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有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 第 6章 有限脉冲响应 (FIR)数字 滤波器的设计 6.1 学习要点 6.2 教材第 7章习题与上机题解答 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 6.1 学 习 要 点 6.1.1 线性相位概念与具有线性相位的 FIR数字滤 1 设 H(ej)=FT h(n) 为 FIR滤波器的频响特性函数 。 H(ej)可表示为 H(ej)=Hg()ej() Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 Hg()称为幅度函数， 为 的实函数。 应注意 Hg()与幅频 特性函数 |H(ej)|的区别， |H(ej)|为 的正实函数， 而 Hg()是一个可取负值的实函数。 ()称为相位特性函数， 当 ()= 时， 称为第一 类（ A类）线性相位特性； 当 ()=0 时， 称为第二 类（ B类）线性相位特性。 0= /2是第二类线性相位特 性常用的情况， 所以本书仅考虑这种情况。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 2 具有线性相位的 FIR滤波器的特点（ h(n)长度为 N） 1） 时域特点 2 1 )( 2 1 )( )1()( A N N nnhnNhnh 偶对称关于 类 (6.1.1) 2 1 2 )( 2 1 )( )1()( B N N nnhnNhnh 奇对称关于 类 (6.1.2) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 群延时 , 2 1 d )(d N 为常数， 所以将 A类和 B类线性相位特性统称为恒定群延 时特性。 2） 频域特点 )0)()(:)2( 2,0)(:)1( A gg g HHN HN 奇对称关于情况为偶数 三点偶对称关于情况为奇数 类 g g ( 3 ) : ( ) 0 , ,2 B ( 4 ) : ( ) 0 , 2 , NH 为 奇 数 情 况 关 于 三 点 奇 对 称 类 为 偶 数 情 况 关 于 奇 对 称 关 于 偶 对 称 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 3） 结论 掌握以上特点， 就可以得出如下结论， 这些结论对 FIR滤波器的设计很重要。 （ 1） 情况 1： 可以实现所有滤波特性（低通、 高通、 带通、 带阻和点阻等）。 （ 2） 情况 2： Hg()=0， 不能实现高能、 带阻和点阻 滤波器。 （ 3） 情况 3： 只能实现带通滤波器（因为 Hg(0)=Hg()=Hg(2)=0） （ 4） 情况 4： 不能实现低能、 带阻和点阻滤波器。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 6.1.2 FIR 教材中主要介绍了 FIR-DF的 3种设计方法， 即窗函数法、 频率采样法、 这 3种设计方法的设计原理及设计步骤教材中讲得很清楚， 本书不再重复， 读者只要认真学习教材， 并参考例题和习 题解答， 就可以掌握本章的知识和方法。 下面仅举一个例子， 用窗函数设计法的概念证明一个重 要的结论， 使读者正确理解所谓的最佳设计法， 其设计效 果与设计的最佳准则有关， 以一个最佳准则设计的最佳滤波 器， 在另一个最佳准则下可能就不是最佳的， 甚至很差， 以至于无实际应用价值。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 例 6.1.1 试证明在窗函数设计法中， 当 h(n)长度 N值固定时， 矩形窗设计结果满足频域最小均方误差逼近 准则。 解 : 仿照窗函数设计法的过程， 设 Hd(ej)表示期望逼 近的理想滤波器频率响应， 其单位脉冲响应为 hd(n)。 用 w(n)表示窗函数， 长度为 N; 用 h(n)表示用窗函数法设计的 实际 FIR滤波器单位脉冲响应（即 h(n)=hd(n)w(n)， 其频率 响应函数为 H(ej)。 定义 H(ej)与 Hd(ej)的均方误差为 2jjd2 d|)e()e(|2 1 HH Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 本例题就是要求证明： 当 w(n)=RN(n)时， 2最小。 由 于证明的条件与窗函数 w(n)的类型（形状）有关， 所以， 将 2转换到时域表示， 有利于证明。 证明如下： （ 1） 令误差函数 E(ej)=Hd(ej) H(ej) 由于 E(ej)为周期函数， 所以可展开为幂级数 n nnE jj e)(e)e( Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 （ 2） 用系数 e(n)表示均方误差 2。 （ 3） 证明只有当 w(n)=RN(n), h(n)=hd(n)Rn(n)时， 2 最小。 下面按三步证明： （ 1） 因为 jj dd( e ) ( ) e n n H h n ， jj( e ) ( ) e n n H h n 所以 n n nhnhHHE jdjjdj e)()()e()e()e( Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 由于 h(n)长度为 N， 即当 n0或 nN时， h(n)=0， 所以 11 j j j j d d d 0 ( e ) ( ) e ( ) e ( ) ( ) e N n n m n n N n E h n h n h n h n n mn je)(e 故 1 0)()( ,0)()( d d Nnnhnh Nnnnhne Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 (2) 因为 E(ej)=FT e(n)， 所以由帕塞瓦尔定理有 22j2 |)(e|d|)e(| 2 1 n nE 1 1 0 2 d 2 d 2 d |)()(|)(|)(| n Nn N n nhnhnhnh (3) 由（ 2）的结果知， 2的前面两个求和项与 w(n)无关， 而第三个求和项为 11 d d d ( ) ( ) 00 1 dd 0 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 N NN w n R n nn N n h n h n h n w n h n h n h n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 由此证明， 矩形窗设计确实满足频域最小均方误差准则。 前面已提到， 当 Hd(ej)为理想频响特性（理想低通、 带通等） 时， 矩形窗设计的 FIR滤波器阻带最小衰减只有 21 dB， 不满 足一般工程要求。 所以， 调用频域最小均方误差最佳逼近设 计程序设计 FIR滤波器时， 使 Hd(ej)具有平滑的滚降特性， 可使阻带衰减加大， 通带内波纹减小。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 6.2 教材第 7章习题与上机题解答 1 已知 FIR滤波器的单位脉冲响应为： （ 1） h(n)长度 N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 （ 2） h(n)长度 N=7 h(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)= h(4)=1 h(3)=0 试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 解 ： （ 1） 由所给 h(n)的取值可知， h(n)满足 h(n)=h(N 1 n)， 所以 FIR滤波器具有 A类线性相位特性： 5.22 1)( N 由于 N=6为偶数 (情况 2)， 所以幅度特性关于 =点奇对称。 （ 2） 由题中 h(n)值可知， h(n)满足 h(n)= h(N 1 n)， 所以 FIR滤波器具有 B类线性相位特性： 322 12)( N 由于 7为奇数 (情况 3)， 所以幅度特性关于 =0, , 2三点奇对 称。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 2 已知第一类线性相位 FIR滤波器的单位脉冲响应长度 为 16， 其 16个频域幅度采样值中的前 9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位 FIR滤波器幅度特性 Hg()的特点， 求 其余 7个频域幅度采样值。 解 ： 因为 N=16是偶数（情况 2）， 所以 FIR滤波器幅度 特性 Hg()关于 =点奇对称， 即 Hg(2 )= Hg()。 其 N点 采样关于 k=N/2点奇对称， 即 Hg(N k)= Hg(k) k=1, 2, , 15 综上所述 , 可知其余 7个频域幅度采样值： Hg(15)= Hg(1)= 8.34， Hg(14)= Hg(2)= 3.79， Hg(13)Hg(9)=0 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 3 设 FIR滤波器的系统函数为 )9.01.29.01(101)( 4321 zzzzzH 求出该滤波器的单位脉冲响应 h(n)， 判断是否具有线性相 位， 解 : 对 FIR数字滤波器， 其系统函数为 1 0 4321 )9.01.29.01( 10 1)()( N n n zzzzZnhzH Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 1( ) 1 , 0 , 9 , 2.1 , 0.9 , 110hn 由 h(n)的取值可知 h(n)满足： h(n)=h(N 1 n) N=5 所以， 该 FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函 数 H(ej)为 所以其单位脉冲响应为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 1 0 j)(j g j e)(e)()e( N n mnhHH ee9.0e1.2e9.0110 1 4j3j2jj 2j2jjj2j e)ee9.01.2e9.0e( 10 1 2je)2c os2c os8.11.2( 10 1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 幅度特性函数为 10 2c os2c os8.11.2)( g H 相位特性函数为 22 1)( N 4 用矩形窗设计线性相位低通 FIR滤波器， 要求过渡 带宽度不超过 /8 rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应 函数 Hd(ej)为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 |0 | 0e)e( c j j d c a H （ 1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应 hd(n) （ 2） 求出加矩形窗设计的低通 FIR滤波器的单位脉冲响 应 h(n)表达式， 确定 与 N之间的关系； （ 3） 简述 N 解 : （ 1） c c j j j j dd c 11 ( ) ( e ) e d e e d 2 2 s in ( ) () nnh n H n n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 （ 2） 为了满足线性相位条件， 要求 ， N为 矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度 rad, 所以要 求 , 求解得到 N32。 加矩形窗函数 , 得到 h(n)： 2 1 Na 8 N 4 8 )()( )(s i n )()()( cd nRan annRnhnh NN n N aNn an an 其它0 2 1 ,1 0 )( )(s i n c Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 （ 3） N取奇数时， 幅度特性函数 Hg()关于 =0, , 2 三点偶对称， 可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg() 关于 =奇对称， 即 Hg()=0， 所以不能实现高通、 带阻和 点阻滤波特性。 5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器， 要求过渡带 宽度不超过 /10 rad。 希望逼近的理想高通滤波器频率响应 函数 Hd(ej)为 其它0 | e)e( jj d caH Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 （ 1） 求出该理想高通的单位脉冲响应 hd(n)； （ 2） 求出加矩形窗设计的高通 FIR滤波器的单位脉冲响 应 h(n)表达式， 确定 与 N的关系； （ 3） N 解 : （ 1） 直接用 IFT Hd(ej)计算： jj dd 1( ) ( e ) e d 2 nh n H c c j j j j 1 e e d e e d 2 nn Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 c c j ( ) ( ) 1 e d e d 2 n j n ccj ( ) j ( )j ( ) j ()1 e e e e 2 () nn nn na )(s i n )( s i n )( 1 c nanan )( )(s i n )( c an anan Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 hd(n)表达式中第 2项 正好是截止频率为 c的理想 低通滤波器的单位脉冲响应。 而 (n )对应于一个线性相位 全通滤波器： Hdap(ej)=e j 即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。 （ 2） 用 N表示 h(n)的长度， 则 h(n)=hd(n)RN(n)= )()( )(s i n )( c nRn nn N )( )(s in c an an Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 为了满足线性相位条件： h(n)=h(N 1 n) 要求满足 1 2 N （ 3） N必须取奇数。 因为 N为偶数时（情况 2）， H(ej)=0， 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足： , 即 N40。 取 N=41。 N 4 10 6 理想带通特性为 | |0 | e)e( c cc j j d B BH a Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 （ 1） 求出该理想带通的单位脉冲响应 hd(n)； （ 2） 写出用升余弦窗设计的滤波器的 h(n)表达式， 确定 N与 之间的关系； （ 3） 要求过渡带宽度不超过 /16 rad。 N的取值是否有限 解 : （ 1） jj dd 1( ) ( ) e d 2 nh n H e cc j j j j () 1 e e d e e d 2 Ba m a n B )( )(s i n )( )(s i n ( cc an an an anB Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 上式第一项和第二项分别为截止频率 c+B和 c的理想低通滤 波器的单位脉冲响应。 所以， 上面 hd(n)的表达式说明， 带 通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。 （ 2） h(n)=hd(n)w(n) ccs in ( ) ( ) s in ( ) 2 0 .5 4 0 .4 6 c o s ( ) () ( ) 1 N B n a n a n Rn n a n a N 为了满足线性相位条件， 与 N应满足 1 2 N Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 实质上， 即使不要求具有线性相位， 与 N也应满足 该关系， 只有这样， 才能截取 hd(n)的主要能量部分， 使 引起的逼近误差最小。 （ 3） N取奇数和偶数时， 均可实现带通滤波器。 但 升余弦窗设计的滤波器过渡带为 8/N ， 所以， 要求 ， 即要求 N128。 7 试完成下面两题： （ 1） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分 别为 h(n)和 H(ej)， 另一个滤波器的单位脉冲响应为 h1(n)， 它与 h(n)的关系是 h1(n)=( 1)nh(n)。 试证明滤波器 h1(n)是一 个高通滤波器。 N 8 16 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 （ 2） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分 别为 h(n)和 H(ej)， 截止频率为 c, 另一个滤波器的单位脉冲 响应为 h2(n)， 它与 h(n)的关系是 h2(n)=2h(n)cos0n， 且 c0( c)。 试证明滤波器 h2(n)是一个带通滤波器。 解 : （ 1） 由题意可知 )(ee21)()c os ()()1()( jj 1 nhnhnnhnh nnn 对 h1(n)进行傅里叶变换 , 得到 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 mn n n n m nhhH jjjj 1 j 1 eee)(2 1e)e( e)(e)(21 )(j)(j n n n n nhnh )e()e(21 )(j)(j nHH 上式说明 H1(ej)就是 H(ej)平移 的结果。 由于 H(ej) 为低通滤波器， 通带位于以 =0为中心的附近邻域， 因而 H1(ej)的通带位于以 = 为中心的附近， 即 h1(n)是一个 高通滤波器。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方 法（设高通滤波器通带为 c, ）： 设计一个截止频率为 c的低通滤波器 hLp(n)。 对 hLp(n)乘以 cos(n)即可得到高通滤波器 hHp(n) cos(n)=( 1)nhLp(n)。 (2) 与 (1)同样道理， 代入 h2(n)=2h(n) cos0n, 可得 2 )e()e()e( )(j)(jj 2 00 HHH Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 因为低通滤波器 H(ej)通带中心位于 =2k， 且 H2(ej)为 H(ej)左右平移 0， 所以 H2(ej)的通带中心位于 =2k 0处， 所以 h2(n)具有带通特性。 这一结论又为我们提供了一种设计 带通滤波器的方法。 8 题 8图中 h1(n)和 h2(n)是偶对称序列， N=8， H1(k)=DFT h1(n) k=0， 1， ， N 1 H2(k)=DFT h2(n) k=0， 1， ， N 1 （ 1） 试确定 H1(k)与 H2(k)的具体关系式。 | H1(k)|=| H2(k)| （ 2） 用 h1(n)和 h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性 相位？群延时为多少？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 题 8图 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 解 ： （ 1） 由题 8图可以看出 h2(n)与 h1(n)是循环移位 关系： h2(n)=h1(n+4)8R8(n) 由 DFT的循环移位性质可得 )()1()(e)()( 11j1482 kHkHkHWkH kkk |)(|)(|)(| 11482 kHkHWkH k (2) 由题 8图可知， h1(n)和 h2(n)均满足线性相位条件： h1(n)=h1(N 1 n) h2(n)=h2(N 1 n) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 所以， 用 h1(n)和 h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位。 直 接计算 FT h1(n)和 h2(n)也可以得到同样的结论。 设 )(jg11j1 1e)()(FT)e( HnhH 27)1(21)()( 21 N )(jg22j2 2e)()(FT)e( HnhH 所以， 群延时为 2 7 d )(d 1 12 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 9 对下面的每一种滤波器指标， 选择满足 FIRDF设 计要求的窗函数类型和长度。 （ 1） 阻带衰减为 20 dB， 过渡带宽度为 1 kHz， 采样 频率为 12 kHz； （ 2） 阻带衰减为 50 dB， 过渡带宽度为 2 kHz， 采样 频率为 20 kHz； （ 3） 阻带衰减为 50 dB， 过渡带宽度为 500 Hz， 采样 频率为 5 kHz。 解 ： 我们知道， 根据阻带最小衰减选择窗函数类型， 根据过渡带宽度计算窗函数长度。 为了观察方便， 重写出 教材第 211页中表 7.2.2。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 结合本题要求和教材表 7.2.2， 选择结果如下： （ 1） 矩形窗满足本题要求。 过渡带宽度 1 kHz对应的数 字频率为 B=200/12 000=/60， 精确过渡带满足： 1.8/N/60， 所以要求 N1.8 60=108。 （ 2） 选哈明窗 ， 过渡带宽度 1 kHz对应的数字频率为 B=4000/20 000=/5， 精确过渡带满足： 6.6/N/5， 所以 要求 N6.6 5=33。 （ 3） 选哈明窗， 过渡带宽度 1 kHz对应的数字频率为 B=1000/5000=/5， 精确过渡带满足： 6.6/N/5， 所以要 求 N6.6 5=33。 10 利用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布莱克曼窗 设计线性相位 FIR低通滤波器。 要求希望逼近的理想低通滤波 器通带截止频率 c= /4 rad， N=21。 求出分别对应的单位脉冲 响应。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 解 : (1) 希望逼近的理想低通滤波器频响函数 Hd(ej)为 j j d e 0 | | 4 ( e ) 0 | | 4 a H 其中 , a=(N 1)/2=10。 (2) 由 Hd(ej)求得 hd(n)： 4 j 1 0 j d /4 sin ( 10 ) 1 4( ) e e d 2 ( 10 ) n n hn n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 (3) 加窗得到 FIR滤波器单位脉冲响应 h(n)： 升余弦窗 : Hn 2 ( ) 0 . 5 1 c o s ( ) 1 Nw n R nN H n d 2 1 sin ( 10 ) 2 4( ) ( ) ( ) 1 c os ( ) 2 ( 10 ) 20 n nh n h n w n R n n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 改进升余弦窗： Hm 2 ( ) 0 . 5 4 0 . 4 6 c o s ( ) 1 N nw n R n N H m H m 2 1 sin ( 1 0 ) 2 4( ) ( ) ( ) 0 .5 4 0 .4 6 c o s ( ) p ( 1 0 ) 2 0d n nh n h n w n R n n 布莱克曼窗 : B l d B l( ) ( ) ( )h n h n w n )( 20 4c o s08.0 20 2c o s5.042.0 )10( )10( 4 s i n 21 nR nn n n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 11 将技术要求改为设计线性相位高通滤波器， 重复题 10。 解 : 方法一 将题 10解答中的逼近理想低通滤波器 (Hd(ej)、 hd(n)改为如下理想高通滤波器即可。 4 3 | 00 | 4 3 e )e( 10j j d H Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 d)e(2 1)( j dd Hnh dee de2 1 j 4/3 10j10j4/3 m )10( )10( 4 3 s i n )10( )10(s i n n n n n 3 sin ( 10 ) 4 ( 10 ) ( 10 ) n n n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 上式中 (n 10)对应于全通滤波器。 上式说明， 高通 滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去 低通滤波器的单位脉冲响应。 仿照 10题， 用矩形窗、 升余弦窗、 改进升余弦窗和布 菜克曼窗对上面所求的 hd(n)加窗即可。 计算与绘图程序与题 10解中类同， 只要将其中的 h(n) 用本题的高通 h(n)替换即可。 方法二 根据第 7题（ 1）的证明结论设计。 （ 1） 先设计通带截止频率为 /4的低通滤波器。 对四 种窗函数所得 FIR低通滤波器单位脉冲响应为题 9解中的 hR(n)、 hHn(n)、 hHm(n)和 hBl(n)。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 (2) 对低通滤波器单位脉冲响应乘以 cosn可得到高通滤波 器单位脉冲响应： 矩形窗： )()c o s ( )10( )10( 4 s i n )c o s ()()( 21R1 nRn n n nnhnh 升余弦窗： 2 H n H n( ) ( ) c o s ( ) ( 1 ) ( )nh n h n n h n )()c o s ( 20 2c o s1 )10(2 )10( 4 s i n 21 nRn n n n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 改进升余弦窗： )c os ()()( Hn3 nnhnh )()c o s ( 20 2c o s46.054.0 )10( )10( 4 s i n 21 nRn n n n 布莱克曼窗： )()c os ( 20 4c os08.0 20 2c os5.042.0 )10( )10( 4 s i n )( 214 nRnnn n n nh Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 题 12图 12 利用窗函数（哈明窗）法设计一数字微分器， 逼 近题 12图所示的理想微分器特性， 并绘出其幅频特性。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 解 : (1) 由于连续信号存在微分， 而时域离散信号和数 字信号的微分不存在， 因而本题要求设计的数字微分器是 指用数字滤波器近似实现模拟微分器， 即用数字差分滤波 器近似模拟微分器。 下面先推导理想差分器的频率响应函数。 设模拟微分器的输入和输出分别为 x(t)和 y(t)， 即 t txkty d )(d)( 令 x(t)=ejt， 则 y(t)=jket=jkx(t) 对上式两边采样（时域离散化）， 得到 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 ( ) j ( ) j e jny nT k x nT k T jj( e ) F T ( ) j ( e )kY y nT X T 其中 =T。 将 x(nT)和 y(nT)分别作为数字微分器的输入和 输出序列， 并用 Hd(ej)表示数字理想微分器的频率响应函数， 则 )e(j)e()e()e( jjjdj XTkXHY 即 TkH j)e( jd Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 j d| ( e ) | | j | kH T 根据题 12图所给出的理想特性可知 所以应取 k=T， 所以 Hd(ej)=j 取群延时 =(N 1)/2， 则逼近频率响应函数应为 Hd(ej)=je j=e j( /2) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 deej2 1)( j j d nnh j ( ) 2 1e j ( ) 1 2 j ( ) n n n )(s i n 2)(c o s )(2)( 12 1 2 nnnn 2 c o s ( ) s in ( ) 0 () () nn n nn Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 设 FIR滤波器 h(n)长度为 N， 一般取 =(N 1)/2。 加窗 后得到 ( ) ( ) ( )dh n h n w n 2 c o s ( ( ) ) s in ( ( ) ) ( ) 0 () () nn w n n nn 我们知道， 微分器的幅度响应随频率增大线性上升， 当频 率 =时达到最大值， 所以只有 N为偶数的情况 4才能满足 全频带微分器的时域和频域要求。 因为 N是偶数， =N/2 1/2=正整数 1/2， 上式中第一项为 0， 所以 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 2 s in ( ) ( ) ( ) () nh n w n n 式就是用窗函数法设计的 FIR数字微分器的单位脉 冲响应的通用表达式， 且具有奇对称特性 h(n)= h(N 1 n)。 选定滤波器长度 N和窗函数类型， 就可以直接按 式得到设计结果。 当然， 也可以用频率采样法和等波纹最佳逼近法设计。 本题要求的哈明窗函数： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 )(12c o s46.054.0)(Hm nRN nnw N 将式代入式得到 h(n)的表达式： 2 ( 1 ) s in 2 2 ( ) 0 . 5 4 0 . 4 6 c o s ( ) 1( 1 ) 2 N nN n h n R n NnN (2) 对 3种不同的长度 N=20， 40和 41，用 MATLAB计算单 位脉冲响应 h(n)和幅频特性函数，并绘图的程序 ex712.m如下： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限脉冲响应 (FIR)数字滤波器的设 计 第章 %ex712.m： 用哈明窗设计线性相位 FIR clear all； close all； N1=20； n=0： N1 1； tou=(N1 1)/2； h1n=sin(n tou)*pi)./(pi*(n-tou). 2).*(hamming(N1)； N2=40； n=0： N2 1； tou=(N2 1)/2； h2n=sin(n tou)*pi)./(pi*(n-tou). 2).*(hamming(N2)； N3=41
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