第四节 泰勒级数与幂级数

第四节 泰勒级数与幂级数教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)， 会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握ex,sin x,cos x , ln(l+ x)和(1+ x)的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。教学重点：幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；ex,sin x,cos x，ln(1+ x)和(1+ a)的麦克劳林展开式。教学难点：幕级数的收敛域及和函数。教学时数： 4教学内容：一、函数项级数的概念1函数项级数的定义定义：设函数u (x)(n = 1,2,3)都在D上有定义，则称表达式n艺 u (x) = u (x) + u (x) +n12n=1为定义在D上的一个函数项级数，u (x)称为通项，S (x)=艺u (x)称为部分和函数.nnkk=12. 收敛域定义：设艺u (x)是定义在D上的一个函数项级数，x e D，若数项级数艺u (x )收敛,n0n 0n =1n=1则称x是艺u (x)的一个收敛点所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域.0nn=13. 和函数定义：设函数项级数艺u (x)的收敛域为I,则任给x e I,存在唯一的实数S (x)，使得nn=1S(x)=艺u (x)成立.定义域为I的函数S(x)称为级数艺u (x)的和函数.nnn =1n =1评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域的定义及有关的数项级数的判别法.二、幕级数1. 幕级数的定义定义：设a (n = 0,1,2,)是一实数列，则称形如艺a (x-x )“的函数项级数为x处的nn 00n=0幂级数x = 0时的幕级数为艺a xn .0nn=02阿贝尔定理定理：对幕级数艺a (x-x )n有如下的结论：n0n=0如果该幕级数在点收敛，则对满足的一切的 x 对应的级数乙a (x - x )n都绝对收敛;n0n=0如果该幕级数在点x2发散，则对满足的一切的 x 对应的级数n0n=0存在一个正数 R ，它具有下述性质当x - x R时，艺(x-x )0绝对收敛;n=0，艺aIn=0(x-x )0发散如果幕级数艺a(x-x0)n仅在x = x0处收敛，定义R = 0 ；如果幕级数艺n=0a (x - x )n 在 n0n=0艺a (x - x )n都发散.n0n=0例1：若幕级数艺a (x-2)n在x = -1处收敛，问此级数在x = 4处是否收敛，若收敛，是nn=0绝对收敛还是条件收敛？解：由阿贝尔定理知，幕级数艺a (x-2)n在x = -1处收敛，则对一切适合不等式nn=0x-2 -1 -2 = 3 (即-1 x 5 )的x该级数都绝对收敛.故所给级数在x = 4处收敛且绝对收敛3.幕级数收敛半径、收敛区间如果幕级数艺a(x-x)n不是仅在兀=x0处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定(o +s)内收敛，则定义R =.则称上述R为幕级数艺a (x一x)n的收敛半径称开区间(x0 一R，x0 + R)为幕级数n0n=0艺a (x x )n的收敛区间. n0 n=04.幂级数收敛半径的求法求幕级数艺a (x- x )n的收敛半径Rn0n=0法一：(1)求极限 p (x x ) = lim0nsa (x x )n+1n+10 a (x x )nn0 令 p (x 一 x ) 1 n lx 一 x I m0 1 0 则收敛半径为R = m ；法二：若a满足a丰0,则R = limnnnsanan+1法三；求极限p (x- x0)= lim枫(x- x0)nns 令 p (x 一 x ) 1 n lx 一 x I m0 1 0 则收敛半径为R = m .例 2： 求下列幂级数的收敛域o xnZ而n=1o 2 n 1厶% 2 n22nn =1解：(1)收敛半径R = limnsanan+1= limns12n+1 (n +1)!X2nn!1二 +o,所以收敛域为(o, +o)；收敛半径R = limnsanan+1limnsJn +1 二 1当x 5 = 1时，对应级数为艺匕里这是收敛的交错级数, n=1咖当x 5 = 1时，对应级数为艺丄这是发散的P 级数,n=1n于是该幂级数收敛域为4,6) ； 由于 P ( x) = limnT82n +12n% 2 n X2 n+1(2 n 一 1)x 2 n-2令P (x) 1，可得x J2，所以收敛半径为R = J2当x = 审2时，对应的级数为艺，此级数发散,n =1于是原幕级数的收敛域为(- min(R , R )；n0n0n n012n=0n=0n=02艺a (x-x )n-艺b (x-x )n=艺(工ab )(x-x )n，收敛半径R min(R ,R )； n0n0i n-i01 2n = 0n = 0n = 0 i =134 有幕级数艺a (x- x )n的和函数S(x)在其收敛域I上连续；n0n=0幕级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幕级数的收敛半径仍为R.即5 有SIx)=艺 a (x - x )n =艺a (x - x )n =艺 na (x - x ) n-1 .n0n0n0n = 0n = 0n =1幕级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幕级数的收敛半径仍为R.即Jx S( x) d=Jx为 a (-xnx) Jx a(-xnx -+x)xxx n 0x n 0n + 1 n 000 n=0n=0 0n=0例3： 用逐项求导或逐项积分求下列幕级数在收敛区间内的和函数nxn-1(-1 x 1)n =1兰启(-1 x 1)n=1xXn =1 - x解：令 S (x)=艺 nxn-1(-1 x 1)，则n =1J xS (x)dx = Jx (艺 nxn-1)dx =艺 00 n=1n=1所以S (x)=1 x + x(1小EX 4 n+1(1 x 1)，贝y4n+1n=1S，( X) = (SA ) = S x 4 n =旦4n + 11 x4n=1n=1x41111所以S(x) = Jx - dx = Jx(1 + = +-)dx0 1x402 1+x2 2 1x21 1 + x 1=In+ arctan x 一 x , (1 x 1)4 1 x 2例4：求幕级数艺(2n + 1)xn的收敛域，并求其和函数。n=0解：易求得收敛域为(1,1)因为(2n+1)xn =2nxnn=0n=0+S xn =2-艺(xn ) + = 2x艺 xn 丫 +1xn=0n=0n=0111+x=2忙)+ L=冇,xG (1,1)o1+x 所以和函数为S(x) =,x e (1,1)。(1x)2三、函数展开成幕级数1. 函数展开成幕级数的定义定义：设函数f (x)在区间I上有定义，x e I,若存在幕级数艺a (x x ) n，使得 0n0n=0f (x) = S a (x x ) n, Vx e In0n=0则称f (x)在区间I上能展开成x处的幕级数.02. 展开形式的唯一性定理：若函数f (x)在区间I上能展开成x处的幕级数0f(x) =Sa (xx )n,Vxe In0n=05山东女子学院则其展开式是唯一的，且a = f(n)(X0) nn !(n = 0,1,2,).3. 泰勒级数与麦克劳林级数 泰勒级数与麦克劳林级数的定义定义：如果f (x)在x的某一邻域内具有任意阶导数，则称幕级数0f (n)( x0) (x - x ) n +n!0艺(x - x ) n = f (x ) + 3 (x - x ) + +n!001!0n=0为函数f (x)在xo点的泰勒级数.当 x = 0 时，称幕级数艺 f 0) xn = f (0) + f(0) x + + -(0) xn + 0n!1!n !n=0为函数f (x)的麦克劳林级数. 函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数f (x)在x e I处的泰勒级数在I上收敛到f (x)的充分必要条件是：f (x)在x00处的泰勒公式f (x)=工 f：x)(x x )k + R (x)k !0nk=0的余项R (x)在I上收敛到零，即对任意的x e I,都有lim R (x) = 0 .nn s n4. 函数展开成幕级数的方法 直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定 点的泰勒级数的方法 间接法通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幕级数展开将原来的函数展 开成幕级数的方法所用的运算主要是四则运算、(逐项)积分、(逐项)求导、变量代换利 用的幕级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式幕级数常用的七个展开式ex = X ,x e (8, +s)n!n=0sin x = X(1)nn=0x2n+1(2 n +1)!x e (8, +8)cos x = X(1)nx e (8, +8)n=0ln(l+ x) = (-1)n ,-1 x 1n +1n=0(1+ x )a =1 + a x + 叱1)x 2 + +2!a (a l)(a 2) (a n +1)xn + . n!xe(-1,1)1 y=xn,x e (1,1)1xn=0=艺(-1)n xn ,x e (-1,1).1+xn=0x例5：将f (x) = ln展开成x-1的幕级数。1+x解：由于f (x) = lnx ln(1+ x)，而lnx = ln +1 x-( =1 為-n-1 (x- 1 - - 1 1);nn =12 (1 1)ln( + x =) li+2- ( = 1)+ ln +2-l1n =1+ -In-2(x- V2n 2nn =1所以 f (x) = ln2 +(-1)n-1_ (1- )(x 1)n(0 x 2)。n2 nn =11例6：将函数f (x)=展开成x的幕级数。并指出其收敛域。x 2 - 3 x + 2解：因为 f ( x) =1(1-x)(2 - x)xn ( x| 1)；= 艺()n (|x| 2)1 - x2 - x 22n=0n=0所以f (x)=艺(1)xn,收敛域为(j,1)。x2 - 3x + 22n+1n=0