《倒数的乘法与除法》PPT课件.ppt

课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 1 理解导数的乘法与除法法则的推导 2 掌握导数的乘法与除法法则的应用 1 能利用导数的四则运算 ， 法则求简单函数的导数 2 常与导数的综合应用结合 (重点 、 难点 ) 4.2 导数的乘法与除法法则 【 课标要求 】 【 核心扫描 】 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 ； 叙述为：两个函数积的导数 ， 等于第一个函数的导数乘以 第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数 由上面的式子可以得到 叙述为：常数与函数积的导数 ， 等于常数乘以函数的导 数 自学导引 1 两个函数积的导数 f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) cf(x) cf(x) 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 叙述为：两个函数商的导数 ， 等于分子的导数与分母的 积 ， 减去分母的导数与分子的积 ， 再除以分母的平方 2 两个函数商的导数 f x g x f x g x f x g x g x 2 ( g ( x ) 0) ： 1. f x g x g x f x f x g x g 2 x 成立的条件是 什么？ f(x)， g(x)都有导数，且 g(x)0. 提示 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 2 f(x)g(x) f(x)g(x)对吗 ？ 不一定正确 当 f(x) 2， g(x) x2时 ， f(x)g(x) (2x2) 4x2(x2) f(x)g(x)， 而当 f(x) 2， g(x) 2时 ， f(x)g(x) (22) 4 0 2 2 f(x)g(x) 提示 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 名师点睛 对积和商的导数法则的正确理解 ( 1) 牢记公式的形式 f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) ， f x g x f x g x ，避免与 f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 混淆 ( 2) 若 c 为常数，则 c f ( x ) c f ( x ) ( 3) 类比 f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 记忆 f x g x f x g x f x g x g x 2 . 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 拓展： ( 1) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 的推广：此法则可推 广到任意有限个函数的和 ( 或差 ) 的求导 ( 2) af ( x ) bg ( x ) af ( x ) bg ( x ) ( 3) 当 f ( x ) 1 时有 1 g x g x g 2 x . 提醒： f x g x f x g x f x g x g x 2 f x g x f x g x g x 2 . 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 题型一 利用乘法和除法法则求导数 【例 1 】 求下列函数的导数： ( 1) y x 3 x 2 3 ； ( 2) y x s i n x 2 c o s x ； ( 3) y x 5 x 7 x 9 x ； ( 4) y x s i n x 2 c o s x 2 . 思路探索 观察式子特点 变式 化繁为简 四则运算 求导法则 求导数 . 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 解 ( 1) y x 3 x 2 3 x 3 x 2 3 x 2 3 2 x 2 6 x 3 x 2 3 2 . ( 2) y ( x s i n x ) 2 c o s x s i n x x c o s x 2s i n x c o s 2 x . ( 3) y x 5 x 7 x 9 x x 2 x 3 x 4 ， y ( x 2 x 3 x 4 ) 2 x 3 x 2 4 x 3 . ( 4) 先使用三角公式进行化简，得 y x s i n x 2 c os x 2 x 1 2 s i n x ， y x 1 2 s i n x ( x ) 1 2 ( s i n x ) 1 1 2 c os x . 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 解决函数的求导问题 ， 应先分析所给函数的结构 特点 ， 选择正确的公式和法则 ， 对较为复杂的求导运算 ， 一般 综合了和 、 差 、 积 、 商几种运算 ， 在求导之前应先将函数化 简 ， 然后求导 ， 以减少运算量 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 【训练 1 】 求下列函数的导数： ( 1 ) y a x s i n x ，其中 a 0 且 a 1 ； ( 2 ) y lg x x . 解 ( 1) y ( a x s i n x ) ( a x ) s i n x a x ( s i n x ) a x ln a s i n x a x c o s x a x ( s i n x l n a c o s x ) ( 2) y lg x x lg x x lg x x x 2 1 x ln 1 0 x lg x x 2 1 ln 1 0 lg x x 2 ln 1 0 . 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 题型二 导数运算法则的简单应用 【例 2 】 已知函数 y s i n x 1 c o s x ， x ( ， ) ，当 y 2 时， 求 x 的值 思路探索 求导数 y 令 y 2 解方程 得 x 的值 解 y ( s i n x 1 c o s x ) c o s x 1 c o s x s i n 2 x 1 c os x 2 c o s x 1 1 c os x 2 1 1 c o s x 2 ，所以 c o s x 1 2 . 又 x ( ， ) ，所以 x 2 3 或 x 2 3 . 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则可迅速解决一些简单的求导问题 要透彻理解函数求导法 则的结构特点 ， 准确记忆公式 ， 还要注意挖掘知识的内在联系 及其规律 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 解析 f(x) (xex 2x 1) ex xex 2， f(0) 3. 函数 f(x)在点 (0,1)处的切线方程为 y 1 3x， 即 y 3x 1. 答案 y 3x 1 【 训练 2】 曲线 y xex 2x 1在点 (0,1)处的切线方程为 _ 解析 答案 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 审题指导 以导数公式 、 运算法则为载体 ， 考查导数的几何 意义 ， 或与其他知识相交汇考查 ， 是近几年高考对本节知 识考查的热点 题型三 导数几何意义的应用 【 例 3】 (12分 )点 P是曲线 y ex上任意一点，求点 P到 直线 y x的最小距离 审题指导 【解题流程】 求 y e x 的导数 令导数等于 1 ，求出切点横坐标 点到直线距离求最值 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 规范解答 由已知设平行于直线 y x 的直线与曲线 y e x 相切 于点 ( x 0 ， y 0 ) ，该切点即为与直线 y x 距离最近的 点 (2 分 ) y e x ， y e x . (4 分 ) 又 在点 ( x 0 ， y 0 ) 处的切线斜率为 1 ， e x 0 1 ， x 0 0 ，代入 y e x ， (6 分 ) 可得： y 0 1 ， 切点为 ( 0,1) ， (8 分 ) 用点到直线的距离公式得 d |0 1| 1 2 1 2 2 2 . ( 10 分 ) 故点 P 到直线 y x 的最小距离为 2 2 . ( 12 分 ) 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 【 题后反思 】 利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算 法则 ， 结合导数的几何意义可以解决一些与距离 、 面积相关的 几何最值问题 ， 解题的关键是正确确定所求的切线的位置 ， 进 而求出切点坐标 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 【训练 3 】 已知函数 f ( x ) ax 6 x 2 b 的图像在点 M ( 1 ， f ( 1) ) 处的切线方程为 x 2 y 5 0. 求函数 y f ( x ) 的解析式 解 由函数 f ( x ) 的图像在点 M ( 1 ， f ( 1) ) 处的切线方程为 x 2 y 5 0 ，知 1 2 f ( 1) 5 0 ， 即 f ( 1) 2 ， 由切点为 M 点得 f ( 1) 1 2 . f ( x ) a x 2 b 2 x ax 6 x 2 b 2 ， 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 a 6 1 b 2 ， a 1 b 2 a 6 1 b 2 1 2 ， 即 a 2 b 4 ， a 1 b 2 a 6 1 b 2 1 2 ， 解得 a 2 ， b 3 或 a 6 ， b 1( 由 b 1 0 ，故 b 1 舍去 ) 所以所求的函数解析式为 f ( x ) 2 x 6 x 2 3 . 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 误区警示 变量与常量混淆 【示例】 求函数 f ( x ) x x 2 3 x c os t 的导数 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 在对函数求导时 ， 首先应该认准函数的自变 量 ， 在此题中 ， y是关于 x的函数 ， 而 cos t是常数 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 要想记准公式首先应该对公式加以比较和区别 ， 其次在求导之前看看能否先对函数进行适当的化简 ， 最后是找 准函数的自变量 准确地记忆函数的求导公式及导数运算法 则 ， 是我们学好导数这一章节的首要任务 . 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 单击此处进入 活页规范训练