《数学基本知识》PPT课件.ppt

希腊字母的读法 alpha lfa beta bi:ta / beita gamma g ma delta delta epsilon epsilan / epsailan zeta zi:ta eta i:ta / eita theta ita iota aiouta kappa k pa lamda l mda mu mju: nu nju: xi ksai / gzai / zai omicron oumaikran pi pai rho rou sigma sigma tau tau upsilon ju:psilon / ju:psailan o 是反 c phi fai chi kai psi psi: omega oumiga / oumi:ga 前 言 高等数学是理 、 工 、 农 、 医以及经济类 、 管理类 、 乃至文史类等众多专业设立的一门 主干基础课 。 在学习这门课之前 ， 先向大家 介绍一下数学的基本知识 ， 学习这门课的重 要性 ， 提出希望和要求 ， 有助于大家学好这 门课 。 一数学基本知识 1 数学的内容： 初等数学 高等数学 初等数学 基本上是常量的数学，主要包含 两部分：几何学与代数学 几何学 ：研究空间形式的学科 代数学 ：研究数量关系的学科 高等数学 含有非常丰富的内容，以我们所 学为限，它主要包含以下基础部分： 微积分 ：研究变速运动及曲边形的求积问题 解析几何 ：用代数方法研究几何 ， 其中平面解析几 何的部分内容安排在中学 . 线性代数 ：研究如何解线性方程组及有关的问题 概率论与数理统计 ：研究随机现象 ， 依据数据进行 推理 2数学发展简史 数学的发展史大致可以分为五个阶段： 第一阶段 数学萌芽时期 这个时期从远古时代起 ， 止于公元前 5世 纪 。 在这个时期里 ， 人类建立了最基本的数学 概念 ， 包括数的概念 、 数的运算方法 ， 几何有 了初步发展 。 第二阶段 常量数学时期 （初等数学时期） 公元前世纪直到世纪 ， 持续了两千 年左右 。 这个时期逐渐形成了算术 、 几何 、 代 数 、 三角等主要分支 ， 其成果构成现在中学数 学的主要内容 。 代表性的成就 希腊数学 毕达哥拉斯学派与 “ 万物皆数 ” 芝诺悖论与巧辩学派 （ 二分说 、 阿基里斯追 龟说 、 飞箭静止说 ） 、 柏拉图学派 欧几里得与他的 几何原本 阿基米德的数学成就： 抛物线的求积 、 论球和圆柱 、 论螺 线 、 论劈锥曲面体与球体 、 圆之度 量 、 沙粒计 及 力的平衡 等 阿拉伯数学 花拉子米： 代数学 阿布 瓦法：三角学 （ 把所有三角线都定在同 一个圆中 ） 纳西尔丁 图西： 论四边形 中国古代数学的发展 汉唐时期 中国传统数学体系的形成 “ 算经十书 ” ： 周髀（ bi）算经 与勾股定理、 九章算术 与刘徽（割圆术）、 缀术 与 祖氏父子（圆周率、祖 暅 原理）、 海岛算 经 、 孙子算经 与孙子问题、 张邱建算 经 、 五曹算经 、 五经算术 、 夏侯 阳算经 、 缉古算 经 。 宋元时期 中国传统数学体系的兴盛 贾宪 黄帝九章算术细草 与帕斯卡三角 秦九韶 数书九章 与中国剩余定理 李冶 测圆海镜 、 益古演段 与天元术 朱世杰 算学启蒙 、 四元玉鉴 与四元术 沈括 梦溪笔谈 与隙积术 、 会圆术 、 棋局都 数等 明清时期 中国传统数学的衰落与复苏 吴敬积 九章算法类比大全 程大位 直指算法统宗 与珠算的普及 意大利传教士利玛窦翻译引入 几何原本 等 西方数学著作 梅文鼎 梅氏历算全书 王锡 圜解 第三阶段 变量数学时期 （高等数学时期） 变量数学建立的 第一个决定性步骤 是 1637年笛 卡尔的著作 “ 几何学 ” 的出现 ， 它奠定了解析几 何的基础 ， 同时使变量进入了数学 ， 使运动进入 了数学 。 数学转向研究变量了 。 变量数学建立的 第二个决定性步骤 是牛顿和莱 布尼兹在 17世纪后半叶建立了微积分 。 微积分的 发现在科学史上具有决定性的意义 。 这个时期 ， 还产生另外一些 重要的数学分支 ： 级数理论 、 微分方程 、 解析几何 、 高等代数和概 率论等 ， 这些内容是大学本科学习的主要内容 。 第四阶段 近代数学时期 这个时期始于 19世纪中叶 ， 止于 20世纪 40 年代 。 在这个时期里 ， 数学研究的对象被推广 ， 并引起概念本身的重大突破 。 几何 ：射影空间 、 欧氏空间 、 黎曼空间 、 拓扑空间 。 代数 ：群论 、 线性代数 分析 ：实变函数论 、 函数逼近论 ， 积分方 程论 ， 泛函分析 第五阶段 现代数学时期 这个时期以 20世纪 40年代电子计算机的发 明为标志而开始的 。 应用数学涌现出种类繁多 的新分支 ， 如对策论 、 运筹学 、 信息论 、 控制 论 、 最优化方法等；六十年代以后 ， 数学界的 思想异常活跃 ， 出现了多种新思潮 非标准 分析 、 模糊数学 、 突变理论等 。 3数学的特点 第一：数学的抽象性 一方面 ， 整数 、 几何图形及无理数 、 复数 、 函数 、 n维空间等概念都是抽象概念 它们保留了 量的关系和空间形式而舍弃了其他一切 另一方面 ， 数学研究几乎完全周旋于抽象概 念和它们的相互关系的圈子之中 ， 而不需要求助 于其它实践范畴的活动 也就是说 ， 不仅数学的概念是抽象的 、 思辨 的 ， 而且数学的方法也是抽象的 、 思辨的 第二：数学的严谨性 数学的严谨性表现在数学推理的逻辑严格 性和数学结论的确定无疑与无可争辩性 第三：数学应用的极其广泛性 著名数学家华罗庚教授曾指出：宇宙之大 ， 粒子之微 ， 火箭之速 ， 化工之巧 ， 地球之变 ， 生物之谜 ， 日用之繁 ， 数学无处不在 ， 凡是出 现 “ 量 ” 的地方就少不了用数学 ， 研究量的关 系 ， 量的变化 ， 量的变化关系 ， 量的关系的变 化等现象都少不了数学 4数学命题 概念与定义 ：揭露概念的内涵的过程就是给 这一概念加以定义 。 公理 ：定理证明一般要根据以前已证明过的 定理 ， 那么最原始的 ， 不加证明而接受的命 题称为公理 。 在数学中 ， 每门学科都有自己的公理体系 。 定理的结构 ： (1) 条件； (2) 结论 。 定理的形式 ： (1) 正定理； (2) 逆定理 ， (3) 否定理； (4) 逆否定理 。 定理的可逆性 ： (1)与 (4)互逆 ， (2)与 (3)互逆 。 充分条件与必要条件 ：通常我们用符号 表示充分且必要的条件 ， 必要条件 ， 充分条件 。 定 理 5数学证明方法 按推理程序的顺逆分： 综合法 （ 由已知命题推导出新的命题 ） 分析法 （ 由新命题推理到已知命题 ） 按论据的普遍性与特殊性分： 演绎法 （ 三段论形式 ） 数学归纳法等 按论证对象是原命题或等效命题分： 直接证法与间接证法 二关于微积分 有人认为 ， 只有诗人才需要幻想 ， 这是没有 理由的 ， 是愚蠢的偏见 ！ 甚至在数学上也是需要 幻想的 ， 甚至没有它就不可能发明微积分 。 列 宁 在一切理论成就中 ， 未必有什么象十七世纪 下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的胜利 了 ， 如果在某个地方我们有人类精神的纯粹和专 有的功绩 ， 那就正是在这里 。 恩格斯 1微积分的发展与特点 第一阶段：微积分的酝酿 古代中国 刘徽创立 “ 割圆术 ” 求圆周率 。 古代希腊 阿基米德利用德谟克利特的原子 论方法得到球面积 、 旋转曲面面积；利用欧多 克斯的穷竭法引入了积分求和法；找到了用几 何方式去讨论微分学基本问题的方法 。 第二阶段：微积分的诞生 微积分又叫 无穷小分析 ， 它的产生革 新了数学的概念 、 思想和方法 ， 是人类思 维的伟大成果 。 牛顿和莱布尼茨作为微积分的创始人 ， 主要完成的工作：澄清概念 、 提炼方法 、 改变形式 。 牛顿 （ 1642-1727），英国著名的物理学家和数 学家，被称为 “ 有史以来最伟大的科学家 ” ，他一生 为 近代自然科学奠定了 四个 重要的基础： 创建微积分 为近代数学奠定基础 ， 为自然科学开 辟了道路 ; 首先进行 光谱分析的实验 ， 为近代光学奠定了基 础； 发现 力学三大定律 ， 奠定了经典力学的基础； 他发现的 万有引力定律 ， 为近代天文学奠定了基 础 。 莱布尼茨 （ 1646-1716） ， 德国著名的哲学 家 、 数学家 ， 他一生涉及哲学 、 历史 、 语言 、 数 学 、 物理 、 地质 、 化学 、 生物 、 神学 、 法律等广 阔领域并做出重要贡献 。 在数学方面 ， 除了是微 积分的创始人外 ， 他还是数理逻辑的先驱者 ， 发 明了手工操作的计算器等 。 第三阶段：微积分的进一步发展 一方面 ， 微积分产生了许多新的分支 ， 如 变分法 、 级数理论 、 微分方程论 、 函数论等 ， 形成了广阔的分析领域； 另一方面 ， 对它的争论和研究 ， 使微积分 的思想和方法不断完善 、 基础也变得坚实牢固 。 2学习微积分的重要性 在经济学 （ 特别是微观经济学 ） 中 ， 需求 、 供给 、 价格之间存在一定的函数关系 ， 边际替代 率 、 边际收益要用导数描述 ， 极大利润则需要用 到函数极值的计算 ， ， 这里的 函数 、 导数 、 极值 等概念就是我们微积分的研究对象和主要内 容 ， 所以希望大家高度重视高等数学这门课的学 习 ， 为今后的专业学习打下扎实的基础 。 同时 ， 微积分也是每年经济类 、 管理类研 究生入学考试的必考内容 ， 在数学这一科目中占 到一半以上的比重 。 学好这门课 ， 大家会终身受益 。 3对同学们的希望和要求 明确学习目的 来到大学 ， 目的是 培养能力 ， 将来到社会上 立足谋生 ， 报答父母 ， 报效祖国；作为专业学习 目的 ， 则应把 培养自学钻研能力 放在首位 。 在学习过程中 ， 要始终注重概念 、 定理 、 法 则的学习 。 特别要深刻理解 基本概念 ， 学会掌握 或熟练掌握各部分的 基本方法 ， 注意各部分知识 结构及知识的 内在联系 。 掌握好的学习方法 要改变中学时期的被动学习的方式 ， 主动 学习 ， 培养自学能力 。 做到： 听课前预习教材 ； 认真听好课 ， 看与自己预习时理解的有哪 些差异；每一个知识点的论述 ， 每一道题的解 答步骤 ， 从上一步到下一步 ， 一定要经过自己 思考 ， 动脑动手后 ， 再到下一步； 课后 先温习老师所讲的内容 ， 再做作业 ；作 业要自觉做 ， 认真做 ， 独立完成； 注意复习 ， 一章一节学会自己小结； 在掌握好教材内容的前提下 ， 适当看参考书 。 很多同学学习过微积分 ， 因此特别强调微积 分 基础与运算的严密性 。 三 关于这门课的几点说明 上课 ：按时上课，不迟到早退，认真听讲， 详细做笔记； 作业 ：依进度完成练习册； 答疑 ：课间与习题课； 考试 ：统一命题，集中考试 预祝大家学习取得好成绩！