随机漫步假说的检验

随机漫步假说的检验 一、鞅过程与随机漫步假说 1.鞅模型 11|,ttttE pp pp鞅模型的本质含义是公平博弈,很长一段时间里，人们认为如果鞅模型成立，价格已经充分反映了所有信息，市场是有效率的，没有人能够利用信息获得超额利润。11|,0ttttE ppp p资产价格服从鞅过程既不是市场有效的的充分条件，也不是必要条件。现代金融理论的核心观念是风险与收益的权衡，如果预期价格变化是正的，这也许仅仅是给投资者承担风险的必要回报。准确的说，有效市场上的资产价格只有在按风险调整后才具备鞅性质。因此，在实证检验中应注意，未经风险调整的资产收益可测性有两种解释：（1）这是市场低效率的表现（可能原因是竞争不充分、投资者不理性）。（2）我们检验的预测方法在一定程度上与风险溢价相关。2.随机漫步模型 1tttpup对随机项实施不同的限制，就得到实证检验中常用的三个随机漫步模型。RW1:独立同分布意味着随机漫步也是一个公平博弈，不过条件比鞅过程更严格，因为独立意味着不仅增量序列，而且不同时期的增量非线性函数也不存在相关性。?2(0,)tIIDRW2：RW1处理起来十分简单，但对跨越时间比较长的金融资产价格序列是不合理的，比如，纽约证券交易所过去200年经历了无数经济、社会、技术和制度的变迁，而这些因素对资产价格都很大影响，很明显，假设资产日收益的概率分布在这200年里一直不变是不合理的。因此有了更接近实际的RW2，它放宽了同分布的假设，保留独立的条件。在RW2中，允许条件异方差。tIINDRW3：最近的研究使用的比较多的是RW3，它将独立的条件进一步放宽，仅要求随机项不相关。(,)0,0tt kCOVk 3.鞅模型与随机漫步模型的区别 RW1，RW2 对所有的线性与非线性函数f和g都成立 RW3 对所有的线性函数f和g都成立 鞅模型 对所有的线性与非线性函数f和所有的线性函数g都成立 cov(),()0,0tt kf rg rk4.联合假设问题 市场有效与鞅模型才是等价的，随机漫步模型是鞅模型的子集，而我们检验的是随机漫步模型，因此如果市场效率被拒绝，这可能是由于市场真的缺乏效率，也可能是我们的模型出了问题。二、RW1的检验 1正反序检验 2334(1)(1)(,)1(1)assssssCJNnssNCJNN2 RUNS检验12(1)2(0,1)2(1)1 3(1)arunsNnzNn三、RW2的检验 直接根据RW2得出统计量是十分困难。技术分析 的检验可以说是RW2检验的一种形式。技术分析 的检验1方法 技术分析的检验不是局限于一个特定的检验方法，因此为研究者提供了广泛的空间。（1）t检验；（2）bootstrap技术（有放回的随机抽样，一般在数据不符合假设检验分布的经典假设的时候使用）。bootstrap技术的实施办法：用有放回的随机抽样的方法从已有的样本中生成新的价格样本。这样重复500次，对每个新生成的样本都使用技术交易规则进行预测，计算出利润的分布。原样本利润的显著性可以通过模拟样本利润分布得到。比如对移动平均法则，模拟利润比原样本利润底的个数大于475个，那么我们说原样本利润在通过了5%的显著性水平检验。这种方法的优点是能够摆脱对资产收益的分布做任何前设假定；（3）非参数检验2 理论解释 EMH；风险溢价波动；非线性；data-snooping 早期研究的基本结论是股票市场达到弱式有效，技术分析无法为投资者带来超额的收益。80年代中期以后，非参数统计方法、非线性、风险溢价的波动成了研究技术分析有效性的主题。四、RW3的检验 1 自相关系数 在RW1为零假设时，样本自相关系数是渐进正态的。()(0,1)aTkN对于小样本修正后的自相关系数有()(0,1)aTkNTk2 Q检验 221()()mamkQ kTk模拟的结果表明，即使对比较大的样本，Q统计量的效果不明显，因此实际检验中使用的是修正后的Q统计量221()()(2)mamkkQ kT TTk在应用Q检验时自相关的阶数m选择是一个问题，如果m太小，可能遗漏高阶的自相关，如果m太大，该检验的效力会受到很大影响。3 方差比检验 定义VR（q）为q期收益方差和单期收益方差的比值。在零假设为RW1时 _1/22(21)(1)()()1)()(0,1)3aqqqnqqNqVR在零假设为RW3时 _121()1)()(0,1)4(1)aqkknqqqNkqVR五、长期收益与随机漫步假说五、长期收益与随机漫步假说最近有一些研究用长期收益检验随机漫步假说，比如5年，10年的股票收益，在固定的时间段里，用不重叠的长期收益会使样本减少，从而加大了误差。比如当q/T不是接近0的时候，方差比检验的效力就很低。虽然如此，当长期收益与一些经济变量，如市盈率结合起来分析时，可以得到许多重要结论。六、资产收益的长期记忆性与R/S检验 一些时间序列表现出长期记忆性，如分形时间序列。Mandelbrot(1971)首次分析了资产收益的长期记忆性，他建议用R/S统计量来检测经济变量的长期记忆性 R/S统计量为11111()()kknjnjnk nk njjnQMaxrrMinrrs (/)()HNR SaNHurst指数的性质：时间序列的 Hurst指数居于 0-1之间。以 0.5为间隔,时间序列在不同的区间会表现不同的特性。（1）H（0，0.5）：分形布朗运动（均值回归）。此时,时间序列的未来数据倾向于返回历史点，因此其发散得比标准布朗运动慢。可以证明，该序列在理论上会无数次的返回它的历史出发点。（2）H=0.5：标准布朗运动，时间序列服从随机漫步。（3）H（0.5，1）：长期持续性和无周期的循环。此时，时间序列有混沌性。增量会表现出长期增长的特性。一定范围的记录会持续相当长的时期，从而形成一个个大的循环。但是这些循环没有固定的周期,难以依靠过去的数据预测未来的变化。（4）H=1：完全预测，此时，时间序列为一条直线。未来完全可以用现在进行预测。七、单位根检验与随机漫步假说的区别 一个与随机漫步假说经常混淆的是单位根检验。单位根检验的零假设为1tttXuX备择假设是当|1的时候，系统是发散的；|1的情形跑哪里去了Osler（2002）Osler（2002）用外汇市场上的止损指令和take-profit orders（？）的集束效应（clustering）解释了技术分析在外汇市场上的有用性。根据技术分析人员的解释，支撑区的形成是因为这一价格附近的存在大量需求，而阻力区的形成是因为这一价格附近的存在大量供给。指令的这种集束性（不平滑性）是技术分析的基础。指令的集束效应可以了技术分析中应用的两种价格动态（1）在round numbers附近出现的支撑和阻力线，（2）价格穿越round numbers的时候的加速趋势。文章的研究发现：（1）take-profit指令在round numbers附近的集束效应比止损指令明显得多，因此在round numbers附近take-profit一般会占据优势，由于take-profit指令使价格有反转的趋势，因此价格在round numbers附近遇到take-profit指令集束的时候会反转。（2）止损买入指令在稍微高于round numbers附近的价格的集束效应很明显，止损卖出指令在稍微低于round numbers附近的价格的集束效应很明显，因为止损指令有强化价格趋势的作用，因此价格汇率在穿过止损指令密集的round numbers的时候价格变动有加速的趋势。Lo、Mamaysky和Wang（2000）Lo、Mamaysky和Wang（2000）利用非参数核回归技术系统地、自动地识别技术交易规则，检验证明技术分析有用。任何技术分析研究的起点是假设价格以一种非线性的形式按照某种规律或模式演化。我们假设价格服从过程（1），其中Xt是状态变量，m是关于状态变量的非线性方程。（1）()tttPm X用来估计方程（1）中的非线性关系一般方法是平滑（smoothing）用复杂的平均方法来消除数据中的观测误差。下面给出一个直观的解释。假设我们有价格在状态X0下的n个实现，那么m在状态X0下的合理估计是 (2)000111111()()()nnniiittiiim xpm xm xnnn根据大数定理，方程（2）右边的第2项在n很大时可以忽略。因为Pt是时间序列，所以我们不可能有它在t时刻的多个观测值。但是如果我们假设方程m（.）足够平稳，那么我们可以用t时刻附近的价格来估计方程。一般用如方程（3）的加权平均来估计，离时刻t越远的价格，权重越低。这个加权平均过程是平滑估计的核心。(3)核（kernerl）回归就是平滑技术的一种。在核回归中，权重方程是用核概率密度方程构造的。（4）时间窗口的选择十分关键，太大的窗口估计出来的方程太平滑，信息损失太多；而太小的窗口估计出来方程变动太大，没有充分消除噪音的干扰。011()()Ttitm xx pT()0,()1K xK u du自动生成技术交易规则：首先用Kernel回归拟合一个价格样本，然后利用导数的符号确定每个窗口中的所有极值，再根据技术交易规则的定义进行自动识别。以头肩顶为例，设E1，E2，E3，E4，E5是按时间先后连续出现的5个局部极值，那么 131351524,EEE EEHSEEEE是最大值和在平均值的1.5%以内和在平均值的1.5%以内通过比较条件分布和无条件分布可以发现技术交易规则的信息含量，如果技术交易规则包含有用的信息，两个分布应该是有差异的。假设我们的窗口是从t到t+l+d-1，在t+l+-1时刻形态已经得到确认，那么条件收益就是t+l+d到t+l+d+1日的连续复利收益率，这样我们可以得到一个条件收益的样本，再计算一个无条件收益的价格样本，我们就可以比较两者是否存在区别。就是说先得到一个无条件收益的样本，然后按从小到大将其划分为10等分，每等分里的无条件收益的个数相同。如过条件收益与无条件收益是没有区别的，那么条件收益落在各个等分里的可能性应该是相同的。Goldbaum（1999）Goldbaum（1999）根据SDF的性质，推导出检验TTRs是否有效的检验方法 N个资产的任意线性组合可以生成一个利润空间,对任意时刻的这个利润空间，存在一簇随机贴现因子，使得 特别的，在一价定律成立的条件下，存在一个唯一的用这N个资产的线性组合构造的SDF 它可以对中的所有资产进行合理定价，但对该空间以外的资产的定价是不合理的。1()ttE rm*1()1ttt tmr E rr当且仅当一个资产可以用构造mt*的基础资产复制时，这个资产能够用mt*合理定价。如果根据TTR建立的交易策略是无效的，那么这个交易策略可以用基础资产复制，从而可以用mt*定价。这样通过考察定价误差是否为0可以确定TTR是否提供了额外的信息。Sullivan、Timmermann和White（1999）Sullivan、Timmermann和White（1999）在考虑data-snooping效应后，发现确实有些技术交易规则在历史上能过获得超额的利润。基本思想：发展一个合适的业绩指标，这个指标要囊括所有可能的交易规则，然后评估这个业绩指标的分布。零假设是最好的TTR表现比业绩衡量标准差，也就是说，零假设被拒绝说明至少最好的TTR表现比业绩衡量标准好。考虑l个TTR，那么 01,2,:()0maxkklHE f实现方法：这是依次在l个抽样样本（样本容量均为B）中依次取最大值。只要将上式和下式的分位数（quantiles）进行比较，就可以得到检验的p值。抽样方法：Politis和Romano（1994）的平稳bootstrap技术。1,()maxlkklVn f*,1,(),1,maxl ik ikklVn ffiB参考文献(只给出了比较重要的)Osler（2002）Currency orders and exchange rate dynamics：An explanation for the predictive success of technical analysis Lo、Mamaysky和Wang（2000）Foundations of technical analysis：Computational algorithms，statistical inference，and empirical implementationGoldbaum（1999）A nonparametric examination of market information：application to technical trading rulesSullivan、Timmermann和White（1999）Data-snooping，technical trading rule performance，and the bootstrap Kho（1996）Time-varying risk premia，volatility，and technical trading rule profits：Evidence from foreign currency futures markets Brock，Lakonishok和LeBaron（1992）Simple technical trading rules and the stochastic properties of stock returns Neftci（1991）Naive trading rules in financial markets and Wiener-Kolmogorov prediction theory：A study of“Technical Analysis”Fama和Blume（1966）filter rules and stock-market trading