第五讲动量传递过程选论

迄今为止，我们求解的流动问题都是一维问题，只包含一个非零速度分量。但大量实际流动问题涉及多维流动，需要运用特殊的数学方法和技巧求解。求解不可压缩流体二维流动问题的一种广泛应用的数学技巧是流函数方法。在此方法中，通过引进一个新的变量流函数，减少了控制方程组里的因变量数目，从而使数学模型比原有形式大大简化，更易于求解，尤其是更有利于用数值方法求解。在直角坐标系下，常物性牛顿流体二维流动的变化方程组为：0yxvvxy 22221xxxxxxyvvvvvvvtxyxxy P P22221yyyyyxyvvvvvvvtxyyxy P P包含了三个自变量(t,x,y)和三个因变量(vx,vy,P)。(b.1)(b.2)(b.3)在微分方程课程中，我们曾学习过一类称为全微分方程(exact differential equation)的变系数常微分方程:0PQyx则必然存在二元连续函数f(x,y)满足 0P x y dxQ x y dy ,其系数满足判别式,ffPQxy(b.4)(b.5)(b.6,7)函数 f 的全微分为回到常物性牛顿流体二维流动问题，令 dfP x y dxQ x y dy ,由方程,xyQvPv const.f x y ,定义的yx隐函数即是全微分方程的解。则有,yxvvQPxxyy (b.8)(b.9)(b.10,11)(b.12,13)以及根据连续性方程，上式右侧的值等于零。于是必然存在二元连续函数(x,y)满足,xyvvyx 如果我们得到了 的表达式，通过求偏导数很容易得到vx和vy。函数 被称为流函数。很显然，我们可以用求解 来代替同时求解vx和vy。yxvvPQyxxy (b.14)(b.15,16)把 与vx和vy的关系代入变化方程组,有22 0 x yy x 连续性方程自动满足，可以从方程组中删去。222332231t yy x yx yxx yy P P222332321t xyxx x yyxx y P P(b.17)(b.18)(b.19)将式(b.18)对y求导和将式(b.19)对x求导，有(b.20)3332442232241t yyx yxyx yxyy P P22333322232344442242txyxxyxyyx yyxxxyy (b.21)从式(b.21)中减去式(b.20)，得到3332442324221t xyxxxyx yxxy P P(b.22)由上可见：控制方程已经从包含三个因变量(vx,vy,P)的三个方程(b.1b.3)减少为只含一个因变量()的单个方程(b.22)。这是一个巨大的简化！通过求解这个简化的数学模型得到流函数后，只需对流函数求导就能得到速度函数。教材第123页的表4.2-1列出了不同坐标系下应用流函数得到的控制方程形式，我们可根据具体案例按需选用。三个坐标系下的流函数方程问题描述:一个球体在大空间中的牛顿流体中缓慢下落。求解当球体以恒定速度下落时流体和球体的运动状态。例 4.2-1 环绕球体的爬流(1)1.物理模型:1)由于球体运动引起的流体物性变化很小，因而可以有效地假设流体的密度 和粘度 为常数。例 4.2-1 环绕球体的爬流(2)2)当从固定在地球上的参考系观察时，这个过程是非稳态流动。但如果从固定在球体上的参考系观察，则表现为稳态流动。由于后者仍然是一个惯性参考系，因而前面所导出的运动方程在该参考系中依然成立。通过选择固定在球体上的参考系，我们将问题转化成为环绕一个固定球体的稳态流动。例 4.2-1 环绕球体的爬流(3)3)因为过程在大空间中进行，在有限的时间里，球体引起的流体扰动并没有到达空间的外边界，我们不妨把外边界延拓到无限远处。4)因为流体流动的速度很小(即所谓爬流)，所以运动方程中的惯性项(与速度平方有关的项)均可省略。5)流动具有轴对称性。例 4.2-1 环绕球体的爬流(4)2.数学模型:1)选用右图所示的球坐标系。2）根据物理模型中的第1)点和第5)点，可以从表4.2-1中的最后一行得到此问题的控制方程：2224222,12,sincossinsinEEEEtrrrrr 例 4.2-1 环绕球体的爬流(5)40E 根据物理模型中的第2)点，方程左侧的第一项等于零。根据物理模型中的第4)点，方程左侧色其它项均可省略，于是(4.2-2)式中的微分算子 E 可以展开成表达式222210sinsinrr (4.2-3)例 4.2-1 环绕球体的爬流(6)B.C 1at,0B.C 2at,0B.C 3as,B.C 4as,.:.:.:cos.:sinrrrRvrRvrvvrvv 式(4.2-3)的边界条件应该从边界处的速度导出：211 ,sinsinrvvrrr B.C 1at,0B.C 2at,0.:.:rRrRr 根据关系式我们得到球表面的边界条件：(4.2-4)(4.2-5)例 4.2-1 环绕球体的爬流(7)222122sinsin()v rdrv rf (4.2-6)对B.C.3积分得到222112cossinsin()v rdv rf r 比较两式，我们有2212B.C.3:as ,sinrv rC 式中C是一个任意常数，不妨取为零。对B.C.4积分得到例 4.2-1 环绕球体的爬流(8)分离变量法 21 2f rv rr 当3.数学模型求解1)分离变量 B.C.3 提示我们流函数可能具有以下形式：(*)其中 2sinf r 将其代入式(4.2-3)，我们有2222210sinsinsinfrr (4.2-7)例 4.2-1 环绕球体的爬流(9)分离变量法所以式(*)可以写作2222222212sinsinsinsindffrrdrr2222222212sinsinsinsindffrrdrr 222220dfdrr(4.2-9)这是一个欧拉方程，其通解为424223448160d fd fdffdrrdrr drr将其展开，我们有1241234fC rC rC rC r(4.2-8)根据B.C.3,1221212sinC rC rv r 312Cv (4.2-10)40C 及然后 3112212cossinrvvC rC rr (4.2-11)31121sinsinvvC rC rrr (4.2-12)根据B.C.1和B.C.2,234RCv 314RCv 及例 4.2-1 环绕球体的爬流(10)分离变量法例 4.2-1 环绕球体的爬流(11)分离变量法312231Const.442sinRRrrv r (4.2-13)于是我们得到了速度场的表达式如下：331122cosrRRvvrr(4.2-14)以及相应的流线方程331144sinRRvvrr 例 4.2-1 环绕球体的爬流(12)(4.2-16)4.过程参数(4.2-15)1)压力场把速度表达式代入N-S方程，我们可以得到修正压力场的控制方程组313cosRvrr P2312sinRvr P该方程组的解为2312sinRvr PP(4.2-17)02312cossinppgrRvr 即例 4.2-1 环绕球体的爬流(13)(B.1-18)2)剪切应力场根据教材的附录B，作用在坐标面r=const.上的剪切应力（即沿r-方向的 -动量通量）为1rrvvrrrr 把速度场的表达式(4.2-13,14)代入上式，我们有(*)432sinrvRRr 例 4.2-1 环绕球体的爬流(14)(B.1-16)3)拉伸应力场根据教材的附录B，作用在坐标面r=const.上的拉伸应力（即沿r-方向的r-动量通量）为 223rrrvvr 把速度场的表达式(4.2-13,14)代入上式，我们有(*)243cosrrvRRRrr 例 4.2-1 环绕球体的爬流(15)4)作用在球体上的曳力流体施加在球体上的总作用力必然在z-方向，并且应该等于法向应力和切向应力在整个球体表面上的积分值。其中法向应力的贡献为(*)220022000332423,cossincoscoscossinn zrrrRFpRd dvpgRRd dRRgR v ,zn zt zFFF 例 4.2-1 环绕球体的爬流(16)总作用力包含浮力和动力学曳力两部分：22002300324,sinsinsint zrrRFRd dR vd dR v 而切向应力的贡献为3463zFRgR v 动力学曳力的表达式被称为Stokes定律6kFR v 由于在物理模型中省略了惯性项，上述结果仅对非常缓慢的流动有效。通过与实验数据进行比较，应用Stokes定律计算动力学曳力的适用场合局限于Re 0.1的情况。例 4.2-1 环绕球体的爬流(17)5.结果分析在1819世纪的航海时代，谁能拥有海洋控制权谁就能拥有世界贸易权和殖民地控制权。因此个发达国家都竞相发展海军舰队和商船队。而提高舰船的航速是首屈一指的关键技术。当人们顺里成章地增大发动机功率来提高船速时，却失望地发现速度的增加远未达到预期的幅度。速度的增加完全不是正比于发动机功率的提升。为什么呢？直到Prandtl在1904年提出边界层概念后，才对此问题给出合理的解释。当流体流经固体物体的前端时(参见右图)，由于粘性效应，紧靠壁面区域的流体的速度将显著减小，形成一个速度梯度较大的区域，流体的动量经由这一区域传递给固体表面。随着流体沿壁面向前流动，这个区域的厚度沿流动方向逐渐增大。这个区域被称为流动边界层或速度边界层。流动边界层具有以下特点：1)边界层的外边界 v=0.99v 理论上讲，边界层的外边界应该是流体速度未减小的临界点，此处速度在垂直于壁面方向上的变化率为零。但实际上在边界层外缘区速度变化很缓慢，很难判断何处v=v。因此人为约定v=0.99v 处为边界层的外边界，此处到壁面的垂直距离为边界层厚度。2)边界层很薄 x距前沿x处的边界层厚度远小于x。3)边界层内的横向速度梯度dvx/dy很大，动量分子传递不能忽略；边界层外dvx/dy很小，粘性效应可忽略。4)边界层内的流态有层流湍流之分，判据是边界层雷诺数Rex。湍流边界层内的近壁区仍有一层流底层。5)在凸表面上可发生 边界层分离现象。则紧靠壁面区域的流体的浓度将会受到影响而改变，形成一个厚度沿流动方向逐渐增大的浓度边界层。与此类似，当流体流经固体表面时，如果从某一处开始，某个化学组分在固体表面处的浓度与来流流体中的浓度不同，则紧靠壁面区域的流体的浓度将会受到影响而改变，形成一个厚度沿流动方向逐渐增大的浓度边界层。与此类似，当流体流经固体表面时，如果从某一处开始，某个化学组分在固体表面处的浓度与来流流体中的浓度不同，为了简单且不失普遍性，我们取二维边界层作为讨论对象。参见右图，令x代表从固体物体前端开始沿固体表面的弧长，y代表距固体表面的距离，我们就在近壁区域建立起了一个正交曲线坐标系。令dS为从点a到点b的弧长微元，R为固体壁面在点(x,0)的曲率半径，我们有 22222dSacbcR y ddy dxdR 22221ydSdxdyR ,则在边界层内有 。在正交坐标系中，222212dShdxhdy 对比前一公式，我们得到了尺度因子(Scale Factor，i A.7，p.115116)的表达式：如果1211,yhhR 此结果表明，只要固体壁面的曲率半径远大于边界层的厚度，边界层坐标系就可以近似处理为直角坐标系。R 11h 边界层方程是在 的条件下采用量阶分析法对变化方程组进行化简而得。量阶分析法的要点是在评估各个物理量对某一现象影响的总体重要性时，主要依据各个物理量在所涉及区域中的平均值的相对大小，而并不关注这些物理量在该区域中少数空间点上的特定值的大小。x 二元体系的二维稳态过程的变化方程组可写为：0yxvvxy 22221xxxxxyvvvvvvxyxxy P22221yyyyxyvvvvvvxyyxy P222222221ABAAAxyABpABwwrTTTTHHvvxyxyMMxyC D2222AAAAAxyABwwwwrvvxyxyD(a1)(a2)(a3)(a5)(a4)选取以下五个物理量作为量阶分析中比较各类物理量相对大小的标尺 01AAwwO 1xOO 长度标尺的相对量阶大小为：长度类：速度类：温度类：浓度类：1 ,;xOO 1 ;evO 01 ;TTO 10122exevvvO 12111xxevvvvvOOxxxO 1)速度分量vx及其各个偏导数的量阶 212220111xxevvvvOxOxxxO 011xevvOOyO 1yyyvvvyOOOyy 2)速度分量vy及其各个偏导数的量阶 222220011xxevvyvOOyO 根据连续性方程 式(a1),1yxvvOyx 01yyvvOOxxO 22011yyvvyOOyO 2201yyvvOxOxxO eeeyvvvvxy 1x P3)修正压强P的偏导数的量阶考虑边界层外部的无粘流动 11111eeeevvvOvvOOxxxO P在边界层的外边界处把上式代入式(a2)，得到由于边界层很薄，在边界层内部压力梯度沿y方向的变化不可能很大。于是我们假设 111Oxx PP22222211111111111()()()()()()()()()()()xxxxxyOOOOOOOOOOOvvvvvvxyxxy P(a6)222221111()()()()()()()()()()yyyyxyOOOOOOOOOOvvvvvvxyyxy P将其带入式(a3)中，我们得到 2O11()()OOy P此方程要成立就必然有：这一结果表明式(a6)中的假设成立。此方程要成立就必然有：22xxexxyevvvvvvvxyxy 由于压力及压力梯度可以根据边界层外部的流动求出，边界层内部的未知变量就可以减少一个，由式(a1)(a5)组成的方程组中的方程式就可以消去一个。我们选择消去式(a3)并忽略式(a2)中的 ，就得到边界层运动方程10y P于是 11eevvxxx PP以及 22xvx(4.4-11)22 xxexxyexxAAvvvvvvvxyxygTTgww 式(4.4-11)是在 =const.的条件下导出的。如果我们需要考虑由于温度差或浓度差引起密度变化所导致的自然对流现象，则必须在该方程中增加两项：式中 代表热膨胀系数，代表浓度膨胀系数，gx是重力加速度的x分量。(20.2-2)对式(a4)(a5)应用量阶分析，我们有222222222111111()()()()()TABAAAxyABpABOOOOOOwwrTTTTHHvvxyxyMMxyC D21()T 2222211 1 1 ()()()()CAAAAAxyABOOOOwwwwrvvxyxy D式中 T和 C分别是温度边界层厚度和浓度边界层厚度。于是这两个方程可简化为22221ABAAxyABpABwrTTTHHvvxyyMMyC D22AAAAxyABwwwrvvxyy D很显然，2TO 2ABCO D；(20.2-3)(20.2-4)22xyTTTvvxyy 22AAAxyABwwwvvxyy D对于自然对流、粘性耗散、化学反应和偏摩尔焓差可忽略的系统，我们得到边界层方程组：22xxexxyevvvvvvvxyxy 速度场方程温度场方程浓度场方程(4.4-11)(20.2-22)(20.2-23)000at 0,0,at,0 at,at,xyAAxxeTCAAyvvvxTTxwwxvyvvxyyTTyww 边界层方程的基本边界条件在外边界处还可以给出一系列附加边界条件23232222at ,0,0,at,0 ,0,at,0,0,xxTAACvvyyyTTyyywwyyy 小结:运用量阶分析法，我们主要获得了两个结果：1)在平行于固体表面方向上，三个边界层 中的所有分子传递项都可以忽略；2)在边界层内，横向压力梯度 的影 响可以忽略。将此结果代入变化方程组，就得到三个边界层方程。yP 考虑流经平板表面的边界层，采用以下物理简化：1.物理模型1)稳态过程；2)常物性；3)沿一个方向均匀；4)边界层外部流动的压力梯度为零；5)无化学反应；6)重力是唯一的外力场；7)粘性效应可以忽略；8)混合热可以忽略；9)热辐射可以忽略；10)扩散焓通量可以忽略；11)壁面处的法向速度远小于外流速度。22xxxxyvvvvvxyy 0yxvvxy 22xyTTTvvxyy 2.数学模型22AAAxyABwwwvvxyyD(20.2-20)(20.2-21)(20.2-22)(20.2-23)B.C.1at 0,xAAxvvTTww(20.2-24)(20.2-26)(20.2-25)00B.C.2at 0,0,xAAyvTTwwB.C.3as,xAAxvvTTww 0B.C.4at 0,yyvvx 上述数学模型有一个明显的特点：式(20.2-21)(20.2-23)具有相似的数学结构和边界条件，因而可以采用共同的方法求解。(20.2-28)000000,xxAAvTwxAAvvTTwwvvTTww 式(20.2-21)(20.2-23)可以表达成一个共同的形式。3.求解数学模型定义以下无因次变量和无因次传递系数1,Pr,vTwABSc D(20.2-29)于是有根据式(20.2-20)，00yyxyvoovvvdyvvdyxx (20.2-27)22yvvxvyvy 2020B.C.1:at 0 or 1B.C.2:at 00,yvvvdyxvxyvyxyy (20.2-30)(20.2-31)(20.2-32)代入式(20.2-30)，有 在y趋近于无穷大处的边界条件提示我们可以运用变量组合法求解。通过类似于4.1的方法，以下无因次组合变量是一个有利的选择：(20.2-33)202012B.C.1as,=1B.C.2at 0,=0:vvv xdddvdd 2vyx (20.2-34)考虑式.(20.2-37)能够被满足的情况。通过引入下列函数很显然，式(20.2-34)的解可以表示成 的一元函数的充分必要条件是壁面处的速度满足下式：(20.2-37)02const.vv xKv (20.2-38)0vfKd 式(20.2-34)可写为B.C.1as,=1B.C.2at 0,=0:f 此式可以直接积分得到 0000001expexpdfdfdfdd 根据 B.C.1,=00 代入前式，得到特解 1000expfdd 根据 B.C.2,0000;,;expexpfK ddKfK dd 此特解是一个隐函数，因为被积函数f中包含有因变量函数 v=(;1,K).(20.2-43)11Pr,ScTwAB D D1)无因次分布剖形 从式(20.2-43)可以看出，无因次速度、无因次温度和无因次浓度具有相同的分布剖形的充分必要条件是无因次传递系数相同4.结果分析及结果的应用2)传质对边界层的影响 式(20.2-43)可以改写为000expKvNeddd 很显然，当K0时，收敛得比K=0时更慢，相应的边界层厚度就增大。000expKKKNKfefd (2)因为以及000vKfd 所以当K0时有可能出现K+f|K=0=0，对应于无因次分布剖形具有一个拐点，如图20.2-3所示。(1)当xA0-xA 0时，传质的方向是从流 体到壁面，对应于K0；当质量从壁面传向流 体时，则有 w(0)0，对应于K0。图20.2-3 无因次分布剖形3)分子传递速率 参照 的定义，流体到壁面的分子传递通量可表为 00;1,02Kvvv x 000;,2PrPrpqKv xC vTT 000;Sc,Sc2AAAjKvwwv x (20.2-45)(20.2-46)(20.2-47)0000000;,1expexpexpfdKfddfdd 式中的无因次分布剖形在壁面处的导数为(20.2-44)是无因次传递系数 和无因次壁面传质通量 的二元函数，其具体数值可以采用数值积分法计算(Table 20.2-1)。式(20.2-45)(20.2-47)构成了平板边界层中三种传递现象之间类比关系的基础。对于三个无因次传递系数相等的情况：11Pr,ScTwAB D D 000000;1,02AAApqjKvvvwwv xC vTT 式(20.2-4547)可改写为这就是著名的雷诺类比。无因次梯度(0;,K)可以被展开为K的泰勒级数：2 32 300000Sc0 3320Pr.AAApqjvvvwwv xC vTT 0130;,0;,00;,KKKKKab K 对于K 0的情况，我们仅保留级数的第一项并取a=0.4696，式(20.2-4547)可改写为这就是常用的查尔顿柯尔本类比。(20.2-57)