艺术生高考数学专题讲义：考点38 两条直线的位置关系

2考点三十八1两直线平行、垂直与斜率的关系两条直线的位置关系 知识梳理条件两条不重合的直线 l ，l ，斜率分别为1 2k ， k1 2两直线位置关系平行垂直斜率的关系k k1 2k 与 k 都不存在1 2k k 11 2k 与 k 一个为零、另一个不存在 1 2说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若 k k ，且 b b ，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合1 2 1 22利用一般式方程系数判断平行与垂直设直线 l ：A xB yC 0，l ：A xB yC 0，1 1 1 1 2 2 2 2l l A B A B 0，且 B C B C 0.1 2 1 2 2 1 1 2 2 1l l A A B B 0.1 2 1 2 1 23利用平行的直线系和垂直的直线系解题设直线 AxByC0，则与直线 AxByC0 平行的直线方程可设为 AxBym0；与直线 AxByC0 垂直的直线方程可设为 BxAyn0.典例剖析题型一 两直线平行与垂直的判定例 1 “a2”是“直线(a a)xy0 和直线 2xy10 互相平行”的_条件 答案 充分不必要解析 当 a2 时，两直线平行；但两直线平行时，a2 或者 a1.故“a2”是“直线(a2a)xy0 和直线 2xy10 互相平行”的充分不必要条件变式训练 已知直线 l ：x(a2)y20，l ：(a2)xay10，则“a1”是“l 1 2 1l ”的_条件2答案 充分不必要解析 若 a1，则 l ：x3y20，l ：3xy10，显然两条直线垂直；若 l l ，1 2 1 2则(a2)a(a2)0，a1 或 a2，因此，“a1”是“l l1 2解题要点 两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在”的充分不必要条件.2 两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； 两直线垂直两直线的斜率之积等于1.注意 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况(2)已知两直线的一般方程两直线方程 l ：A xB yC 0，l ：A xB yC 0 中系数 A ，B ，C ，A ，B ，C 与1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2垂直、平行的关系：A A B B 0l l ；1 2 1 2 1 2A B A B 0 且 A C A C 0l l .1 2 2 1 1 2 2 1 1 2题型二 根据平行与垂直求直线方程例 2 (1)求与直线 3x4y10 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程(2) 求经过 A(2,1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程解析 (1)依题意，设所求直线方程为 3x4yc0 (c1)，又因为直线过点(1,2)，所以 3142c0，解得 c11.因此，所求直线方程为 3x4y110.(2) 因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为 x2yC 0，又直线1过点(2,1)，所以有 221C 0，解得 C 0，即所求直线方程为 x2y0.1 1变式训练 过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是_答案 x2y10解析 所求直线与直线 x2y20 平行，1所求直线的斜率为 ，又直线过(1,0)点，2则直线方程为 x2y10.解题要点 1.与直线 AxByC0 平行的直线系方程为 AxByC 0 (C C)，再由其他1 1条件求 C .12. 与直线 AxByC0 垂直的直线系方程为 BxAyC 0，再由其他条件求出 C .1 1题型三 根据平行或垂直求参数例 3 (1)已知直线 l ：x2y10 与直线 l ：mxy0 平行，则实数 m 的取值为_1 2(2) 若直线 l ：ax2y60 与直线 l ：x(a1)ya 10 垂直，则实数 a_1 21 2答案 (1) (2)2 3m 1解析 (1)因为直线 l ：x2y10 与直线 l ：mxy0 平行，所以 0，1 2 1 21解得 m .22(2) 由 a1(a1)20，a .3变式训练 若直线 y2x 与 kxy10 垂直，则实数 k_答案12解析 直线 kxy10 斜率为k，直线 y2x 斜率为 2，由题两直线垂直，则k21， 1k 2解题要点 已知平行与垂直求参数时，具体选择斜率还是选择利用一般式方程的系数因题而 异一般来说，若直线的斜率较易得出，则利用斜率关系：l l 则 k k ，若 l l ，则 k k1 2 1 2 1 2 1 2A1需注意的是，由一般式方程 AxByC0 求斜率时，k B若已知直线 l ：A xB yC 0，l ：A xB yC 0(A ，B ，C ，A ，B ，C 为常数)，1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2则 l l A B A B 0，且 B C B C 0；l l A A B B 0.1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2当堂练习1下列命题 如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行； 如果两直线平行，则它们的斜率相等； 如果两直线的斜率之积为1，则它们垂直； 如果两直线垂直，则它们的斜率之积为1其中正确的为_答案 解析 当两直线 l ，l 的斜率 k ，k 都存在且不重合时，l l k k ，l l k k 1，1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2故正确；当两直线都与 x 轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故错；当两直线 中一条直线与 x 轴平行(或重合)，另一条直线与 x 轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为 零，另一条直线斜率不存在，故错2经过两点 A(2，3)，B(1，x)的直线 l 与斜率为1 的直线 l 平行，则实数 x 的值为_1 2答案 6x3 3x 3x解析 直线 l 的斜率 k ，由题意可知 1，x61 1 12 3 33. 以 A(1，1)，B(2，1)，C(1，4)为顶点的三角形是_答案 以 A 点为直角顶点的直角三角形解析 k AB11 2 41 3 ，k ，21 3 AC 11 2k k 1，ABAC，A 为直角， AB ACABC 为以 A 点为直角顶点的直角三角形4已知 A(2，0)，B(3， 3)，直线 lAB，则直线 l 的倾斜角为_ 答案 60解析 lAB，k k l AB30 3，直线 l 的倾斜角为 60. 325经过点 M(m，3)和 N(2，m)的直线 l 与斜率为4 的直线互相垂直，则 m 的值是_答案145解析 由题意知，直线 MN 的斜率存在，MNl，m3 1 14k ，解得 m MN 2m 4 5课后作业一、 填空题1下列说法正确的有_ 若两直线斜率相等，则两直线平行； 若 l l ，则 k k ；1 2 1 2若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； 若两直线斜率都不存在，则两直线平行答案 1 个解析 当 k k 时，l 与 l 平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同也 1 2 1 2不正确只有正确2若直线 l ，l 的倾斜角分别为 ， ，且 l l ，则| |_1 2 1 2 1 2 1 2答案 | |901 2解析 如图所示由图(1)可知 90，由图(2)可知 90，1 2 2 1| |901 23过点( 3， 6)，(0，3)的直线与过点( 6， 2)，(2， 0)的直线的位置关系为_ 答案 垂直11 23 6解析 过点( 3， 6)，(0，3)的直线的斜率 k 2 3；过点( 6， 2)，(2，0)0 3的直线的斜率 k 220 3 2因为 k k 1，所以两条直线垂直 624“3”是“直线 x2y30 与直线 3x(1)y7 平行”的_条件 答案 充要解析 当 3 时，两直线平行若直线 x2y30 与直线 3x(1)y7 平行，则 (1)6，且(7)33，解得 3.35已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 l 经过点 A(3,2)、B(a，1)，且 l 与 l 垂直，直线 l ：2x4 1 1 2by10 与直线 l 平行，则 ab 等于_1答案 2解析 l 的斜率为1，则 l 的斜率为 1，1k AB2(1)1，a0. 3a2由 l l ， 1，b2，所以 ab2.1 2 b6若 l ：x(1m)y(m2)0，l ：mx2y60 平行，则实数 m 的值是_ 1 2答案 m1 或 m2解析 由 12(1m)m，得 m2 或 m1.当 m2 时，l ：xy40，l ：2x2y60，平行1 2当 m1 时，l ：x2y10，l ：x2y60，平行1 27若直线 mx4y20 与直线 2x5yn0 垂直，垂足为(1，p)，则实数 n 的值为_ 答案 12解析 由 2m200，得 m10.由垂足(1，p)在直线 mx4y20 上，得 104p20.p2.又垂足(1，2)在直线 2x5yn0 上，则解得 n12.38已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 l 经过点 A(3,2)，B(a，1)，且 l 与 l 垂直，直线 l ：2x4 1 1 2by10 与直线 l 平行，则 ab_1答案 2解析 l 的斜率为1，则 l 的斜率为 1，k 1 AB2(1)1，3a2a0.由 l l ，得 1，b2.1 2 bab2.4433433 39经过点 P(2，1)和点 Q(3，a)的直线与倾斜角是 45的直线平行，则 a_ 答案 4a1解析 由题意，得 tan45 ，解得 a43210若 A(4，2)，B(6，4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：ABCD；AB CD；ACBD；ACBD其中正确的序号是_答案 3 3 1解析 k ，k ，k ，k 4，AB 5 CD 5 AC 4 BDk k ，k k 1，ABCD，ACBDAB CD AC BD11经过点(3，2)和(m，n)的直线 l，(1) 若 l 与 x 轴平行，则 m、n 的取值情况是_；(2) 若 l 与 x 轴垂直，则 m、n 的取值情况是_答案 (1)mR 且 m3，n2 (2)m3，nR 且 n2解析 (1)l 与 x 轴平行，则两点的纵坐标相等(2)l 与 y 轴平行，则两点的横坐标相等二、解答题12求过点(1,2)且与直线 2x3y40 平行的直线方程2解析 2x3y40 的斜率为 k ，32所求的直线方程为 y2 (x1)，即 2x3y80.313已知直线 l 的方程为 3x4y120，求满足下列条件的直线 l的方程(1) l与 l 平行且过点(1,3)；(2) l与 l 垂直且 l与两坐标轴围成的三角形面积为 43解析 (1)直线 l：3x4y120，k .l 43又ll，k k .l l3直线 l为 y (x1)3，即 3x4y90.4(2)ll，k .l4设 l与 x 轴截距为 b，则 l与 y 轴截距为 b，1由题意可知，S |b |2 b 4，b 6.4 4直线 l为 y (x 6)或 y (x 6)