卷积积分及零状态响应的卷积计算法.ppt

4-6卷积积分及零状态响应的 卷积计算法 一 卷积积分的导出 1 0 )1()()()()( n k a ktktkftftf fa(t) )1()()(1 0 ktktkfn k 1 2 3 n 用 n个矩形脉冲来近 似代替连续函数 f(t) t Convolution integral 用冲击函数来近似 代替矩形脉冲 用 n个冲击函数分别 单独作用产生的 rzS(t) 之和来近似代替 f(t) 产生的 rzS(t) 1 第 K+1个 1 0 )()( n k ktkf )1()()()()( 1 0 ktktkftftf n k a fa(t) 第 K+1个 n 1 2 3 用 n个冲击函数 来近似代替 f(t) 用冲击函数来近 似代替矩形脉冲 冲击函数的强度 等于脉冲的面积 t 2 1 0 )( )()( n k zS kthkftr NzS NzS )(t )(th NzS 1 0 )()()( n k ktkftf )( Kt )( kth )()( kthkf )()( ktkf NzS 1 0 )()( n k ktkf 1 0 )( )( n k kthkf )(tf )(trzS 3 4 取极限： 1 0 )()()( n k ktkftf 1 0 )( )()( n k zS kthkftr （无穷小量） d n令 )( tf多个冲击函数代替用 （连续变量） K dt n K 0 1 0 dtftf t )()()( 0 dthftr tzS )()()( 0 )()( ttf 记为 )()( thtf 记为 卷乘 二、卷积积分的性质：交换律、分配律等 t dthfthtf 0 )()( t dtfhtfth 0 )()( thtftfthtr zS )( tfdtfdtftft tt 0 0 tfttftft )()( 1 交换律 2 分配律 )()()()()()()( 2121 tfthtfthtftfth 0 0 00 0 00 ttfdtttf dtfttftt t t 注意 000 ttftttftftt 例 1 求卷积 )()( tte t dtette tt )()()()( 0 解 0 de t 1 0 t e 三 卷积积分的计算举例 )()1(1 te t 例 2 设图示 RC串联电路中电压源的电压 )()( 0 teutu T t 求 零状态响应电压 uC(t)。 解 用卷积积分公式求 uCzS(t)，应先求冲激响应 RCdttRCu C 1)(11)0( 0 0 )(1)( te RCth RC t 零状态响应电压为 tC dthutu 0 )()()( dte RC eu RC tt T )(1)( 0 0 )( 0 tee RCT Tu RC t T t 0 0 dee RC u t R C TRCTRC t tC dthutu 0 )()()( dteRCeu RC tt T )(1)( 0 0 t R C T RCT RC t e R C T RCT e RC u 0 0 1 四、卷积积分的物理解释。 1 0 )()()( n k ktkftf n d K dtt n K 0 1 0 dtftf t )()()( 0 用 n个强度不同 ,断续出 现的冲击函数序列来近 似代替连续函数 f(t) )( , tf和来代替连续函数 连续出现的冲击函数之 依次多个强度不同用 dthftr tzS )()()( 0 zS zS rtf r 产生的和来代替 之别单独作用产生的 连续出现的冲击函数分 依次多个强度不同用 )( , 1 0 )( )()( n k zS kthkftr zS zS rtf r n 产生的似代替 之和来近作用产生的 现的冲击函数分别单独 断续出个强度不同用 )( , 五、卷积积分几何解释 求 f(t)与 h(t)的卷积，实质上是求一个新函数 f()h(t)在 由 0到 t的区间内的定积分。根据 定积分的几何意义，函数在 0到 t区间内的定 积分值，决定于被积函数 f()h(t)的曲线在 该区间内与 轴之间所限定的面积。 )()( ttf )()( teth t 设 tzS dthfthtftr 0 )()( )()()( tzS dtfhtfthtr 0 )()()()()( f(t) t h(t) t tzS dthfthtftr 0 )()( )()()( t t f(t) h(t) )( )()( 0 trdthf zSt 面积 的镜象对称 取纵轴将 )(h 褶迭 t h 平移到 向右把 )( 曲线作 )()( thf 求面积 Convolution tzS dtfhtfthtr 0 )()()()()( 计算如按式 积分下限为什么为零？ 积分上限为什么为 t ？ 面积 tzS dtfhtr 0 )()()( 例 3 某电路的激励函数与冲激响应的波形图如图所示 求电路的零状态响应。 计算按 tzS dthfthtftr 0 )()()()()( 解 1 t t t t t t t t t t zS dede dtedte dtetr 1 )( 0 )( 0 )( 0 )( 0 )( )()1()()( )()1()()( )1()( tt t t t t t t t t t t zS dede dtedte dtetr 1 )( 0 )( 0 )( 0 )( 0 )( )()1()()( )()1()()( )()1()1(00 )( teeedeede tttttt t )1()1()( )1(11 )( teeeedeede tttttt t )1()1()()1()( )1( tetetr ttzS 积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定。 用作图的方法可方便地确定出积分上下限。 解 2 计算按 tzS dtfhtfthtr 0 )()()()()( )(h )(f -1 0 1 )( f 当 0t 1S 时 ttt t t tzS eededetr )1( 1 1 )()( )( trzS面积 当 0t 1S 时 ttt zS ededetr 1)()( 0 0 当 0t 1S 时 tt zS eetr )1()( )1()1()()1()( )1( teettetr tttzS )1()1()()1( )1( tete tt 分时间段表示 用一个式子表示（用阶跃函数表示时间范围） 与解 1的计算结果相同 六、卷积积分在网络分析中的应用 )(*)()( thtfrrrtr zizszi 2 求任意函数激励下的全响应 1 求任意函数激励下的零状态响应 )(*)()(*)()( tfththtftr zS 首先要求 h(t) 卷积计算法只用于求 rzS(t) 注意 例 4 iS(t)的波形如图 所示 ,求零状态响应 u(t) 解 先求冲激响应 Vttu )(510)(21)0( V10V)(5.005.0 1)0( 00 dttu C V5)0(21)0( Cuu 0)0( Cu Ati C )( 2 1)0( S1S05.020 RC V)(5)(5)()( tettuth t h ( t )(i)(ih ( t )u ( t ) SS tt + - uC(t) )(tiC At)( )(iS t V)101015(51010)1(5 )(5)1()1(5 )(5*)()(5*)()()()( 0 )( tetet dtet tetittithtitu tt t t t sss 0)( tis Veuuu CC 32.1)1101015()1(21)1(21)1( 1 V32.1)( )1( tetu S1为一阶电路的 rzi(t) V)(5)(5)( tetth t )(2)()(21u ( t )0t tututu CC ，或时， St 10 St 1 Atti s )1()( 求 rzS(t) 作业 4-39