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2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学(理科)一. 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集,集合,则( )A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位,,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A. 90 B. 129 C. 132 D. 1384. 为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )A. 向右平移 个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 5.在的展开式中,记项的系数,则= ( )A. 45 B. 60 C. 120 D. 2106. 已知函数 ,且( )A. B. C. D. 7. 在同一直角坐标系中,函数, 的图像可能是( )8. 记,设为平面向量,则( )A B. C. D. 9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个篮球,从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.(a)放入 个球后,甲盒中含有红球的个数记为;(b)放入个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则 ( )A. B. C. D. 10. 设函数, ,记, 则 ( )A. B. C. D. 二. 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11. 若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运算后输出的结果是_.12. 随机变量的取值为0,1,2,若,则=_.13.当实数满足时,恒成立,则实数的取值范围是_.14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有_种(用数字作答).15.设函数若,则实数的取值范围是_16.设直线() 与双曲线()两条渐近线分别交于点A,B.若点满足,则该双曲线的离心率是_17、如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小.若 ,,则的最大值是 (仰角 为直线AP与平面ABC所成角) 三. 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.(本题满分14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知 ()求角C的大小;()若 ,求ABC的面积19.(本题满分14分)已知数列和满足.若为等比数列,且 () 求与 ;() 设.记数列的前项和为,(i)求;(ii)求正整数,使得对任意均有.20.(本题满分15分)如图,在四棱锥中,平面平面 ,,,. () 证明:平面;() 求二面角的大小.21(本题满分15分)如图,设椭圆C:动直线与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.() 已知直线的斜率为,用表示点P的坐标;() 若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.22. (本题满分14分)已知函数() 若在上的最大值和最小值分别记为,求;() 设若对恒成立,求的取值范围.2014年高考浙江理科数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【解析】=,【答案】B2.【解析】当时,反之,即 ,则 解得 或【答案】A3.【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体,故几何体的表面积为: .【答案】D4.【解析】=而= 由 ,即故只需将的图象向右平移 个单位. 故选C【答案】C5.【解析】令 ,由题意知即为 展开式中 的系数,故=,故选C【答案】C6.【解析】由得 解得 ,所以 ,由 得 ,即,故选C【答案】C7.【解析】函数,分别的幂函数与对数函数答案A中没有幂函数的图像, 不符合;答案B中,中 ,中 ,不符合;答案C中,中,中,不符合;答案D中,中,中,符合. 故选D 【答案】D8.【解析】由向量运算的平行四边形法可知与的大小不确定,平行四边形法可知所对的角大于或等于 ,由余弦定理知,(或).【答案】D9.【解析1】 , = = ,故 又 , 又= 所以 ,故选A【答案】A【解析2】:在解法1中取 ,计算后再比较。10.【解析】由 ,故 由 故 = 故 ,故选B【答案】B【解析2】估算法: 的几何意义为将区间 等分为99个小区间,每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和.如图为将函数 的区间 等分为4个小区间的情形,因 在上递增,此时 =,同理对题中给出的 同样有 ;而略小于 ,略小于 ,所以估算得【答案】B三. 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.【解析】第一次运行结果 第二次运行结果第三次运行结果第四次运行结果第五次运行结果x012P此时 ,输出 ,【答案】6 12.【解析】设 时的概率为,的分布列为 由 ,解得 x012P的分布列为即为故 . 【答案】 13.【解析】作出不等式组所表示的区域如图,由恒成立,故 三点坐标代入,均成立得 解得 ,实数的取值范围是 , 【答案】【解析2】作出不等式组所表示的区域如图,由得,由图分析可知, 且在 点取得最小值,在 取得最大值,故 得,故实数的取值范围是 , 【答案】14.【解析1】不同的获奖分两种,一是有一人获两张奖券,一人获一张奖券,共有 二是有三人各获得一张奖券,共有 ,因此不同的获奖情况共有 种【解析2】将一、二、三等奖各1张分给4个人有 种分法,其中三张奖券都分给一个人的有4种分法,因此不同的获奖情况共有644=60种.【答案】6015.【解析】由题意 或 ,解得 当 或 解得 【答案】 16.【解析1】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为 和 ,分别与直线: 联立方程组,解得,,,设AB中点为,由 得,则 即 ,PQ与已知直线垂直, ,即 即得 ,即,即 ,所以 【解析2】不妨设 ,渐近线方程为即 由 消去 得 设AB中点为,由韦达定理得: ,又 ,由得 即得得 代入得得 ,所以 ,所以 ,得 【答案】17.【解析1】:AB=15cm,AC=25cm,ABC=90,BC=20cm,过P作PPBC,交BC于P,1当P在线段BC上时,连接AP,则 设BP=x,则CP=20-x,( )由BCM=30,得在直角ABP中, 令,则函数在x0,20单调递减,x=0时, 取得最大值为2当P在线段CB的延长线上时,连接AP,则设BP=x,则CP=20+x,( )由BCM=30,得在直角ABP中, ,令,则,所以,当 时 ;当 时 所以当 时此时时, 取得最大值为 综合1,2可知 取得最大值为【解析2】:如图以B为原点,BA、BC所在的直线分别为x,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,AB=15cm,AC=25cm,ABC=90,BC=20cm,由BCM=30,可设 (其中 ), ,所以设(),所以,当 时 ;当 时 所以当 时所以 取得最大值为【解析3】:分析知,当 取得最大时,即最大,最大值即为平面ACM与地面ABC所成的锐二面角的度量值,如图,过B在面BCM内作BDBC交CM于D,过B作BHAC于H,连DH,则BHD即为平面ACM与地面ABC所成的二面角的平面角, 的最大值即为 ,在 中,由等面积法可得=12, 所以 = 三. 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.【解析】:()由题得 ,即 由 得 ,又 ,得即 ,所以 (), ,得 由 得 ,从而 故 = 所以,ABC的面积为 19.【解析】:() ,当n2,nN*时,由知:当 时, ,令n=3,则有 b3=6+b2, a3=8an为等比数列,且a1=2,an的公比为q,则 由题意知an0,q0,q=2an2n(nN*)又由,得:即bn=n(n+1)(nN*)()(i) = = = = (ii)因为c1=0,c20,c30,c40;当n5时, 而 ,得 所以,当n5时,cn0,综上,对任意nN*恒有 ,故k=420.证明:()在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC= ,由 ,AB=2得 ,即ACBC,又平面ABC平面BCDE,从而AC平面BCDE,所以ACDE,又DEDC,从而DE平面ACD;()【方法1】作BFAD,与AD交于点F,过点F作FGDE,与AB交于点G,连接BG,由()知DEAD,则FGAD,所以BFG就是二面角B-AD-E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BDBC,又平面ABC平面BCDE,得BD平面ABC,从而BDAB,由于AC平面BCDE,得ACCD在RtACD中,由DC=2, ,得 ;在RtAED中,由ED=1,得 ;在RtABD中,由 ,AB=2,得 , ,从而 ,在ABE,ABG中,利用余弦定理分别可得 , 在BFG中, ,所以,BFG= ,即二面角B-AD-E的大小为 .【方法2】以D的原点,分别以射线DE,DC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系 ,如图所示.由题意知各点坐标如下: , , , , .设平面ADE的法向量为 平面ABD的法向量为,可算得: , , 由 即 ,可取 由即可取于是 由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E的大小为21.【解析】:()【方法1】设直线l的方程为 ,由 ,消去y得 由于直线l与椭圆C只有一个公共点P,故=0,即,解得点P的坐标为 又点P在第一象限,故点P的坐标为【方法2】作变换 ,则椭圆C:变为圆 : 切点 变为点 ,切线( 变为 .在圆 中设直线 的方程为( ) ,由 解得 即 ,由于 ,所以 ,得 ,即 代入得 即,利用逆变换代入即得: ()由于直线l1过原点O且与直线l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离整理得: 因为,所以当且仅当 时等号成立所以,点P到直线 的距离的最大值为 23.【解析】:() ,,由于 ()当 时,有 ,故 此时,f(x)在上是增函数,因此 , ,故 ()当时,若x(a,1),在(a,1)上是增函数;若x(-1,a),在(-1,a)上是减函数, , 由于 ,因此当 时, ;当 时,;()当时,有,故,此时 在上是减函数,因此,故;综上,()令,则,因为f(x)+b24对x-1,1恒成立,即对x-1,1恒成立,所以由()知,()当时,在上是增函数, 在上的最大值是,最小值,则且矛盾;()当 时,在上的最小值是,最大值是,所以且,从而 且令,则, 在 上是增函数,故,因此 ()当 时,在上的最小值是,最大值是,所以由且,解得 ()当时,在上的最大值是,最小值是,所以由且,解得3a+b=0综上, 的取值范围是.第17页 共17页
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