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第2课时 对数的运算,【自主预习】 主题1：对数的运算性质 1.设loga2=m，loga3=n.如何求am+n？ 提示：因为loga2=m，loga3=n，所以am=2，an=3， 故am+n=aman=23=6.,2.上题中条件若换为logaM=m，logaN=n，如何求am+n呢？ 提示：因为logaM=m，logaN=n， 所以am=M，an=N，故am+n=aman=MN.,3.在问题2的基础上，怎么用m，n表示loga(MN)， 还能得到什么结论？ 文字语言描述：_ _. 符号语言描述：_.,两正数积的对数等于每个正数对数,的和,loga(MN)=m+n, 运算性质： 如果a0，且a1，M0，N0，那么： (1)_. (2)_. (3)_.,loga(MN)=logaM+logaN,logaMn=nlogaM,主题2:换底公式 1.假设 =x,则log25=xlog23，即log25=log23x， 从而有3x=5，将其化为对数式，进一步可得到什么 结论？ 提示：由3x=5知x=log35,即log35=,2.同样由 你能证明等式 吗？ 提示：由 知log65=xlog63,即log65=log63x, 从而有5=3x,所以x=log35,即log35=,3.若将问题1，2中的底数2与6换为c(c0且c1). =log35还成立吗？ 提示：成立，证明如下： 设 =x，则logc5=xlogc3，即logc5=logc3x， 从而有5=3x，即x=log35，所以log35= (c0且 c1).,根据以上探究过程，试着写出对数的换底公式： _.,【深度思考】 结合教材P65例4，你认为应怎样利用对数的运算性质 计算对数式的值？ 第一步：_ _. 第二步：_.,将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性,质转化,利用对数的性质化简、求值,【预习小测】 1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A.logaxlogay=loga(x+y) B.(logax)n=nlogax C. D.,【解析】选C.因为 所以C正确，而A，B，D均不符合对数的运算性质.,2.计算log2781=( ) 【解析】选A.log2781=,3.计算log42+log48=() A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.log42+log48=log416=2.,4.设a1且a0，loga(xy)= loga(ax)=3，则 logay=_. 【解析】 =loga(xy)-loga(ax)= 即 即logay-1= 则logay= 答案：,【备选训练】计算(lg5)2+lg2lg5+lg2. 【解析】原式=lg5(lg5+lg2)+lg2 =lg5+lg2 =lg10=1.,5.计算log535- +log57-log51.8.(仿照教材P65 例4的解析过程) 【解析】原式=log5(57)-2(log57-log53)+log57- =log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2.,【互动探究】 1.运算性质中底数a能等于零或小于零吗，真数M，N呢？ 提示：由对数的定义知底数a0且a1，故a不能小于或等于0，M，N均为正数.,2.对数的运算性质(1)loga(MN)=logaM+logaN能否 推广为loga(a1a2an)=logaa1+logaa2+ +logaan(a0且a1，an0，nN*).,提示：能.loga(a1a2an-1)an =loga(a1a2an-1)+logaan= loga(a1a2an-2)+logaan-1+logaan =logaa1+logaa2+logaan.,3.换底公式中底数c是特定数还是任意数？ 提示：是大于0，且不等于1的任意数. 4.换底公式有哪些作用？ 提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于应用对数的运算性质进行化简、求值.,【探究总结】 知识归纳：,方法总结：(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、 乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度. (2)利用结论logablogba=1，lobm= 化简求 值更方便.,【题型探究】 类型一:对数运算性质的应用 【典例1】(2016苏州高一检测)计算下列各式的值. (1)log2.56.25+ +log2(log216). (2)lg52+lg2lg50+(lg2)2.,【解题指南】利用对数的运算性质将同底数的对数的和、差、倍合并，直至计算出原式的值，在化简计算的过程中，注意利用结论lg2+lg5=1.,【解析】(1)原式=log2.52.52+lg 10-2+,(2)原式=2lg5+lg2lg(510)+(lg2)2 =2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2)=2(lg5+lg2)=2.,【规律总结】对数的运算性质在解题中的两种应用 提醒：对数的运算性质主要用于化简与求值，它只适用于同底的对数的化简.,【巩固训练】(2016长春高一检测)已知x，y，z都是大于1的正数，m0，m1，且logmx=24，logmy=40，logm(xyz)=80，则logmz的值为(),【解析】选B.由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+ logmz=80， 而logmx=24，logmy=40，故logmz=80-24-40=16.,【巩固训练】化简：(1)4lg 2+3lg 5- (2)(2016邢台高一检测)2log32-,【解析】(1)4lg 2+3lg 5-lg15= =lg 104=4. (2)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =5log32-(5log32-2log33)-3=-1.,类型二：换底公式及应用 【典例2】(2016兰州高一检测)已知log37=a，2b=3，试用a，b表示log1456. 【解题指南】解答本题可先用换底公式将log1456化为以3为底的对数，然后结合已知条件及对数的运算性质即可表示出log1456.,【解析】因为2b=3,所以b=log23,即log32=,【延伸探究】 1.(改变问法)本例条件不变，试用a,b表示log2898. 【解析】,2.(变换条件)若把本例中条件“2b=3”换为3b=2，其他条件不变，则结论又如何呢？ 【解析】因为3b=2，所以b=log32，又因为a=log37， 所以log1456=,【规律总结】换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.,(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.,【巩固训练】已知log147=a，log145=b，用a，b表 示log3528.,【解析】,类型三:对数的综合应用 【典例3】在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速 度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除 燃料外)的质量m(单位：kg)满足 (e为自 然对数的底).,(1)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s). (2)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s.(结果精确到个位，数据：e2.718；e454.598，ln31.099),【解题指南】解答本题的关键是利用最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m满足的关系式求解.,【解析】(1)因为 所以v=2 000ln 32 0001.099=2 198(m/s). 答：当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.,(2)因为 所以 答：当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的54倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s.,【规律总结】解决对数应用题的四个步骤 (1)审题：理解题意，弄清关键字词及字母表示的含义. (2)建模：根据已知条件，列出关系式. (3)解模：运用数学知识，解决此问题. (4)结论：还原实际问题，归纳得结论.,【巩固训练】一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的一半(结果保留1个有效数字). 【解题指南】由题目可知经过一年剩余的质量约是原来的84%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算.,【解析】设最初的质量是1.经过x年，剩余量是y，则经过1年，剩余量是y=0.84； 经过2年，剩余量是y=0.842； 经过x年，剩余量是y=0.84x.,依题意得0.84x=0.5，用科学计算器计算： x=log0.840.5= 3.984， 即约经过4年，该物质的剩余量是原来的一半.,
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