2017专题4：圆与相似(含答案)

2017专题4：圆与相似(含答案) 专题：圆与相似(1) 1如图，AB是O的直径，弦CDAB于H点G在O上，过点G作直线EF，交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F连接AG交CD于K，且KEGE （1）判断直线EF与O的位置关系，并说明理由； （2）若ACEF，FB1，求O的半径 2如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF （1）求证：直线PA为O的切线； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC6，tanF，求cosACB的值和线段PE的长 3如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G连接OC交AE于点H。 （1）求证：GCOC （2）求证：AF=CF （3）若EAB=30，CF=2，求GA的长 4如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且CBF=CAB （1）求证：直线BF是O的切线； （2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的长 5如图，O的弦AB=8，直径CDAB于M，OM ：MD =3 ：2， E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F 求：（1）O的半径； （2）求CECF的值 6如图，已知在ABP中，C是BP边上一点，PAC=PBA，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，且交BP于点E （1）求证：PA是O的切线； （2）过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC的长； （3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求O的半径及sinACE的值 7.如图，在ABC中，C=90，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE （1）当BD=3时，求线段DE的长； （2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F求证：FAE是等腰三角形 8.如图，在ABC中，C=90，ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，O是BEF的外接圆 （1）求证：AC是O的切线； （2）过点E作EHAB，垂足为H，求证：CD=HF； （3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长 9.如图，BD是O的直径，OAOB，M是劣弧 上一点，过点M作O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点 （1）求证：PM=PN； （2）若BD=4，PA= AO，过点B作BCMP交O于C点，求BC的长 10.如图是一个量角器和一个含30角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE （1）求证：DECF； （2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与ABC相似，求OB的长； （3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离 11.如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF （1）求证：PC是O的切线； （2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？ （3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 12.如图，在ABC中，ABC=90，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE （1）判断DE与O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD2OE； （3）若cosBAD=，BE=6，求OE的长 专题：圆与相似答案 1（1）相切，理由见解析；（2）4. （1）如图，连接OG OAOG，OGAOAG. CDAB，AKHOAG90 KEGE， KGEGKEAKH. KGEOGAAKHOAG90. OGE90，即OGEF. 又G在圆O上，EF与圆O相切 （2）ACEF， FCAH， RtAHC RtFGO . 在RtOAH中，设AH3t，则AC5t，CH4t . . FB1 ，解得：OG4 圆O的半径为4 . 考点：1.等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质 2（1）证明见解析；（2）EF2=4ODOP，证明见解析；（3），. 解析 试题解析：（1）如图，连接OB， PB是O的切线，PBO=90. OA=OB，BAPO于D，AD=BD，POA=POB. 又PO=PO，PAOPBO（SAS）. PAO=PBO=90. 直线PA为O的切线. （2）EF2=4ODOP，证明如下： PAO=PDA=90，OAD+AOD=90，OPA+AOP=90. OAD=OPA. OADOPA. ，即OA2=ODOP. 又EF=2OA，EF2=4ODOP. （3）OA=OC，AD=BD，BC=6，OD=BC=3（三角形中位线定理）. 设AD=x， tanF=，FD=2x，OA=OF=2x3. 在RtAOD中，由勾股定理，得（2x3）2=x2+32， 解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.AD=4，OA=2x3=5. AC是O直径，ABC=90. 又AC=2OA=10，BC=6，cosACB=. OA2=ODOP，3（PE+5）=25.PE=. 3.试题解析： （1）证明：如图，连结OC， C是劣弧AE的中点， OCAE， CGAE， CGOC， CG是O的切线； （2）证明：连结AC、BC， AB是O的直径， ACB=90， 2+BCD=90， 而CDAB， B+BCD=90， B=2， AC弧=CE弧， 1=B， 1=2， AF=CF； （3）解：在RtADF中，DAF=30，FA=FC=2， DF=AF=1， AD=DF=， AFCG， DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2， AG= 4.（1）证明：连接AE，AB是O的直径，AEB=90，1+2=90AB=AC，1=CABCBF=CAB，1=CBF，CBF+2=90，即ABF=90，AB是O的直径，直线BF是O的切线 （2）过点C作CGAB于 GsinCBF=，1=CBF，sin1=，在RtAEB中，AEB=90，AB=5，BE=ABsin1=，AB=AC，AEB=90，BC=2BE=，在RtABE中，由勾股定理得AE=，sin2=，cos2=，在RtCBG中，可求得GC=4，GB=2，AG=3，GCBF，AGCABF，BF= 考点：1切线的判定与性质；2勾股定理；3圆周角定理；4相似三角形的判定与性质； 5试题解析：（1）如图，连接AO， OM : MD=3:2，可设OM=3 k，MD=2 k (k 0)，则OA=OD=5 k. 又弦AB=8，直径CDAB于M，AM=4. 在RtOAM中，由勾股定理可得：k=1 圆O的半径为5 （2）如图，连接AE， 由垂径定理可知：AEC=CAF， 又ACF=ACF，DACEDFCA. ，即AC2=CECF. 在RtACM中，由勾股定理可得：AC2=AM2+CM2=16+64=80 ， CECF=80. 6解：（1）证明：连接CD， AD是O的直径，ACD=90。 CAD+ADC=90。 又PAC=PBA，ADC=PBA， PAC=ADC。CAD+PAC=90。 PAOA。 又AD是O的直径，PA是O的切线。 （2）由（1）知，PAAD， 又CFAD，CFPA。GCA=PAC。 又PAC=PBA，GCA=PBA。 又CAG=BAC，CAGBAC。 ，即AC2=AGAB。 AGAB=12，AC2=12。AC=。 （3）设AF=x， AF：FD=1：2，FD=2x。AD=AF+FD=3x。 在RtACD中，CFAD，AC2=AFAD，即3x2=12。 解得；x=2。 AF=2，AD=6。O半径为3。 在RtAFG中，AF=2，GF=1， 根据勾股定理得：。 由（2）知，AGAB=12，。 连接BD， AD是O的直径，ABD=90。 在RtABD中，sinADB=，AD=6，sinADB=。 ACE=ACB=ADB，sinACE=。 7.（1）解：C=90，AC=3，BC=4， AB=5， DB为直径， DEB=C=90， 又B=B， DBEABC， DEAC=BDAB， 即DE3=35， DE=； （2）证法一：连接OE， EF为半圆O的切线， DEO+DEF=90， AEF=DEO， DBEABC， A=EDB， 又EDO=DEO， AEF=A， FAE是等腰三角形； 证法二：连接OE EF为切线， AEF+OEB=90， C=90， A+B=90， OE=OB， OEB=B， AEF=A， FAE是等腰三角形 8.证明：（1）如图，连接OE BEEF， BEF=90， BF是圆O的直径 BE平分ABC， CBE=OBE， OB=OE， OBE=OEB， OEB=CBE， OEBC， AEO=C=90， AC是O的切线； （2）如图，连结DE CBE=OBE，ECBC于C，EHAB于H， EC=EH CDE+BDE=180，HFE+BDE=180， CDE=HFE 在CDE与HFE中， ， CDEHFE（AAS）， CD=HF （3）由（2）得CD=HF，又CD=1， HF=1， 在RtHFE中，EF=32+12=10， EFBE， BEF=90， EHF=BEF=90， EFH=BFE， EHFBEF， EFBF=HFEF，即10BF=， BF=10， OE=BF=5，OH=5-1=4， RtOHE中，cosEOA=， RtEOA中，cosEOA=OEOA=， =， OA=254， AF=254-5= 9.（1）证明：连接OM， MP是圆的切线，OMPM， OMD+DMP=90， OAOB， OND+ODM=90， MNP=OND，ODM=OMD， DMP=MNP， PM=PN （2）解：设BC交OM于E， BD=4，OA=OB=BD=2， PA=3， PO=5； BCMP，OMMP， OMBC，BE=BC； BOM+MOP=90， 在直角三角形OMP中， MPO+MOP=90， BOM=MPO； BEO=OMP=90， OMPBEO， OMOP=BEBO，即=BE2， 解得：BE=， BC= 10.（1）证明：连接OF， AB切半圆O于点F，OF是半径， OFB=90， ABC=90， OFB=ABC， OFBC， BC=OE，OE=OF， BC=OF， 四边形OBCF是平行四边形， DECF； （2）解：若OBFACB， OBOF=ACAB， OB=， A=30，ABC=90，BC=OE=2， AC=4，AB=23 又OF=OE=2， OB=4脳223=； 若BOFACB， OBOF=ACBC， OB=， OB=4脳22=4； 综上，OB=或4； （3）解：画出移动过程中的两个极值图， 由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长， A=30，ABO=30，BO=4，BE=2， 点B移动的最大距离是线段BE的长为2 11.（1）证明：连接OC PC=PF，OA=OC， PCA=PFC，OCA=OAC， PFC=AFH，DEAB， AHF=90， PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90， PC是O的切线 （2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DEDF，理由如下： 连接AE 点D在劣弧AC中点位置， DAF=DEA， ADE=ADE， DAFDEA， AD：ED=FD：AD， AD2=DEDF （3）解：连接OD交AC于G OH=1，AH=2， OA=3，即可得OD=3， DH=OD2-OH2=8=22 点D在劣弧AC中点位置， ACDO， OGA=OHD=90， 在OGA和OHD中， ， OGAOHD（AAS）， AG=DH， AC=42 12.（1）证明：连接OD，BD， AB为圆O的直径， ADB=90， 在RtBDC中，E为斜边BC的中点， CE=DE=BE=BC， C=CDE， OA=OD， A=ADO， ABC=90，即C+A=90， ADO+CDE=90，即ODE=90， DEOD，又OD为圆的半径， DE为O的切线； （2）证明：E是BC的中点，O点是AB的中点， OE是ABC的中位线， AC=2OE， C=C，ABC=BDC， ABCBDC， BCCD=ACBC，即BC2=ACCD BC2=2CDOE； （3）解：cosBAD=， sinBAC=BCAC=， 又BE=6，E是BC的中点，即BC=12， AC=15 又AC=2OE， OE=AC=152