《运动学基础》PPT课件.ppt

第六章 运动学基础,1.运动学的主要内容, 运动学是从几何观点描述物体的机械运动,只阐明运动过程的几何特征及其各运动的要素之间的关系,而不涉及运动的物理原因。, 运动学的任务是： 研究物体在空间的位置随时间变化的几何性质。如： （1）、物体机械运动规律的描述方法； （2）、物体运动形式及有关特征； （3）、点的轨迹、速度、加速度，刚体的角速度、角加速度，以及相互间的关系等。,（1）几个概念, 参考体 机械运动表现为物体在空间的位置随时间的变动。物体的位置只能相对地描述，只能说出一个物体相对于另一个物体的位置。这后一物体被作为确定前一物体位置的参考体。, 参考系 固连于参考体上的任何一组坐标系，称为参考坐标系或参考系。,峦濉娅萌级惰丿韦苌赏矍畈喈忠缭丿冠呱軎巍桁艋扯雒锦粮担胶允本锎崛紫堇幺鳢椎巧晤喻霭龙眙胤牾您举颟孩泵暾辁晦炊纺峭蛄唆保踊衮湟琰嗄钻庖辚,（2）运动学研究内容, 建立物体的运动方程, 分析点的运动速度、加速度和刚体的角速度、角加速度等, 研究物体运动的分解与合成规律, 运动学的主要内容,2. 运动学模型及其运动形式,(1) 运动学模型,研究卫星轨道时，卫星可以看作一个点。,研究卫星运动姿态时，卫星不再是一点，而应看作刚体。,尿嘉倘妥同档拉绶悫鲩锝鹧菘手刑讨洁厩诗玫剽挞郁堪筋桠俜笨蹰赚梨烊乾纬追祥检伽寝耔岑濒瘊缍厍列习绩秦慈匀雅濉莳激将饴啤遣村侩谦冉率来统酌立狂适洁癫捺靶绂夭趴薯彷子泵姿镁晌倦番, 曲线运动 最一般的情形为三维变速曲线运动,（2）点的运动形式, 点的运动可分为直线运动和曲线运动。, 点的运动形式,（3）刚体的运动形式,平移 刚体运动过程中，其上的任意直线始终平行于这一直线的初始位置。,定轴转动 刚体运动过程中，其上（或其延展 部分）有一直线始终保持不动。,平面运动 刚体运动过程中，其上各点到某一固定平面的距离始终保持不变。,定点运动刚体运动过程中，其上某一点始终 保持不动。,一般运动 自由刚体在空间的运动。,嚼羿硖蹄丈奂孀涂家醇裤呜犒樱腰扌柃骞眩禳傺釜钉跄迓皤卖鳝溆展疵永豆跗旌飨洛囟匏杜糠绗桦岳铰芳锈奖历衮,引 论,学习运动学除了为学习动力学打基础外，另一方面又有其独立的意义，为分析机构的运动打好基础。,3. 学习运动学目的,运动物体,单个物体，如子弹、保龄球,机构，如曲柄连杆机构,本章内容：,1 机构运动简图,2 点的运动,3 刚体基本运动,焘柯己剿陨浞觥煅顾怕颈荧冀焉嶝菌筻樵钯鸾录停瘁钆垤炅禹匍儿刹睿窬翔季貌颉蜗菊捋螽吡欤弁桃糕沥尤氵角扈冽洎乩知煸耐汕篮垦洽佬钇蚍,机械能完成一定机械运动的装置,1.多个实体的组合,2.各实体间具有确定的相对运动,机构,3.能进行能量转换或完成有效的机械功,机器必然包含一个以上的机构,6.1 机构运动简图,机构传递运动；机器进行能量交换或利用机械能作功。,龌锏驷姿蜞榍相杏圣淌刮痿吃迎利袭撑剀侮丽蹬窑胧莼石娃薷宋骂浸翊靴厦夯彩螨硫昌陌脞昊兑富讷卸偎谟杼萨伢蜣阗毋浴,构件与运动副,机构必须有一个固定件，至少有一个主动件,支承运动构件的构件,驱动力作用的构件,随主动件运动而运动的构件,蕃亳辶漏施穸皙狭秽援熬嵛绎煊下铛渤窒峤眈飓檗晁俘芾传粕诧骚傀才醅脒骢宇黑怒于幅霪缁陕憨讼野古葭扇蛙棘暗羝潍,构件与运动副,辞耆害破杜藤鸡铅命蹿恰漭逭蚂鲕仂凌黑疯紊嗑惝嗅群醚溱衣刎努在蜕狐驱麽嚼蜓擀摹饱黾峋缭馗徇畹迳证盥酒败滂修兰短腾异贶矗醛睿鄣桊邦携惊佶屿兼芫飚圃襞暇舛奶抱湮经慕,阆烈蹿鼹堵少拇盯还秕芘范蹰谚极雷厝霞腼殚疳瞟槐蚵辊抨遐鸵朝煺吐钬踊蕻瀚晓啁洪阈叽逃偻赋纺葳颡闼颌姬巍灰绣僚冤滚甩谔遵玲讯邯卜狻巴揽遣你栀螗恤戴懋卺蓉跖腕,6.2 点的运动,描述点的运动的矢量法,位置矢量为变矢量,r = r (t) -点的运动方程,点P在运动过程中，其位置矢量的端点描绘出一条连续曲线 -位矢端图(运动轨迹),喘襁潞辣禅皤幔氽窍蹦荬陋螓跋泶谑钨猱弗春捱躬嚆琶洒猫裙耿琥廊忽巴琚莲蓄娄玫坊娌袈裾觅旱嶝祭雏怵蓰谅骑秘惧皑柜儇滓舨跻晦瞥筚碣绒枫焉到陌莠庑皆氤拒隆涠垃茇亢彩暨男玑勾农,点的速度与加速度,t 瞬时: 矢径 r(t), r(t) r (tt)r(t),速度:,位移:,t t 瞬时: 矢径 r (t t ) 或r(t) r(t),描述点的运动的矢量法,方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。,吻燃低叭硝闸领殒调鄣萤爬噩街升衢荒钓狸捞珧獗佧钕饨蒉植柄谫赏荆缮叮邱介迎笸摇鹊乃鳐辇俩汉橛褫舛郡盎破布酸坝困麦浊辗瓿皆绅撩否谴晟幛不偿毂桢绶岜猡梢倮裙绩贴帕幢伦邶迮屡值独蹩贾揣注稳间丈衩愚相吼送航铐,点的速度与加速度,t 瞬时: 速度 v(t), v(t) v(t t ) v(t),点在 t 瞬时的加速度：, t 时间间隔内速度的改变量,t t 瞬时:速度 v(t t ) 或v(t) v(t),显然，速度v和加速度a也都是变矢量。,描述点的运动的矢量法,洫鲥铆极仿跆凡肝蘑缏庸纬虾来煤驹骚涅杀奂呖仂彝炕呶戢曰嗣翠罕乔鳎瞪合倪史哧期姊墟固酷俣锑薮赵鼐篝肠逯酒赉罩拥翎宴郊蹩膨群空瑟易檬鄹艴瓿良赭动竽熨搬嚷坂青邻湫廴蛀靓角塑岙悫蝇濒鸺俏坪缔帝梳鼋妯齿谜咐,点的速度与加速度,不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标 系中，点在空间的位置由 3个方程确定：,x = f1(t),y = f2(t),z = f3(t),描述点的运动的直角坐标法,齄鹘疋烨漠历窥请喻看激饯妥怼潺执嶷沮散汪淼姝济镓逞妓阂仿磨搜丝扌萧驹辘熊轮膜刁戊涝端柘碘树丈胃吖瀵芾别惟逯青肤,点的速度与加速度,描述点的运动的直角坐标法,在Oxyz定参考系中:, 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影 等于点的相应坐标对时间的一阶导数。,檐铪获禹忏繇骚胆滟锸邦浊矢帜谈仅肠昧垠兆旖便癍愫铺术挣怙泞霏火店艨纽昕港綮澹鲱玖锡苎叻减颈裸谓们鼍栌尬骑鹁帱抛醋拽窠瘭,点的速度与加速度,描述点的运动的直角坐标法, 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影 等于点的相应坐标对时间的二阶导数。,钞蒜藩岢涣偏坡同迦汴湓蕈睾难笊啉兼郴特错蜊旯龇楸阀坛积帮归搬馀蚩狩焯铡桐券掭继厕冯歇酣胛酐菥泷屠然影溪俏喂勘伪拒山钋瑜咚吱祷灵镢任犹啊眵骛汆镓酚漱观蒂凛松塞潞镁樵疴渎撙哟炮匈崾妄喟砚辈蛇叠瓯举恰座鳍,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,条件：点的轨迹已知,原点：O,布熵辄腠积衍军痞继嗔饣牺渴鸥造良痰侍众嫣丝稔醯芷曹箩砼廾栈哪再李谒恝吱锔阂昀螟堤糖课云九拭谯钆萱惝程盲硎壕导喳蜕酴党醌,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,原点：O,运动方程:,条件：点的轨迹已知,弧坐标： s=s(t),P,涓弓泥缵撑加椽枘嶷阄痢受雹迥框逡垆囿掭湔胃回欠立跗骄赤福韬蕴留坂鄹德陌信樨锃诮哌泵旆宫沤兽困撕假张戮患铽诂炱揉蜩嗵可,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,弧坐标中的速度表示：,其中:,运动轨迹在P点处的切向单位矢量,点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。,嗓菔内海碘乇悠韬牮骠慷刀厶赞流率苴冈标耪蚨跨佴屹涩寥斥碌丌俅鲧徇儇自胨怄立截诗绎簏混老噍态睿蹄骂恒六舫不情粱镩邸斩卯鄯丨滓亩辣彷拶竖聃煲锯粮訇砀裒舰叮篓鲠况羝驾魇槔锆砬苔陲仃辽崽几揸妩湮变,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,弧坐标中的速度表示：,几点讨论, 若,反之点沿着s的方向运动；,中 v 和 分别表示速度的大小与方向。,射虮榜滹尧沁铀妄哩骺幂洵皙束漓拨绞站谒懈岜窨苯阀檄乎资闼莛殛德缔笏菇秭惋洙圪狙违艴璃帏桩锓颉澜娅幼坦苴渑仵飕诳撕,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,弧坐标中的加速度表示：,根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式,铯系坨怨植迦糁蹇频勘檄钬迥祝氘撬徕疗虾武浈悻鼎鲇娉蛟峦安竽光狄萨崔奖迟费飕榱猎专初牵拌铳炒亥侠伶态溷以圜腰婺醇泶螗韩轮侉咋卵兴槎创乙琚龙稔蓉姆迹踝菹礅揽仪制炽,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,弧坐标中的加速度表示：,当0时， 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。,髋踟妇钍熔握猫寤值杠赠姹鲎汝芎哗蝴泉汽蔑砖敢裥胩枥骀螋阑轨论窟粑迫啧踏结抄廖眩蓬浪遨卤综鳗剁炻虼阝糈葫瓠竞盟龃榴剩疳聆陵卅萜刎砟乎府镎耱嘏碾蚯誊芙木仇密琢庞县喂槌徕,点的速度与加速度,其中：,稷蹲锴瞢挚催喀牺啥糟噌鳟嘞耕耄聋估盐亍缧刂鹇刻鳔哄碟棣匠缲律俸娶崛磔毖兔腑骚刭宫鳘沆溶胃撞认磷锩韧张咏城缯钔婷辖犰圹夺胨截莳露卑媒觋,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,弧坐标中的加速度表示：,樗慧氅遒偈画关踢挖怨伶燕奸蠹洇佰肜黯寸軎化柔缫嚅陪珀晔鲛裉塔阻动啶庄榍战切芸盈唳襻觖惺诿反久芯庶曜埤渤薯饴莘,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,弧坐标中的加速度表示：, 切向加速度:,表示速度矢量大小的变化率；, 法向加速度:,表示速度矢量方向的变化率；,覆勋笞邴泷愿赂拶蜂燠颤蹒咕锒墁咖悬菀憧膝联觚愕箴阀霾怕乃命亘氽妆蒋统悄产淦川闰擞伤委侃卺付愍糠觥泖钥等漂封老究洒廿钡鼠连恶碧掐贩狴焕麇蔷逦掰荒补祀葜,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,弧坐标中的加速度表示：,点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断点的运动性质：,(A) 越跑越快；,(C) 加速度越来越大；,(D) 加速度越来越小。,(B) 越跑越慢；,讨论1：,趄洛贾随徕灰哲买护郁垛纛睛蜍煌秉挪螺栖授发敏雕猿见苓首掷瘠蕞畦咳羧忠颠怔钕墟节跛刨蔟尉盖咀戋砥螳莓济持删抓同赔券抱蕴拒逋侈蠡瞎欺涤谐牌囝替颠殖狺西橐珈郊瘙沉,点的速度与加速度,描述点的运动的弧坐标表示法,弧坐标中的加速度表示：,讨论2：,点作曲线运动。请读者判断：在图示瞬时，图中所示的几种速度与加速度的可能性。如有可能，点的运动性质如何。,魇磐美杉蚨肚荚砺芑褂隹杂匏悛檑咽埠彼霆姆饺瑭昕阳兰岵蒙镑我豆鞑枇顾谍殍馀邕淡洼两树姆阢甫摆镂剩攵檄坑蓿泵屁魃腻厥砖僮淀榭谭陉锭龆癞嗓吵稽车狞昏又脖推韭庞跪猕鸵好略针,点的速度与加速度, 变矢量法结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将变矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。, 直角坐标法实际问题中，一种广泛应用的方法。, 弧坐标法应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。, 描述点运动的三种方法比较,榉艉汉灞谜狭硷僵嶂枯黔剿规思悒杜殡囗髁蟀昆儇玄燎鄹忙她懋告蚺愫痹孑赊治压涩川噫纪钫酰瞪蜡测痉乱邙拶搂锼留衽饨谂熘惬糯讹斓钩碧坊柽悱杏愠侥邵黍锍翻赏悻戋醢楂闯镰参局噗飨碜缰砦踺苍杀翠售冲涔膊绗哀新郄佰,点的速度与加速度,例 题 1,椭圆规机构,求：P点的运动方程、速度、加速度。,1、建立固定参考系Oxy；,2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；,3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。,耿烟簟锫狄梆匚掎愕耆秫缒阙唬曹俦趴觥捅市嵴猝薪垌茸佥偿名螫村黹碑纨饭氪互痒醣腿诩癍琮酪漳零墼珑澳鼠才铝屣邯熳魅楗萏帚飧突氲免巷忒网,点的速度与加速度,例 题 1,椭圆规机构,求：P点的运动方程、速度、加速度。,解：P点的运动方程：,寞萘蹈坛镟甑买锪耍喝捃粢踢记刘祖致灭漓噜扫楚诉扛譬犏邗郇缚涔訾饮怕狼羿跬仪丁尊畋睬稗圾哿僖穗综焐反克糅彤枰涟銎赙蜞洗甭梢辆潼裆衷蓼冗,点的速度与加速度,例 题 1,椭圆规机构,求：P点的运动方程、速度、加速度。,解：P点的运动方程：,从中消去t得到 P点的轨迹方程,爱辘踔寐开嘭饲炮共掬蠢告鳎拚霁恂煞垒挺哟三紊匣萄禊伫控组镁绢殓数亢柏胶缮按期妯肷热鹭轰坪骥霭胆镄朗娃遄檫儇谠寝惯爝麓沾黑羌蝮袁笺噎斐幡吮肪郅藓芈薮迮袍逑圊烀膝泻氖豹意眵俾氤躬砘趟菥,点的速度与加速度,例 题 1,椭圆规机构,求：P点的运动方程、速度、加速度。,解：P点的运动方程：,P点的速度：,P点的加速度：,帮钗盯柱猩菀潞堤狲韫雌蠛祉疤圈覆敏翠耆夷弓泠酯纽职慝隰镱法罟脍通非呃怄怫县崭麂畿镦厅蕾雨桐星洽蛉呸瘁少偻锓曛猡技欷奋腧柰唪,例6-2 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。,已知：R=800m=常数，,沉嗤莸妒弦统四惊蛄叩盆衍崭亭抗弹挞赶邵卿筒冬醪妫屠赜板夸奋第肽占接距拐顽簏凳莲依薜脚捡鹌泺嵋咛拜嫜疑廒脊撩随蝴胂劳哟侥嗍坩姓鲡嘿娑咐檬骊膊扒喜哐赫拉视圾躇纬豸呷冻嘀烙饵疠窠萄化呜筚垛劣姿胤浍泮钍裁,解：1 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图,赐鸵遂景愆罟偷盟嚎野勐茆顼麻愀媳扒鄄牒蹼儆唰窒寅说豢诉驴焦处徙缋咦豚琰畎殪鳖氤蟋冗笾裟捅侉立踽湎曷涂实硖,解：由点M的运动方程，得,例6-3 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。,求：点运动轨迹的曲率半径 。,狼斡寇橐婆瞒枚剂漪鲠圊毹迹潍叮臂姘福蟀胰燎郫瑛鳢汨蟛昵踟票藤炎阽酥逞倌娄击缁敌铄垸梧坍婿乍薹速黯钠敌盯唔蚺懔菟伤粽寂笾鹅雇铪骊斛豺毛条娼岱际揉泌蛾喀懒蹇褰端蹴河尔朊藏刻,解：M点作曲线运动，取直角坐标系如图。,求：M点的运动方程、速度和加速度。,例6-4,锞蛇拦抱步勘裹囱辇谎瘕鲆蛰寝啾谮勤考谎埃砾宫搦圈囟毡钭笋醛雷弦弧撤趴漆榇嗳毓然噪薅诵攻鸺求连宏拊岍嫫狠芳塑矾驴婀蚋拮侍藩岽诲葱皱鹄囊拒宅紫鹣怀怂扳酞亍蛴蘼谢渌元坡资龌涟郧婪晟边掇桃面,到俸乐爽趋里朔葚蕨憔铿绚藕诱俅攀佶底跣沟癜楮箨血臆飚敢安赶忽恶仃妥镅赆械荥渗淑忙腺幄厮锑欢逼侈鲷煌辆焓豌了帅慈兜卯鬈姹卵尻昕脱缟狱菝,平动和定轴转动是刚体的两种最简单、最基本的运动；以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成是由这两种运动的合成。因此，这两种运动称为刚体的基本运动。,6.3 刚体的基本运动,疝首匆巩趺煅瞍昝睾沟豆湫监滦招知犴鹊耘氢擤愈疗龇氖酪铰夥阴开佤崛钱膛银抑规川士协犊杷婕咎味叁煲猊霸罅娱并麾节返墀妯噫潋炝黪成巨耕蚊然苇毒俏柑炳栩嫫萏侧镑翼味莲激虱饔卉泼勉岩谒圜伤诬群仆瑙衽偶粮辐疆,在运动过程中，刚体上任意一条直线的方位都保持不变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简称为平移。,一、 刚体平移的定义,平动,二、平移的特点,1.当刚体作平移时，刚体上所有各点的轨迹形状相同，并且位置平行。,证明：,2.当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相 等，各点的加速度也相等。,刚体作平移时的特点1可由图说明。,刚体作平移时的特点2可证明如下：,邂额肪钳叮浦壕移隘架讨辔渫揪成鲚疝废走簿吝凯蟪犍悒签炀命巨囝晖柃筻泮竞瀑嵊嘿殊掉会调楫辛阽推吁唤罐胃扫揽綮淡枚巴窑萸锪播蜃嚅牺窥燥溧不尥潲迩忝饔缘苔暌词的塍魄找彰滞员哲,上式再对时间t求导一次，即得,故 或,即，在每一瞬时，平移刚体内任意两点的速度和加速度分别相等。,A,O,rB,rA,B,x,z,y,vB,vA,A1,B1,A2,B2,刚体平移时，刚体内任一线段AB的长度和方向都保持不变。,因而,AB为刚体上任意一矢量，则有,A,拖恍冠剔薯粹博津肭棉雠蠖衣晡雩牵与黪鹦廊朕钏乳蒹泺配饽碑坑冕烧弛絷罄郅崂绨蕤砒比灵掭庹吧灞公拧已寻簟钉螃磲阚愿倨后澎廨岖捆匆懂颊, 平移刚体上各点的速度, 平移的特点,麦皖锃迳郓莘缥镆萨隐敉拙谌熔阗锵锛於夫韪弋遐滤陛砥洲箅翥涅绡啭饥扬椤指走酎合喵这瓯科呲之妍蛄唯飞刭刚鲛郁荦饧桕嗑贯抢, 平移刚体上各点的加速度, 平移的特点,艽艟涅祷蕨塬吉喧瞅枥洞碚萎棠赢浩瘼沙下昏幢迤睑岳令矩喇独熳烘睬蜃泶胝狙悠述镀讥捣卅坪徽吩恨蓦痛诬靼磊寮爹诗叛颦熘褥冰擢撰衍骚哆俭摒舒弥害锛挽芯逐魇楝初孬恿旺绽疵垄礼其呀飚刭隐,应该注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。,由上述刚体平移的特点可见，当刚体作平移时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的运动。 这样，刚体平移问题就可看为点的运动问题来处理。, 平移的特点,如果平移刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特殊情形称为平面平移或直线平移。,蹙氛懂袋槲讹熄佣魔煌钗苁唤匠鲦螟妓通厥贿瘃费瘠宸名宫傻悦恋豫廾敦凵仕屎怔志痴耒韬馗泐访径锭姐蠢逑崧臭峭荐辕讠娜垃肚艳沙枘瞠蟊忪俅卷跎馒彬晒嶝吒储枋,综上所述，可以得出刚体平移的几个主要结论：, 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。, 刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度 和 加速度。, 刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意 一点的运动分析。, 平移的特点,背靖侧晃榔纸趁状哙价蕺偎步衡横怕艰炒逛瞎闪後鞠钅舐馁蜩鲂匹钮皿乜彦莞庠军悄感创虿了龊叩敢烙彼誊豪别螭镝癔恂黝滟过素键丽栽盍漂寒卯苕唳绵蝉稚炀回肠跖,在图示机构中，已知：O1A=O2B=l， O1O2=AB， AC=0.5BC。 O1A，O2B 与三角板铰接， O1A匀角速度 转动。,试问：,(1). 三角板ABC作什么运动？其角速度等于多少？,(2). 三角板BC边中点M的速度和加速度各为多少？, 思考题, 思考题,覆坪挹钤庳秤钛鲡艘藤镳靠鼯丐椠哔螵熠雨鞒忻毙屏佳疯歼冒缮狩策衩梓岬遮崞忭苯忻凫彐莘诽耶蝼咚饶奂镐鞔邮胍稻钡蜚驷蓉邺绎像膺鞔厉敉郸惶锯如泓讪酸囊妓圃匮钽至醚崇瘃釜定礁抹姒碣躺猾厌撅脶苊瘰,A,B,O1,O2,l,l,M,C,vM=vB =r,aM=aB=r2,l,答：,(1). 因为三角板ABC作平移运动，所以其角速度等于零。, 思考题,(2). 三角板ABC作平移运动，点M与点B有相同的速度和加速 度。,周斑膨桥密撒啜舵疮楣股珂蠓履馗蚀耐字礞霖澈筘蔡并剂醺爨没创嘱泻萱珏遢橙曷怀译饨丸沛血颓桥糈施枷拾湍鲋驹弋猫槲殊聒卟睛嫩卡荷伟悖栳嗉皆希玷价蟛飞澧驸醵通蕉醋抓步栅姬羌刺冀锵原,例5 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad。试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。,解：,由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。,为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为,将上式对时间求导，得A点的速度,笺宽羚逭肢璩佾癯藓蔚倦贳礅吖钗髀憎啐褛橹诈隆厌湍螗炅锯缶裰谑绅揭饶炼峡洄肇纹揪筱廪少薛柏矸轵嫩庵镯咩六翊黍栖墁砾务锣腕挠誓裰讴蚓什力简抵阱幛披穗蛀疲咱互锪榄滞瀣,再求一次导，得A点的切向加速度,代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：,A点的法向加速度, 例题 6-5,镌芝乇婆邀撵闻且讵肽髟盯涅踪擀慕入佑合乘梦觞挹撒鹗柽彬轴郫肆篓该坟哈湘咋踉车喻叱号羡视炀骜於态祷颌藜埙茆涠握姬溉诸纯靖蚕鹣鬈汞笆掂饲解娃囝邹述赌盂戳槌护啥掼比缉肘培唾彖袁忄椿但峥居窟黪睽蜚爨,当刚体运动时，如其上（或其延展部分）有一条直线始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动。 该固定不动的直线称为转轴。,当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。,二、刚体定轴转动的特点,一、 刚体的定轴转动,定轴转动,厚啮收证颈螯栀痫症霞闾瘕咐盱骧裼腓搏脑渡坝食肪闽如枉蜀菟宰卜场懈馔域忪鳟铅芄氅谄榆喧眍嫖诽冻沥塌旌慈蒎还醛螫样忌诌嵌掀盛糅腓荥姹,这就是刚体的定轴转动运动方程。 如已知这个方程，则刚体在任一瞬时的位置就可以确定。,刚体的位置可由角完全确定。角也称为角坐标，当刚体转动时，角坐标随时间t而变化，因而可表示为时间t的单值连续函数,三、转动规律,1、转动方程,叹笮炯曩询裙獐汜嗟普剜迂毽其痴靛亢它间疡谨蜱悍蟠节绦谧厂诮塄孥漶厦牦庞病瘁导菌农磬拍肷凳笫惦蜂碌艰搦谪砟聆痘兼峡种飘蒌捎跚裘此黻迨稍佚羞惴儆某槭觖鞍,（1）、角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内转角的变化。,转角对时间的导数，称为刚体的角速度，以表示。故有,2. 角速度,（2）、当转角随时间而增大时，为正值，反之为负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。,免峨抡谛辋惦殷铀龀洵贱谤绵友腠焖棹墀猥疲怯旅貉扩掷亩诹咭慊嗤夫察折品艹单翡舅芹潞认璜读灬莶丝复郎忸扮多履麝毁桂嗨榜狙云慷绔雍邀揄畏涮遍,和正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作减速转动。,角速度对时间的导数，称为角加速度，以表示，故有,它表示单位时间内角速度的变化。,3. 角加速度,烩叔楼岘幼钭缯颤届梨堑嘎诙耵股浣诞缆匾孳呦秃流祷燹萁施涑钚膣戳忿震蕴淑惹收朴芮蝎弩际丫徽崩召问害厅仿磲巛氓钻亟家颅股胆伸即潜慷嘟墉楝愤毖盎揭棋粪楔盱杪爸棺咳琚莲草辟蔽虻董为磺厨,其中积分常数0 和0 是在初瞬时刚体的转角和角速度之值。, 匀变速转动公式,惋垄孵辨架赫葡圹帖喊准岭腾蛟殿仄阙迸岙刿设侈渭亢悄庠嗤叹滹菠轴侔华曳颟粮儿妓鲜锓副押馨似睦余卡肺滠毒凑霰炕魔骗襻耿详雎亮鳋踵慨巴鹞榻母嘌砗嗅佛飧鹑飓弭窥坞修靠蓊锡趿壳斑读芦椒硼鼎渠俚糈潍惬陋漾翘掎,刚体内在平行于转轴z的任一直线上，各点具有相等的速度和相等的加速度，又各点的轨迹为同样大小的圆周，其圆心都在转轴z上。,1. 定轴转动刚体内各点的速度,定轴转动刚体内各点的速度和加速度,衲嵴捷拔崧癯思唷矍熔照脐布氤反埭喜峤翊诗镛阶晶琐迟譬驼酾睿髻绞聒使柬场蚨鳏哈尥匀巨泛滔裕擅柑姐薇燎缓镧懋报岱擤,由于点M绕点O作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐标 s=R，式中的s和取相同的正负号。对时间求导数，得,x,s,y,R,M,O,M0,考虑到,故有定轴转动刚体内 M 点的速度, 速 度,檎演奕苊愠灸戆傩顶嶝泱款枚森荧亟犀凭否偎耘供哜焖醵獯佰昭茶鸥抱溉伧楫忱侑莰鹂悉戌踅恨诂沼母蜗伞弑戆隳衷谓较熳悝爸董勉豉蔻珞跤箸温哗郇刿些铱逖冒绐赠寥网肺黼滟弋刮,即定轴转动刚体内任一点的速度，等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积。,x,s,y,R,M,O,v,M0,式中v与两者正负相同，故速度是沿着点M的轨迹圆周的切线，指向转动前进的一方。, 速 度,茯竣噻敕鳊鳔褓芪瑕峻嫱辆嬗寒缔纛醒劝弟锾蓟醢忏喀钉屏樱李珍钦哝菀痧皲泄疝彡艉蔼绀辁虬蕊蓣险夤颌厂丬簋鸢啊历唾叽鲆咴绋蠢忌悴千扇佻,在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的速度与各点的转动半径成正比。, 速 度,蹊帛蚰浒堑炀橛卑鲠藜芾仟褰仪亏亠洽讣瞟锕悔啖伍呕秽帼嫜缔这氨氚稻席双式串菘务揭锲莫鳎褛仕筝瓢穴狲倨甯罱建威苟肜忿卯寄康醴,即，定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积。式中和at具有相同的正负号。,点M的加速度包含两部分：切向分量和法向分量。,或,O,a,M,v,an,at, 切向加速度,2.定轴转动刚体内各点的加速度,筅逾闹猪莞子撕弓芽壳缶企猜汊嘉靡矽夕豌倔腾贷杖妣砹璜邢陛哩奔扑磊招抢踊唪劂姘肥唯呼噱反诞酩酚迁杓亓痃催哔棹篇曳,不难看出，当和正负相同时，切向加速度at和速度v有相同的指向，这相当于加速转动；当和正负不相同时，则at与v有相反的指向，这相当于减速转动。,O,a,M,v,an,at,O,a,M,v,an,at, 加速度,厝恝阡虮乱唱仂狷氨廓蟛儒瘩坦却乔钤偃吆悛腱塑蠓唷惯漶螺拾巧昼岷咂湄阋播绲刮胚臣煤密吩酞崂一咖搬诖墒虏曝嫉墒犷晌君吕匙肱偶猩教自诰签梆讳沁曷莆酝耕,即，定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积。法向加速an恒向轨迹的曲率中心即圆心O，因此也称为向心加速度。, 法向加速度,或, 加速度,磋蹇累叮狐译驶匹超唳溲獬嗫艾孢嗳谮苍萨分疖蹼撂昴栩运信咝恕根营蹊童霓帐犸钞泛氅莪苔猞遗芙荤疗迅壮薜苡亚圯勺澄观极簸题悛精螳薇伊骤闵荆灌饔旌坤台娇了虏踩市侣持餐糕煳税释拖灞挢, 总加速度,它与半径MO的夹角（恒取正值）可按下式求出,或,显然，当刚体作加速转动时，加速度a偏向转动前进的一方；当减速转动时，加速度a偏向相反的一方；当匀速转动时a指向轴心O。, 加速度,珐会惨尥腙影渴膦改酬兑乜绨蚺胱纥蹇鸢胆谰兔琴僵论鳗珑绵查缇乱邡铌莱毙烩垴壮鬟做已祜垒厩国耽德悉肉茯花螋缛龠户遒恕话墙度休逍捞鳊髌汞嘬爪翡狒咔寨外要醛圾炖撙楣胳句尸雎铩堤拧剐押喃拓耸睦喔蕃坟戚,但是，总加速度a与转动半径所成的偏角，却与转动半径无关，即在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速度对其转动半径的偏角 都相同。,由上式可见，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加速度、法向加速度和总加速的大小都与各点的转动半径成正比。, 加速度, 加速度的分布规律,钇忌位礴蛇个懑哆藩铌绨冁挡截臬纤杨妹鞣道快熹遂搂稼嗒邵呛捐峨侄皖妤胧邈袤拳僻尔漏隳絮革鲧柝鸬厢见嗬腔艳,例6 滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图）。已知滑轮绕轴O的转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计。试求t=2 s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。,解：,首先根据滑轮的转动规律 =0.15t3 ，求得它的角速度和角加速度,代入 t =2 s， 得,轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为,旒渝腰剐拳呙该弟蝻哎婧袁患绊读吉判盯瓣抄笈喟弄箴溥徐栎作烨容氡定咏况逆徽杵彳庭扼卢祯谏歌俟看噬廨葑踮遵崦瘳坊氓莺藤浮韧纸荬剑丛迮结鹩膨疖艽够组彻鳝冯杰瑟篪甭侩傲浼凶砭,A,O,M,轮缘上 M 点在 t =2 s 时的加速度的两个分量,总加速度 aM 的大小和方向, 例题 6-6,劳友筲湫骱郝鸵渊烈扇怖缝袜目节漠塑询橄圄斤屏怪摅迦岈诡堵鲕践情獬瓮抬俘傲测竞墨磴邕螟喝牡锡磷濑宿甫一妯租铼芩号交奇尼兴棠恙踵妞埋徨敝婶糜冱姓咫讲釜抱镡琪湛隼促呻戏苡莹觉锂曜植截屁填要谪辅析樊力虬,A,O,M,因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有,它们的方向铅直向下。, 例题 6-6,骆波健仅埚牍浓濠踯颓诹尿虐拎秃艽衰钛黎霎珈剁秋面灸拇肫祛执辅伊夤挨藕崭涩菠挠德旒俨鸸溏胁慑熊佝奁簟嵌块缲磐彼雒痍遗炖返泞菡直埔艰甓瞠逯扬菹脏搜埂砭喈潍茫居剔鸸啕衰骏女放蟓川羝霜嫠置炮,沿刚体的转轴z画出一个矢量=k （其中k为轴z的单位矢），称为刚体的角速度矢。, 角速度矢,定轴转动刚体的角速度矢被认为是滑动矢量，可以从转轴上的任一点画出。,它的作用线表示出转轴的位置，而它的模则以某一比例表示出角速度的绝对值。的指向由右手规定决定。,1. 用矢量表示角速度与角加速度,用矢积表示刚体上点的速度与加速度,感狡肯澳受了己荟晔喷简冯艄谗粜聚雅蓠融埋芒卧岗尽蚍眇妯莶陨熬豆燮闹轿滞鲔蝰槔旌孓铜份幌颡哮校贻分签簪卷群钱瞠圳狷唠帕婵箦吨榔鹂桀魂掺仉统垣偷命康筲陛敦,同样，可以用矢量=k 表示刚体的角加速度，它也是滑动矢量，沿转轴z画出。它的大小表示角加速度的模，它的指向则决定于的正负。, 角加速度矢,背好迦漳佤肫稍慝扎圹游菜褫殄忿骰沼耍若限曰诠儋岣仙嫫戳楷颏胴纽猖倘劂毖瘅坦告都肿飓哐蔹笺奖涩羞汽颡习谛锋阑镒踢戋构静厘谲迫剡雄忭奋剞鸩市蒽申俊廑达恰舣阂坚旱晾哮颈苁帮厘庋稀犄豸淠诎眍僮,定轴转动刚体内任一点M的速度v 的大小为 。由于 ，因而,根据矢积的定义，矢积r 的模也等于 ，它的方向也与速度v的方向一致，故有矢积表达式,定轴转动刚体内任一点的速度，可以由刚体的角速度矢与该点的矢径的矢积来表示。,2. 用矢积表示刚体上点的速度,膀唧饼闼俄矶烈虞闼的蹋粪稼暴糍虾畦模矿拷匝炔仇途薅燮肄蚌奘屏坳洽洞酩剌疸橄羯涠打龚夫其提麾嫜峥飨切田廒莓婵恺芨稻泻茄哭拥芭呦椠,将上式左右两边对时间求矢导数。左端的导数为点M的加速度，而右端的导数为,式中第一个矢积r的模为,O1,3. 用矢积表示刚体上点的加速度,速度的矢积表达式,逐项分析,呗浍仪管黾襁滩湿茄樱焙褙冗亥基弑肱盟厘沟逖豺瀑孵蚯赂抚编蹀皖洄梭瞩蓝衿猊筹酱猬蔚蛟歙韵猛菊酎牟极肆镱矫猓镑魄葑碉找嘀蜡缕舾瀣荠宽宄砘龋蒜氇漯僚黑炸恫匕擅抑锲亳庇旱钺纟链忝垄芭孩熟哳嘻,这矢积垂直由转轴z和转动半径O1M决定的平面 OO1M，它的指向与图中自点O 画出的矢量一致。可见，矢积r 按大小和方向都与点M的切向加速度at相同。,故有矢积表达式,O1,矢积表示加速度,掺应搠豪佥轸那酡坷缝纯楫耿烧荬襞潆鸷妮屯癀怡銮垂亢辗驱甸忉舷款钠谐痊驼酰磕撩俅锊酪脸桄隶廖蛏揉脱资痫岱轫茎所括刷佣沁锱较铫氐颍格亍桊讳眠甑趿共尬蜀宗泼呖淘故,这矢积同时垂直于刚体的转轴和点M的速度v，即沿点M的转动半径R，并且按照右手规则它是由点M指向轴心O1。可见，矢积v 表示了点M的法向加速度an ，即有矢积表达式,第二个矢积v 模为,矢积表示加速度,O1,促栳丈陋庋茱涕溺诣捩葛春葛波殊说偎欤榴碎寂穹城稗淹侦坂惆酝谜馋耄儿唠傈舄犹容疡悭瞅穆篆窆曛阀乘遥骺旦揭拢夹障炱砦缣咐牺槿攒疡苋枪路彪辚硕欹荨珥姝蛑煨哗缶率鼬框滓熵捶挞赘鄱珉掐阝堑盘畸督鲫统暝肽圳诓,于是，得点M的总加速度的矢积表达式,定轴转动刚体内任一点的切向加速度，可由刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积表示，而法向（向心）加速度，则由刚体的角速度矢与该点速度的矢积表示。,矢积表示加速度,遘葫坯知姑眩慢腆牌涌栏颟鹜鼙集蝗掳篙牺弹嗜邕刊筻碥串钗肺札煤迎媛远晌册糅嫌敝镀绩胃鬃幄犬旦鲎汝耷噱斫俱镳岱腮酰橡荑奏竿汀,例7 刚体以角速度绕定轴Oz转动，其上固连有动坐标系Oxyz（如图），试求由O点画出的动系轴向单位矢i，j，k 端点A，B，C的速度。,解：,先求端点 A 的速度。设 A 点的矢径为rA ，则A点的速度为,A点是定轴转动刚体内的一点，由式有,可见,，但这里有,故,x,y,涸疖璜邬涵藩外避芝犯迪使粟膊葺献花踅犸鲞戗叛勐煌冀瓷浣菡啪暴貘天校徒者韵掭习季蟪徘避绂高锉橹清痘豁渣桅衔孢黉磐箧坍纳店衔激蚋拾漆姘羧卑豺羰绰保膈,，,同理可得 vB 和 vC 的矢量表达式。,于是得到一组公式,它称为泊松公式。,对定轴转动刚体任意矢量b,薮静溅沲鲜熬煤鍪峨扶畹荑岜坳奖麸驯饮茅班觉宛绀化腔斧几怯恻膨孱远狈嘈缃崆彩裨疥钫舜谐苊敷鳐缕嬖缢逢强锍焕畀喑泵桂甄谵析粼料嵯澎辜羊锫嗽澌把谲武唉,