教材中体现的思想和方法.ppt

1、突出数学思想方法。 （ 1）什么是数学思想方法？ 数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略， 是数学的灵魂。 数学方法 数学方法是指在数学中提出问题、分析问题、处理问 题和解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等 策略，如分析、综合、抽象、概括、观察、试验、联想、 猜想、归纳、演绎等。 数学思想 数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的 理性认识和基本看法。 2、小学中常用的数学思想方法 数形结合思想方法 数形结合思想是指将数（量）与（图）形结 合起来进行分析、研究、解决问题的一种思 维策略。是将抽象的数学语言与直观的图形 结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数 量关系直观化、形象化、简单化，是探索解 题思维途径的重要的基本数学思想。 “数无形时不直观，形无数时难入微。 ” 这句话形象简练地指出了形和数的互相依 赖、互相制约的辩证关系。 16 8 8 2 例如：比较分数大小 转化思想方法 转化就是将有待解决或难以解决的问题， 化归为另一个相对比较容易解决的或者已 经有解决程序的问题。也就是化未知为已 知 ,化难为易 ,化繁为简、化整为零、化曲 为直，从而达到知识迁移使问题获得解决。 六年级下册第 11单元：例 2 三人围成一圈，每人心中想一个数，并把这 个数告诉左右相邻的人，然后每个人把两个 人告诉自己的数求和并亮出，如图所示，亮 出 11的人原来想的数是几？ 11 14 9 转化成简单问题 （甲 +乙） +（乙 +丙） +（甲 +丙） =14+11+9 2（甲 +乙 +丙） =34 加 +乙 +丙 =17 亮出 11的人想的是 17-11=6 不规则图形转化成规则图形 等量代换的方法 用水位下降的体积替代圆锥 的体积，圆锥的体积等于圆 柱的底面积乘下水降低的高 度。 等底等高的三角 形面积相等，每 个三角形的面积 等于平行四边形 面积的一半，蓝 色三角形面积等 于平行四边形面 积的一半，在等 积的情况下三角 形之间可以进行 替换。 还原就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某 些数学公式、法则解决问题。 还原方法 一筐苹果第一次吃了一半，第二次吃了剩余的一半， 第三次吃了再剩余的一半，还剩余 3个，这筐苹果有 多少个？ 还剩 3个 3 2 2 2=24（个） 用实验的方法解决问题 甲、乙两个修路队共同修一条路，甲队 单独工作用 15天完成任务，乙队单独工 作用 12天，为了减少工作疲劳，甲队工 作一天之后，乙队工作一天，接着甲队 工作一天，这样排下去最后完成的是甲 队还是乙队？ 1 15 1 12 1 （ ） 天数 【 】 预估合作的天数 1 15 1 12 1 （ ） 7 【 】 1 15 1 12 1 （ ） 6 【 】 算出由谁最后完成任务 引进数学文化，开拓学生视野 数学是一门学科知识 数学是一门多彩艺术 数学是一个通往无限遐想的隧道 数学是美和奇的化身 数学是打开思维的天窗 数学是一部人类进步史 数学是创造财富的宝库 我国是世界上最早认识和使 用小数的国家。 公元 3世纪，我国数学家 刘徽 在注释 九章算术 中处理平方 根问题时就提出了 十进小数 。 到了元朝， 刘瑾 在 律吕成书 （ 1300年左右）一书中，用 算筹 把小 数部分 降低一格 来表示小数。 如： 这是世界上 最早 的小数表示法。比欧 洲早采用了三百多年。 表示 3.12。 欧洲数学家直到 16世纪才开始考虑小数，其 中较突出的是荷兰人 斯蒂文 ，他在 论十进制 (1583年 )一书中 明确 了小数的表示法。 如：把 5.714记为： 5 7 1 4 或 5,714 这种表示方法，使小数的形 式复杂化，并且给小数的运算带 来很大的麻烦。 1592年，瑞士数学家 布尔基 （ Jobst Burgi）对此作出较大 的改进。他用一 空心小圆圈 把 整数部分和小数部分隔开。 比如：把 36.548 表示为 36。 548 这与现代的表示法已极为接近。 大约过了一年，德国的 克拉维斯 (1537 1612)，首先用 黑点 代替了小 圆圈。他在 星盘 (1593年 )一书中 开始使用 小数点 作为整数部分与小数 部分之间的分界符。 1617年英国数学家 纳皮尔 在 小数计算法 一书 中，用 逗号 作为小数 符号。 现在世界上一部分国家用 小圆点 “ ” 表示小数点，像 中国、英国、 美国 等，还有一部分国家用 逗号 “ ， ” 表示小数点，像 德国、法国、 俄国 等国家。 . 古希腊的毕达格拉斯学派提出”一切平面图形中 最美的图形是圆形” . 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 杨辉三角最本质的 特征是 :它的两条斜 边都是由数字 1组 成的 .而其余的数则 是等于它肩上的两 个数之和 .在国外 , 这也叫做”帕斯卡 三角形” . a + b = b + a a b = b a a + (b +c) = (a + b) + c 观察下面的图形，你知道下一个会是什么图形吗？ 小学数学中的对称美还表现 在一些计算中。 例如 :在珠算加法练习中，先让 学生在算盘上拨上对称数 112211，然后连续加 11次，算 盘上就会出现优美的对称数 1234321。 从运算关系角度看： +与 -、 与 、乘方与开方、指数与 对数、微分与积分、矩阵与逆 矩阵、 这些互逆运算也可 视为“对称”关系 美和对称紧密相连 魏尔 义务教育课程标准实验教科书 （人教版）五年级下册 1不等号的产生 从、的产生到应用历经一个 世纪的时间。 英国数学家哈里奥特在 1621年前发展 的代数符号，他在关于大于和小于的记号写 道： 大于的记号： a b表示 a量大于 b量。 小于的记号： a b表示 a量小于 b量 2用字母表示数是人类对数认识飞跃的标志 从 量 到 数 是人类对数的 第一次 飞跃认识 三头牛用 3表示 两只羊用 2表示 由于社会进步人类的需求引发 第二次认识飞跃 “ 用字母表示数 ” 穿越 “ 时间隧道 ” 回到 1700多年前的古 代希腊。 希腊数学家丢番图 在 算术 著作中，首次用 符号 “ ”表示未知数。 在前人积累下来的经验基础上， 韦达 首次用元音 字母 A、 E、 I、 O、 U、 Y 表示未知数，辅音字母 B、 C、 D、 G 表示已知数，从而使代数不仅用数， 也用字母计算。 法国数学家 韦达 被西方称为 “代数学之父” 法国数学家 笛卡儿 采用 a、 b、 c代表已知数，用字母 x、 y、 z代表未知数，初步建立了代数 符号系统，与韦达相比，不仅完善、 发展了代数符号系统，而且具有简 洁明快的特点，发展成为今天的用 法。 法国数学家厄里冈又改进了韦达号， 用 表示 a a ； 用 表示 a a a 使符号代数就更加完美。 我国古代 南宋数学家李冶 也曾用不 同字表示已知数或未知数。 a 2 a 3 3方程的由来 含有 未知数 的 等式 叫做方程。 方程一词在我国早期的数学专著 九 章算术 中 ,指的是包含多个未知量的 联立一次方程，即现在所说的线性方 程组。 中国古代数学家 刘徵 注 九 章算术 时，给这种 “ 方程 ” 下的定义是： “ 程，课程也， 群物总杂各列有数，总言其 实，令每行为率。二物者再 程，三物者三程，皆如物数 程之，并列为行，故谓之方 程。 ” 4、方程的由来 九章算术 一书中 卷第八方程 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三 十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实 三十四斗；上禾一秉，中禾二饼，下禾三秉， 实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一， 中禾一秉，四斗四分斗之一， 下禾一秉，二斗四分斗之三。 5、有关九章算术的方程 方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一 秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右 方，以右行上禾遍乘中行，而以直除。又乘 其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘 左行，而以直除。左方下禾不尽者，上为法、 下为实。实即下禾之实，求中禾，以法乘中 行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一， 即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而 除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即 上禾之实。实皆如法，各得一斗。 中国古代 列方程 的方法，如下表： 左行 中行 右行 头位 上禾 1 2 3 中位 中禾 2 3 2 下位 下禾 3 1 1 实 26 34 39 以右行为例现今表示为： 3x+2y+z=39 左行 中行 右行 头位 上禾 1 2 3 中位 中禾 2 3 2 下位 下禾 3 1 1 实 26 34 39 3 x+ 2y+ z= 39( 1) 2 x+ 3y+ z= 34( 2) x +2 y+3 z= 26 ( 3) 古今三元一次 方程比较，异 曲同工。 6、丢番图的墓志 希腊数学家丢番图（公元 34世纪）的墓 碑上记载着： “ 他生命的 六分之一 是幸福的童年；再 活了他生命的 十二分之一 ，两颊长起了细细 的胡须；他结了婚，又度过了一生的 七分之 一 ；再过 五年 ，他有了儿子，感到很幸福； 可是，儿子只活了他父亲 全部生命的一半 ； 儿子死后，他又在极度的悲伤中度过了 四年 ， 也与世长辞了。 ” （ 1）丢番图的寿命。 （ 2)丢番图开始当爸爸时的年龄。 （ 3）儿子死时丢番图的年龄。 解答： 设他的寿命为 X X=（ 1/6） X+（ 1/12） X+（ 1/7） X+（ 1/2） X+5+4 X=（ 25/28） X+9 9=（ 3/28） X X=84 （ 1）丢番图的寿命为 84。 （ 2)丢番图开始当爸爸时的年龄为 42 （ 3）儿子死时丢番图的年龄为 80 7、对联中的方程 乾隆 50年，为了庆祝国泰民安，乾隆 请了近 1000名有名望的老人参加宴会， 这是乾隆年间有名的千叟宴，参加宴 会的人中有一位最年长的老者，乾隆 为他写了上联： “ 花甲重开又加三七 岁月。 ” 大学士纪晓岚为他写出下联： “ 古稀双庆更多一度春秋 ” 。这位老 者当时是多少岁？ 用 X表示 花甲 ，用 Y表示 古稀 ，可以列出 不定方程 2X+3 7=2Y+1， X=60 Y=70 用 数 和 符号 展示了文学语言之妙， 揭示了数学之美。