立体几何专题2015（答案1）

立体几何专题 2015（答案一） 一、基础知识复习：（1）设点建系 （2）求法向量二、大题考点定位：（1）平行垂直的证明；（2）利用空间向量求角 三、热身练习：1.如图，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角2.如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，.求证：（1）； （2）.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性又因为，平面，平面，所以平面又因为平面，所以因为，所以矩形是正方形，因此因为，平面，所以平面又因为平面，所以【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理四、经典题型：例题: （本题满分12分）如图，四边形中（图1），是的中点， 将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.证明：如图4，取BD中点M，连接AM，ME. 因为AB=AD=，所以AMBD， 因为DB=2，DC=1，BC=，满足：DB2+DC2=BC2， 所以BCD是以BC为斜边的直角三角形，BDDC， 因为E是BC的中点，所以ME为BCD的中位线，ME， MEBD，ME=（2分）图5 AME是二面角A-BD-C的平面角，=. ，且AM、ME是平面AME内两条相交于点M的直线，平面AEM，.（4分） ，为等腰直角三角形，在AME中，由余弦定理得：， .（6分）（）如图5，以M为原点，MB所在直线为x轴，ME所在直线为y轴，平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，（7分）则由（）及已知条件可知B(1，0，0)，D，C.则（8分）设平面ACD的法向量为=，则令则z=-2，（10分）记与平面所成的角为，则. （12分）练习：1.【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,且点M和N分别为的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(I)见解析； (II) ； (III) . 【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量， 由此可得，又因为直线平面，所以平面(II)，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.2.【2015高考陕西，理18】（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，是的中点，是与的交点将沿折起到的位置，如图（I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值【答案】（I）证明见解析；（II）(II)由已知，平面平面，又由（I）知，所以为二面角的平面角，所以.如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为，所以得 ，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为.考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.3.【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面，点，分别在棱，BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明（2）根据条件，二面角的余弦值为，利用空间向量可将四面体视为为底面的三棱锥，其高，从而求解试题解析： 由题设知，两两垂直，以为坐标原点，所在直，而二面角的余弦值为，因此，解得，或者（舍去），此时，设，而，由此得点，平面，且平面的一个法向量是，即，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.4.【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）证明：直线平面（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）点F、G、H的位置如图所示.（2）详见解析.（3）【解析】（1）点F、G、H的位置如图所示.所以，且，且，所，所以是平行四边形，从而，又平面，平面，所以平面.（3）二面角的余弦值为.（另外，也可利用空间坐标系求解）【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.9