+”后面可以直接添加括号，被括刀括号里的运算，原来是加还是加，原来是减，还是减；在“-”后面添加括号，括到括号里的运算，原来 是加要变为减，原来是减要变为加；在“X”后面添加括号，括在括号里的运算，原来是乘还是 乘，原来是除还是除；在后面添加括号，括在括号里的运算，原来是乘要变为除，原来是 除要变为乘。例1、933-15.7-4.3= 在这个式子中，我们可以看到有15.7和4.3两个数字，如果把它们两个加起来就会变成一个 “整10”的数字，同时，我们发现15.7前面的符号是“-”，因此如果我们在15.7前面添加 括号后，4.3前面的符号就变成了“+”，也就达到了我们我们的期望。由于15.7前面是“-”，因此添加括号后， 符号由“变为“ + ”933-15.7-4.3=933- (15.7+4.3) =933-20=913例 2、8号 +29 -| =55在这个式子中如果先计算-9，就可以得到一个整数，从而使计算简便化，因此我们可以通过55添加括号的方法先计算-9。1添加括号455455447 +29-9=87+（29- 9） =87+2=107添加的括号前是“+”，因此添加括号后“-”号不变例 3、18.6一2.5十0.4= 这道题如果按照正常的计算从左到右计算是比较麻烦的。但是我们可以看到如果在2.5的前面添 加括号，由于2.5前面的符号是“三”，那么，添加括号后，2.5后面的符号就变为了 “X”，先 计算2.5X0. 4就简便多了。添加括号结果为1,简化了计算18.62.50.4=18.6（2.5X0.4） =18.6三 1=18.6“1717例4、13XI9=添加的括号前是“三”，因此添加括号变为“X”1717我们很容易就发现，如果我们先计算肓三肓就会简便的多，因此我们可以通过添加括号的方法1717先行计算肓三肓1717171713违 三肓=13X（亦 諒）=13X1=1319 ；19添加括号结果为1，简化了计算添加的括号前是“X”，因此添加括号后“三”不变2、当一个算式中只有同一级运算(即只有加减或者只有乘除)又有括号。这时，我们可以根 据运算的需要可以去掉括号，然后，可以根据需要进行重新组合进行简便计算。当然，去括号也要遵循一定的原则：括号前面是“+”时，我们可以直接将括号去掉，去掉括号后原来括号里的符号，原来是加还是加，原来是减还是减；括号前面是 “-”时，去掉 括号后，原来括号里的符号，原来是加要变为减，原来是减要变为加；括号前面是“X”时，去掉括号后，原来括号里的符号，原来是乘还是乘，原来是除还是除；括号前面是“一” 时，去掉括号后，原来括号里的符号，是乘的要变为除，是除的要变为乘。例1、19.68-(2.68+2.97)= 通过式子我们发现，19.68与2.68这两个数的小数部分都是68，因此，我们可以通过去掉括号 的方法先计算这两个数从而优化计算。重新组合后结果为整数19.68- (2.68+2.97) =19.68-2.68-2.97= (19.68-2.68) -2.97=17-2.97=14.03去掉的括号前是“-”，因此去掉括号后“ + ”变“-”重新组合例2、5.68+(5.39+4.32)=我们可以通过去括号、再组合的方法先计算5.68与4.32的值，简化计算。去掉的括号前是“+”，因此去掉括号不变号重新组合后结果为整105.68+ (5.39+4.32) =5.68+5.39+4.32= (5.68+4.32) +5.39=10+5.39=15.39例3、1.25 X(840.5)=我们可以发现1.25X8是10，因此,掉的括号前是“X”,重新组合我们可以通过去掉括号，重新组合的方式简化计算。因此去掉括号不变号 重新组合后结果为整101.25 X(840.5) =1.25 X8F0.5=(1.25 X8) 4-0.5=100.5=2074例 4、0.744(71X100)=重新组合74这道题我们可以通过去括号，再组合的方法先计算0.74与硕 的值。 去掉的括号前是“4”，因此去掉括号后“X”变“4”0.744/74(7r、74/74円.744714 而=(0744而)471=1471= 71-随堂练习：2 11、 + 346/357 (82、| +6.75 一7 )重新组合344441.7234995-(995-480)重新组合后结果为整13+ -7004144583、利用乘法分配律进行简便计算。(1)括号里是加或减的运算，括号外与另一个数相乘 这时我们可以直接运用乘法分配率进行运算。1 3 一一 81 一亠直接运用乘法分配律-3)TL1_=24K-24X 石-24X; -24K =22-6-4-8=4128632)有相同的因式可以提取(分配律的逆运算)例：0.92X1.41+0.92X8.59运用分配律的的逆运算提取公因式0.92=0.92X(1.41+8.59) =0.92X10=9.24、其他的运算方法(1)凑整，如果算式中一个数接近整10、整100，我们可以加上(或者减去)一个数把它凑成 整10、整100，然后最后的结果再减去加上的(或者加上减去的)数即可。例1、4821-998=998非常接近1000，因此，我们可以将998加上2变成1000，然后再减去2，这样，结果就 保持不变，即998+2-24821-998=4821-(998+2-2)=4821-(1000-2)=4821-1000+2=3821+2=3823将998凑整为1000减去加上的2例2、5945-2103=将2103凑整：2103-3+35945-2103=5945-(2103-3+3)=5945-(2100+3)=5945-2100-3=3845-3=3842将 2103 凑整为 2100L加上减去的32)拆分，把原来的数拆分乘两个数，以便能与其他的数一起变成简便易算得数进行运算，但是 拆分后不能改变原来数的大小。例：3.2X12.5X25=如果我们将3.2分拆成0.4 X 8 ，然后再重新组合会简便的多。3.2X12.5X25=0.4X8X12.5X25= (0.4X25) X (8X12.5) =10X100=1000A将 3.2 拆分成 0.4X8重新组合组合后的结果变为整10、整100通常分数的拆分有以下几个形式，我们要牢记。 (1)、分子分母分别为相邻自然数的和与积时 n+(n+1)1 1= +n(n+1)n n+1_3+411例、=+_例、3X43 4(2) 、分子为1，分母为两个相邻的自然数的积时1 = 1 1n(n+1) n n+1 1 1111例、2X3 - 2 - 2+1 - 2 - 3(3) 、分子为1,分母是差为a (aH0)的两个自然数的积时1 ,1 1 、 1 (+ ) = (- _ )x- n(n+a) n n+a aa=3)1 J 1 、1/ 11、 1例、跖=(2 _2+3)X3 =(2_5 )X33)、分子式1，分母为三个相邻自然数的积时例、1n(n+1)(n+2)1n(n+1)1(n+1)(n+2)12X3X441 X3 _31 X2 zl 1 - 2同时，在我们之前的分数的求和学习中，我们也已经学习了一些关于分数一些规律，比如我们知道：4，舟=4 _ 5等等，这些我们都要熟练的掌握并记住，知道了这些，我们就可以利用这些规律进行拆分，这对于我们以后熟练的求和都很有好处。 随堂练习：1 11、3533】、18X(9 +3_6)14 X18 +28X1487X1011.25X2.5X3211112、9999X99993200254+ + +1220 3090