RLC元件电压电流关系的相量形式.ppt

2 3 RLC元件电压电流关系的相量形式 一、电阻元件电压电流关系的相量形式 )()( tRitu 线性电阻的电压电流关系服从欧姆定律，在电压电流 采用关联参考方向时，其电压电流关系表示为 当其电流 i(t)=Imcos( t+i)随时间按正弦规律变化时， 电阻上电压电流关系如下： )c o s ()()c o s ()( imum tRItRitUtu 上式表明，线性电阻的电压和电流是同一频率的正弦 时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差 为零 (同相 )，即 iu mm RIURIU 或 线性电阻元件的时域模型如图 10-14(a)所示，反映电压 电流瞬时值关系的波形图如图 (b)所示。 图 10-14 由上图可见，在任一时刻， 电阻电压的瞬时值是电流 瞬时值的 R倍 ， 电压的相位与电流的相位相同 ，即电压电 流波形同时达到最大值，同时经过零点。 由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函 数，可以用相量分别表示如下： e2R e eR e )( e2R e eR e )( j j m j j m tt tt IIti UUtu 将以上两式代入式 10 18中，得到 e2R e e2R e ( j j tt IRUtu ） 由此得到线性电阻电压电流关系的相量形式为 IRU 这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间 的两个关系，即 (1) 电阻电压有效值等于电阻乘以电流的有效值，即 U=RI (2) 电阻电压与其电流的相位相同，即 u =i 线性电阻元件的相量模型如图 (a)所示，反映电压电流 相量关系的相量图如图 (b)所示，由此图可以清楚地看出电 阻电压的相位与电阻电流的相位相同。 正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系 IRU 二 、 电感元件电压电流关系的相量形式 t iLtu d d)( 当电感电流 i(t)=Imcos( t+i)随时间按正弦规律变化时， 电感上电压电流关系如下： )90 c o s () s i n ( ) c o s ( d d ) c o s ()( imim imum tLItLI tI t LtUtu 线性电感的电压电流关系采用关联参考方向时， 表明线性电感的电压和电流是同一频率的正弦时间函 数。其振幅或有效值之间的关系以及电压电流相位之间的 关系为 90 iu mm LIULIU 或 电感元件的时域模型如图 (a)所示，反映电压电流瞬时 值关系的波形图如图 (b)所示。由此可以看出 电感电压超前 于电感电流 90 ，当电感电流由负值增加经过零点时，其 电压达到正最大值。 由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函 数，可以用相量分别表示，将它们代入式 10 24中得到 e2 jR e )e2 R e ( d d e2R e ( j j j t t t IL I t L Utu ） 由此得到电感元件电压相量和电流相量的关系式 ILU j 电感元件的相量模型如图 (a)所示，电压电流的相量图 如 (b)所示。由此可以清楚看出 电感电压的相位超前于电感 电流的相位 90 。 j 90s inj90c o se 90j 图 10-17 三 、 电容元件电压电流关系的相量形式 t uCti d d)( 线性电容在电压电流采用关联参考方向时 线性电容的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。 其振幅或有效值之间的关系。以及电压电流相位之间的关 系为 90 ui mm CUICUI 或 当电容电压 u(t)=Umcos( t+u)随时间按正弦规律变化 时 )90 c o s () s i n ( ) c o s ( d d ) c o s ()( umum umim tCUtCU tU t CtIti 电容元件的时域模型如图 (a)所示，反映电压电流瞬时 值关系的波形图如图 (b)所示。由此图可以看出 电容电流超 前于电容电压 90 ，当电容电压由负值增加经过零点时， 其电流达到正最大值。 由于电容元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函 数，可以用相量分别表示，代入式中得到 由此得到电容元件电压相量和电流相量的关系式 UCI j e2jR e )e2 R e ( d d e2R e ( j j j t t t UC U t C Iti ） 电容元件的相量模型如图 (a)所示，其相量关系如图 (b) 所示。 例 电路如图 (a)所示，已知 2 r a d / s ,A c o s2)(,H2,3 S ttiLR 试求电压 u1(t), u2(t), u(t)及其有效值相量 。 解：根据图 (a)所示电路的时域模型，画出图 (b)所示的相量 模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同， 仅将时域模型中各电压电流符号 用相应的相量符号 表示，根据相 量形式的 KCL求出电流相量 uuuii 、 21S UUUII 、 21S 1 A A01S II 由相量形式的 VCR方程求出电压 V904V4j 0122jjj V03013 S2 S1 ILILU IRIRU (b) 根据相量形式的 KVL方程式得到 V1.5354j321 UUU 得到相应电压的瞬时值表达式 V )1.532c os (25)( V )902c os (24)( V 2c os23)( 2 1 ttu ttu ttu 相量图如图 (c)所示。由此图可以看出电压 u(t)超前于 电流 i(t)的角度为 53.1 。此例中， U=5U1+U2=3+4=7 (c) 例 电路如图 (a)所示 ,已知 5 r a d / s , Vc o s210)(,F1.0,4 S ttuCR 解：画出图 (a)相量模型如图 (b)所示。根据 RLC元件相量形 式的 VCR方程计算出电流相量。 A5.205.24 010S1 R UI 试求电流 i1(t), i2(t), i(t)及其有效值相量。 A905j 5 A j2 010 0 . 15 1j 010 j 12 C UI s 根据相量形式的 KCL方程得到 A4.6359.5j55.221 III 得到电流的瞬时值表达式 A 5c os25.2)(1 tti A )905c os (25)(2 tti A )4.635c o s (259.5)( tti 根据所求得的各电压电流相量画出相量图。 由此图可以看出电流 i(t)超前于电压 uS(t)的角度为 63.4 。 此例中， I=5.59 I1+I2=2.5+5=7.5,再次说明正弦电流电 路中流出任一结点的全部电流有效值的代数和并不一定等 于零。 四 、 阻抗与导纳 欧姆定律的相量形式 为容抗称为电容的电抗，简称 为感抗称为电感的电抗，简称 称为电阻 j 1 j 1 j j C C CC L L LL R R RR CI U I C U L I U ILU R I U IRU 现将 RLC元件电压电流的相量关系列写如下： 我们注意到， RLC元件电压相量与电流相量之间的关 系类似欧姆定律，电压相量与电流相量之比是一个与时间 无关的量，其中 R，称为电阻； jL，称为电感的电抗，简 称为感抗； 1/jC，称为电容的电抗，简称为容抗。 为了使 用方便，我们用大写字母 Z来表示这个量，它是一个复数， 称为阻抗 。 为容抗称为电容的电抗，简称 为感抗称为电感的电抗，简称 称为电阻 j 1 j 1 j j C C CC L L LL R R RR CI U I C U L I U ILU R I U IRU Cj 1 j L R I U Z 引入 阻抗 后，我们可以将以上三个关系式用一个式子 来表示。 ZIUIZU 式 10 32称为 欧姆定律的相量形式 。 阻抗定义为电压相量与电流相量之比 ，即 与上相似， RLC元件电压电流的相量关系也可以写成 以下形式 j j j 1 j 1 C C CC L L LL R R RR 为容纳称为电容的电纳，简称 为感纳称为电感的电纳，简称 称为电导 C U I UCI LU I U L I G U I UGI 我们注意到， RLC元件电流相量与电压相量之比是一 个与时间无关的量，其中 G，称为电导； 1/jL，称为电感 的电纳，简称为感纳； jC，称为电容的电纳，简称为容 纳。我们用大写字母 Y来表示这个量，它是一个复数，称 为导纳。 L C G U I Y j 1 j 引入 导纳 后，可以将以上关系式用一个式子来表示。 YUIUYI 显然，同一个二端元件的 阻抗与导纳互为倒数关系 ，即 ZYYZ 11 导纳 Y定义为电流相量与电压相量之比 ，即 现将反映两类约束关系的 KCL、 KVL和二端元件 VCR 的时域和相量形式列写如下。 它们是相量法分析正弦稳态 电路的基本依据 。 1 d d 1 d d e )c os (2)( e )c os (2)( 0 0 0 0 j SSiS j SSuS 11 11 i u UYIIZU i dt C u t u Ci udt L i t i Lu GuiRiu IItUti UUtUtu Uu Ii t t n k k n k k n k k n k k 电容 电感 电阻 电流源 电压源 基尔霍夫电压定律 基尔霍夫电流定律 相量形式时域形式