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3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法用空间向量解决立体几何问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的步骤(三步曲三步曲)：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD解：解：如图如图1，设，设 BADADAAAB，11 6011DAABAA化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，11AAADABAC 进行向量运算进行向量运算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本题中四棱柱的对角线）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？（2 2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于于 ,那么有这个四棱柱的对角线的长可以那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其其中中分析分析:分析分析:1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设11 AAADABAC 则则由由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即ax cos631 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设设AB=1 AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离面面距离点面距离点面距离.11HACHAA于于点点平平面面点点作作过过 解：解：.1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由.上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC.160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是。36问题：如何求直线问题：如何求直线A1B1到平面到平面ABCD的距离？的距离？向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离：PA n如图，已知点如图，已知点P（x0,y0,z0）,在平面在平面 内任意取一点内任意取一点A（x1,y1,z1）平面的一个法向量为平面的一个法向量为n cosAPnAPn AP,n 其中其中,APcosAPnn AP cosP 的绝对值就是点 到平面 的距离。|AP|ndn 也就是也就是AP在法向量在法向量n上的投影的绝对值上的投影的绝对值已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，的中点，求点求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyz:,CD CB CGxyz 分析 以的方向为 轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则(0,2,0),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(2,4,0),(4,2,0).(2,2,0),(2,4,2),B(2,0,0)GBADEFEFEGE (,1),:EFGnx y 设平面的法向量为则有DABCGFExyz2-20-2-4201 1(,1)3 3nEF nEGxyxyn ，|BE|2 1111ndn :,|AOO eAdAOe评注若平面的斜线交于点是单位法向量,则 到平面的距离为甲站在水库底面上的点甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为和分别为和 ,CD,CD的长的长为为 ,AB,AB的长为求库底与水坝所成二面角的余弦值。的长为求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：解：如图，如图，.dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向量运算进行向量运算222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ，就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab ABCD 所以所以.2cos2222abdcba 回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba 123123500,60200.kgF F FFFFkg 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是，且这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgF F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy,31(0,0,0),(0,1,0),(,0).22AABCxAyAByAByAxyzABC 解：如 图，以 点为 原 点，平 面为坐 标 平 面，方 向 为 轴 正 方 向，为 轴 的 单 位 长 度 建 立 空 间直 角 坐 标 系则 正 三 角 形 的 顶 点 坐 标 分 别 为11(,),601cos 60(,)(0,1,0),2Fx y zFAB ACx y z 设 力方 向 上 的 单 位 向 量 坐 标 为由 于与的 夹 角 均 为，利 用 向 量 的 数 量 积 运 算，得131c o s 6 0(,)(,0),222xyz11,.1 22xy 解 得12311211212200(,)(,)(,0,)12 23122333200(0,0,6)FFF 它们的合力F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy32,1222zzyx因此又因为)32,21,121(2001F所以2311212200(,)200(,0,)122333FF类 似 地所以钢板仍静止不动。由于作用点为大小为的合力方向向上，这说明，作用在钢板上,5006200.,6200Okg如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，侧棱方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，作作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F11(1,0,0),(0,0,1),(0,)22APE依依 题题 意意 得得ABCDP PE EF FXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG)021,21(，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面GGABCD)21,0,21(),1,0,1(EGPA且EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA平面所以，/ABCDP PE EF FXYZG)1,1,1(),0,1,1(2PBB）证明：依题意得（1 1(0,),2 2110022DEPB DE 又故DEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以ABCDP PE EF FXYZG的平面角。是二面角故）可知由（）解：已知（DPBCEFDDFPBEFPB,2,3)1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为(,1)(1,1,1)(,)x y zkk kk 所所以以kzkykx1,即0PB DF 因为(1,1,1)(,1)1310k kkkkkk 所以31k所以)323131(，的坐标为点F)21,21,0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以cos1 111121(,)(,)13 6633361266363FE FDEFDFE FD 因为.60,60的大小为即二面角所以DPBCEFD向量的模向量的模用空间向量解决立体几何问题的步骤：用空间向量解决立体几何问题的步骤：面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形谢谢谢谢
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