某些常用分布的数学期望与方差

上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回第三章随机变量的数字特征3.3.5 5 某些常用分布的数学期望与方差某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回)(XEnmmnMNmMnNm0CCC1nmmnMNmMnNm1CCC1.CCC111nmmnMNmMnNM3.5 某些常用分布的数学期望与方差 超几何分布超几何分布设,1 mk得.CCC)(1011nkknMNkMnNMXE设随机变量,),(NMnHX则上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回由组合数的性质可知1011CCnkknMNkM10)1()1()1(1CCnkknMNkM,C11nN)(XEnNnNMCC11.NnM所以有3.5 某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回为了计算方差,)(XD我们先计算:)(2XE)(2XEnmmnMNmMnNm02CCC1nmmnMNmMnNm12CCC1,CCC111nmmnMNmMnNmM3.5 某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回设,1 mk得)(2XE1011CC)1(CnkknMNkMnNkM.CCCCC10111011nkknMNkMnkknMNkMnNkM第二个和式等于,C11nN与前面计算过程完全类似，可知第一个和式等于:C)1(22nNM3.5 某些常用分布的数学期望与方差)(2XE.CC)1(C1122nNnNnNMM上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回)(2XE1122CC)1(CnNnNnNMMNnNNMnnM)1()1)(1(,)1()(NNNMnnMnM所以)(XD)1()(NNNMnnMnM2)(NnM.)1()(2NNnNMNnM由此得3.5 某些常用分布的数学期望与方差)(XD上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回设随机变量X服从二项分布,),(pnB有nmmnmmnqpmXE0C)(nmmnmmnqpm1C.C1111nmmnmmnqpnp设,1 mk得1011Cnkknkknqpnp1)(npqnp.np3.5 某些常用分布的数学期望与方差 二项分布二项分布二项分布的数学期望等于参数np与 的乘积.)(XE上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回为了计算方差,)(XD我们先计算:)(2XEnmmnmmnqpmXE022C)(nmmnmmnqpm12C.C1111nmmnmmnqpmnp3.5 某些常用分布的数学期望与方差设,1 mk得10112C)1()(nkknkknqpknpXE.CC10111011nkknkknnkknkknqpqpknp上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回与前面的过程完全类似，可知上式括弧中第一个和式等于;)1(pn而第二个和式等于;1)(1nqp3.5 某些常用分布的数学期望与方差1)1()(2pnnpXE),(qnpnp所以)(XD.npq由此得2)()(npqnpnp上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回二项分布的数学期望和方差还可以用下述方法计算：如果事件 A在每次试验中发生的概率为,p则 在An 次独立试验中发生的次数X服从二项分布.),(pnB3.5 某些常用分布的数学期望与方差,),2,1(ni则 相互独立，nXXX,21服从相同的”“10分布，现在设 表示事件 在第 次试验中发生的次数，iXiA且有.1niiXX上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回,)(pXEi,)(pqXDi.,2,1niiX01)(xXPiqp)1(qp3.5 某些常用分布的数学期望与方差的数学期望和方差分别是iX的期望：X)(1niiXEniiXE1)(,np:的方差X)(1niiXDniiXD1)(.npq)(XE)(XD由此可得上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回设随机变量X服从泊松分布,)(P我们有)(XEe!0mmmm,)!1(e11mmm设,1 mk得)(XE0!ekkkee.泊松分布的数学期望就是参数.3.5 某些常用分布的数学期望与方差 泊松分布泊松分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回)(2XE0!)1(ekkkk101!)!1(ekkkkkk)ee(e).1(为了计算,)(XD我们先计算.)(2XE)(2XEe!02mmmm,)!1(e11mmmm所以泊松分布的方差等于数学期望.3.5 某些常用分布的数学期望与方差设,1 mk得)(XD2)1(.上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回设随机变量X在区间ba,上服从均匀分布，.2ba 均匀分布的数学期望正是随机变量分布区间的中点值.3.5 某些常用分布的数学期望与方差 均匀分布均匀分布dxabxba)(XE则上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回所以)(XD322baba22ba.12)(2ab 均匀分布的方差与分布区间长度的平方成正比.3.5 某些常用分布的数学期望与方差为了计算,)(XD我们先计算)(2XEdxabxXEba22)(.322baba上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回设随机变量 服从指数分布X,)(e,e)(0dxxXEx 指数分布指数分布置换积分变量,tx 得)2(.1指数分布的数学期望等于其参数的倒数.则dttt0e1)(XE3.5 某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回dttXEt0222e1)(2)3(,22所以.1)(X指数分布的标准差与数学期望相等.3.5 某些常用分布的数学期望与方差置换积分变量,tx 得为了计算,)(XD我们先计算:)(2XE,e)(022dxxXEx22)1(2,12)(XD上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回常用分布及其数学期望与方差常用分布及其数学期望与方差分布名称及记号概率函数或概率密度数学期望方差”“10分布1,0,)(1xqpxpxx)1,10(qppppq二项分布),(pnBnxqpxpxnxxn,1,0,C)()1,10(qppnpnpq3.5 某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回),(NMnH超几何分布),min(,1,0,CCC)(MnxxpnNxnMNxM),;,(NMNnNMn为正整数NnM)1()(2NNnNMNnM概率函数或概率密度数学期望方差分布名称及记号续表3.5 某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回概率函数或概率密度数学期望方差分布名称及记号续表泊松分布)(Pe!)(xxpx)0(,2,1,0 x几何分布)(pG,)(1xpqxp)1,10(qpp,3,2,1xp12pq3.5 某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回概率函数或概率密度数学期望方差分布名称及记号续表均匀分布),(baU其它,0;,1)(bxaabxf12)(2ab2ba)0(指数分布)(e210,0;0,e)(xxxfx13.5 某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回概率函数或概率密度数学期望方差分布名称及记号续表正态分布),(2N,e21)(222)(xxf2)0(x3.5 某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回概率函数或概率密度数学期望方差分布名称及记号续表为正整数kxxxkxfxkk0,0;0,e)2(21)(2122分布2)(2kkk23.5 某些常用分布的数学期望与方差上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回熟悉常用分布的数学期望与方差),1(pBXpqXDpXE)(,)(),(pnBXnpqXDnpXE)(,)()(PX)(,)(XDXE)(eX21)(,1)(XDXE),(baUX12)()(,2)(2abXDbaXE3.5 某些常用分布的数学期望与方差小小 结结上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回设 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次X射中目标的概率是0.4，则2X的数学期望_)(2XE分析：分析：由题知),4.0,10(BX所以,44.010)(npXE,4.2)4.01(4.010)(npqXD)()()(22XEXDXE.4.1844.22思考题思考题3.5 某些常用分布的数学期望与方差