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实用标准1 已知 f(x) = xln x ax, g(x) = - x如果当x -1时，不等式f (x) _丄 恒成立，求实数k的取值范围.x+1 2,(I )对一切x (0 ,+s ), f(x) g(x)恒成立，求实数 a的取值范围；(n )当a= 1时，求函数f (x)在m3( m 0)上的最值；(川)证明：对一切 x (0,+ )，都有ln x + 11 2 *一成立.e ex22、已知函数 f(x) a lnx-2(a 0). (I)若曲线 y=f ( x)在点 P (1, f (1)处的x切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；(n)若对于(0, ：)都有f (x)2( a 1)成立，试求 a的取值范围；(川)记 g ( x)=f ( x)+xb (b R).当a=1时，函 数g ( x)在区间e 1, e上有两个零点，求实数b的取值范围 2 3. 设函数f ( x)=ln x+(x a) ，a R (I)若a=0，求函数f (x)在1， e上的最小值;1(n)若函数f ( x)在寸，2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；(川)求函数f ( x)的极值点1 24、 已知函数 f (x) ax -(2a 1)x 2l n x (a R).求a的值；(n)求f (x)的单2(i)若曲线y = f (x)在x = 1和x = 3处的切线互相平行,调区间；(川)设g(x)=x2-2x,若对任意x(0,2，均存在 x? (0,2，使得f (xj ： g(X2)，求a的取值范围.25、已知函数 fx 二一亠aln x-2(a0)x(I )若曲线y=f (x)在点P(1 , f(1)处的切线与直线 y = x+ 2垂直，求函数y= f (x)的 单调区间；(n )若对于任意x“0, :都有fxj2(a-1)成立，试求a的取值范围；(川)记g(x) = f(x) + x b(b F).当a= 1时，函数g(x)在区间e J,e】上有两个零点， 求实数b的取值范围.6、已知函数f(X)=匚皿.x1(1) 若函数在区间(a,a -)(其中a 0)上存在极值，求实数 a的取值范围；1.解：(I)对一切 X(0, u), f (x) _ g(x)恒成立，即 xln x-ax_-x -2 恒成立.2也就是a 0；由f (x) ：0解得0 v x v 2.所以f (X)的单调增区间是(2, +8),单调减区间是(0，2)(n) f (x)二-0 ： x .所以f (x)在区间a4分2 a ax 222 ，由 f(X) 0 解得 x ；由 f(X )： C解得x x xa22、 2(，:：)上单调递增，在区间(0,)上单调递减所以当x =aaa时，函数f ( x)取得最小值,Ymm = f (-).因为对于(0, ：)都有 f(x) 2(a-1)成a立,2所以f()2(a-1)即可.a则 2 aln- -2 2(a-1).由 a In 2a 解得 0 y： ?.所2 aae一 2以a的取值范围是(0,2).e2x 十 x _ 2(川)依题得 g (x) In x x - 2 - b，则 gf )x 二x2.由 g(x)0 解得 x 1；x由g (x) : 0解得0 v x v 1.所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1 , +8)为g(e) 一0增函数又因为函数g(x)在区间e 1 , e上有两个零点，所以g(e)A0.解得g：0221 : b e -1所以b的取值范围是(1,e-1.ee分3.解：(I) f ( x)的定义域为(0, +8).1因为f(x) 2x 0，所以f ( x)在1 , e上是增函数,x当X = 1时，f ( X)取得最小值f (1)=1.实用标准文档大全所以f ( x)在1 , e上的最小值为1.212x2 _2ax + 1(n)解法一：f(x)二丄 2(x a) =-2ax ix设 g ( x)=2 x2 2ax+1,1依题意，在区间空，2上存在子区间使得不等式g ( x) 0成立.注意到抛物线g ( x)=2 x22ax+1开口向上，所以只要1g 0,或g(?) 0即可6由 g (2)1由g(/9 0，即 84a+1 0，得 a ：,41 30，即 a 10，得 a ：,2 2所以a :9所以实数a的取值范围是(-二，9).42解法二：f(x)2(xar2x-2ax1 ,x1 2依题意得，在区间丄，2上存在子区间使不等式2x22ax+1 0成立.2又因为x0，所以2a ： (2x -).x沁1设 g(x) = 2x x1又因为 g(x) =2_,x1，所以2a小于函数g ( x)在区间 纭，2的最大值142由 g(x) =22 解得 x x22142由 g (x) = 22 0恒成立，f (x) 0，此时函数f (x)没有极值点；9分 当a 0时，(i )当4三0，即0 ： a空2时，在(0, +8)上h ( x) 0恒成立，这时f (x) 0,10分此时，函数f ( x)没有极值点;(ii )当4 0 时，即 a .2 时,易知，当aJa222a + Ja2 _2:x :2时，h ( x) v 0，这时f(x) v 0 ；时,h ( x) 0，这时 f (x) 0；所以，当a -2时,a _ a2 _ 2x是函数f ( x)的极大值点;2a + Ja2 _2x =函数f ( x)的极小值点12分综上，当a乞2时，函数f (x)没有极值点;a - Ja2 -2x =是函数f ( x)的极大值点;x=a2是函数f ( x)的极小值点4.解:2f (x)二 ax(2a 1)(x 0).1 分x2(I) f (1)=f (3)，解得 a 丄.3 分3(n)f (x)二(ax1)(x 2)(x 0).x当 a _ 0 时，x 0 , ax -1 ： 0 ,在区间(0,2) 上, f (x)0 ;在区间(2,：)上 f (x) ： 0 ,故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,=).5分11当 0 ：a ：时，一 2 ,2a11在区间(0,2)和(一，：)上, f (x)0 ；在区间(2, )上 f (x) ： 0 ,aa11故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(_, ：)，单调递减区间是(2, ).aa当a冷时，f(xr詈故f(x)的单调递增区间是(0, =)7分11当a .时，02,2a在区间(0,1)和(2,：)上，f (x)0;在区间(-,2)上 f (x) . 0 ,aa1故f (x)的单调递增区间是(0,丄)和(2,=),单调递减区间是a1(,2).8 分(川)由已知，在(，2上有f(X)max T(X)max9分由已知，g(X)max =0，由(II )可知，1当1-时，f (x)在(0, 2上单调递增，故 f (x)max = f (2) =2a -2(2a 1) 21 n 2 - -2a -2 21 n 2 ,10分所以，2a2 2ln 2 ： 0，解得 a - In 2-1，故 In 2 1 ：a 乞211当a 时，f (x)在(0, 上单调递增，在2a= -2 -2In a. 2a1 In 1, 2ln e故 f(X)max 二 f (1)a11由a 可知In a In22所以，-2-21 na：0.f ( x) max ：:： 0 ,1,2上单调递减,aa -2 ,_2ln a 2 ,12分5、( I )直线y= x+ 2的斜率为1,函数f (x)的定义域为0,=2 a,2 a因为f (x)2 ，所以f 121，所以a= 1x x11所以 fx = In x-2,f x = x 22xx由 f X i 0 解得 x 2 ;由 f x : 0 解得 0v x v 2所以f(x)得单调增区间是2,单调减区间是 0,2ax -2x2由f x 0解得x2x2 .-;由 f x :：: 0 解得 0：xa22(a -1)成立,所以f (-) 2(a -1)即可a222则 a In 22(a -1)，由 a In a 解得 0 ： a2a2所以a得取值范围是(0,三)ex2 x -2x22 (川)依题意得g(x )In x _2 -b，则g (x)x由 g x 0 解得 x 1,由 g x : 0 解得 0v x v 1所以函数g(x)在区间e,e上有两个零点,f_4g (e )02所以$g(e)兰0解得1 vb兰2+e1eg(1K02所以b得取值范围是(1,三+e1 12分e6、解:(1) 因为 f (x) = , x 0 ,贝U f (x) =,1 分xx当 0 ：x ：1 时，f (x)0 ;当 x 1 时，f (x) ：0 f(x)在(0,1)上单调递增；在(1,；)上单调递减，函数f (x)在x=1处取得极大值.3分1函数f(x)在区间(a, a )(其中a 0)上存在极值， a 1 解得 1 a :： 1 . .5分a 2 1,不等式 f (x) ，即为(x 1)(1 ln x) _k ,7 分x +1记 ggjxwmx) gix)1)1x)f-(x+1)(1+lnx)=，9 分xxx1令 h(x) =x Inx，则 h(x =1，T x_1 , h(x _0，二 h(x)在1,：)上递增，x- h(x)min 二h(1)=10，从而 g(x) . 0,故 g(x)在1,：)上也单调递增,- g (x)min =g(1)=2 k_2 12分
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