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第四章 刚体的平面运动,主要研究刚体运动方程以及刚体上不同点的运动量关系。,分析法与矢量法。,可采用复合运动方法。,引 言,车轮、机构、行星齿轮。,一、实例:,第四章 刚体的平面运动,第四章 刚体的平面运动,引 言,第四章 刚体的平面运动,引 言,运动刚体内各点与某定平面等距。,复合运动法，在基点固连平移系，任一点相对 圆周运动。本章采用矢量法。,三、任务:,二、定义:,四、方法:,2、两点运动关系。,1、运动方程。,第四章 刚体的平面运动,引 言,一、运动的简化,刚体 图S 线段AB 平移+转动,确定运动的独立参数,第四章 刚体的平面运动,4-1 刚体平面运动方程,平面运动方程,二、 运动方程,1.基点可任选，常选运动已知点。,绕基点转动,随基点平移,不变，平面平移,不动，定轴转动,4-1 刚体平面运动方程,第四章 刚体的平面运动,4-1 刚体平面运动方程,第四章 刚体的平面运动,4-2-1 基点法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,求两点运动量关系,4-2-2 瞬心法,4-2-3 投影法,1. 速度基点法:,S上任一点速度等于基点速度与该点绕基点圆周运动速度的矢量和。,已知S 上 (A为基点)，求S上任一点B得 。,在基点A固连平移系，B为动点。,结论:,4-2-1 基点法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,2.加速度基点法:,S上任一点加速度等于基点加速度与该点绕基点圆周运动加速度的矢量和。,结论:,采用平移系， 均为绝对量。,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,4-2-1 基点法,1. 已知 ，求 。,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,4-2-1 基点法,2. 已知轮C纯滚， 求 。,当轮加速滚动时， 变化吗？,否。,问题,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,4-2-1 基点法,1.速度瞬心法:,4-2-2 瞬心法,基点法的特殊形式之一。,基点可任选，选什么基点，公式最简?,选S上速度、加速度为零的点。,a.速度瞬心Cv,某瞬时S上速度为零的点。,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,如图已知S上 ，求 。,与 共线，必在 的垂线上,时， 存在且唯一。,可见:,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,b.速度瞬心法:,选速度瞬心为基点，任一点M的速度大小为:,某瞬时，S上任一点速度等于该点随图形绕瞬心 转动时的速度。,且,结论:,1. 可在S外，必在运动平面上。,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,定瞬心轨迹,动瞬心轨迹,2. 位置连续变化，形成,c.速度瞬心求法:,Cv在过某点且垂直该点速度矢的直线上。 速度沿该垂直线线性分布。,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,有哪些具体求法?,AB瞬时平移,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,1.下图速度分布对吗?,求AB的瞬心?,不对,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,2. 如图已知 ，求 。,轮瞬心在,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,3.已知尺寸， ，求 ?,4-2-2 瞬心法,4.已知 ，求 ?,5.已知 求 ?,对t求导,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,二. 加速度瞬心法,即,a)加速度瞬心Ca,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,显见时，可用,求之不易，不常采用。,易找,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,分析:,已知 求 。,为加速度瞬心,为加速度瞬心,4-2-2 瞬心法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,基点法公式 在任何方向的投影式成立，在何方向获得最简形式？,问:,4.2.3 投影法,(1) 速度投影法,基点法投影式,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,S上任意两点的速度在这两点连线上投影相等。,结论:,意义:,刚体上两点距离不变。,仅在两点连线上成立。,下列运动是否可能?,4.2.3 投影法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,投影法能否求 ?,已知v，求vA。,4.2.3 投影法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,当 时,(2) 加速度投影形式,有,当 时,4.2.3 投影法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,已知R30，求vB，B。,4.2.3 投影法,4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,确定所有物体运动状态,第四章 刚体的平面运动,1. 分析要素,2. 分析途径,3. 机构类型,结点分析:,刚体分析:,顺次求解,迂回求解,铰联式,铰联、滑移式,行星轮系,(含滑动联结的平面机构),各运动构件之间铰联，在铰接点两物体的速度和 加速度均相同。 (含铰联与无滑动滚动),两点运动关系,铰. 瞬时重合点(移动副), 无滑滚动,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,1.已知 常数，轮滚动 求 。,对BC:,各联接点速度如图:,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,各点加速度如图:,B为基点,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,将(a)式向x轴投影,铰接，各点运动方向确定，可顺次求解；,投影方向的选择。,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,AB瞬心在Cv，,2 .瓦特行星转动机构。,已知,求 。,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,(目标：求 ),A为基点:,其中,向x方向投影:,机构中含一个平运构件，可顺次求解。,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,分析:,再将 沿切向正交分解,铰接 ，各点运动方向给定；,三点分别有两个转动中心。,如何求 ?,(瓦特行星轮机构)带轮4连杆机构，,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,A，B速度如图:,B为AB瞬心。,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,选滑块C为动点，O2D为动系。,对AB: A为基点。,在y方向投影:,有,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,选O2D为动系，销钉C为动点。,水平方向:,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,而,由,A为动点，BC为平面运动系，,Cv为瞬心，速度如图。,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,平面运动动系:,几何关系(速度等腰，底角30),由瞬心定牵连点的速度方向。,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,又,如何求,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,按运动传递路线:,解法1:,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,故,(r3较大时，增速大),4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,相对运动法。(反转法),(如同整个系统以 反转),解法2:,(顺时针方向为正),以系杆O1O为动系,相对运动传动比，按定轴轮系,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,而,故,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,式中,A，B两点加速度如图，,分别以A，B为基点。,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,故,(1)式在铅垂方向投影:,( 沿铅垂方向水平 ), 与v同方位!,已设 为逆时针方向， 与 须一致！,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,AB瞬心在,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,选AB为动系，O为动点。,投影求出,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,亦可采用一动点，两动系求解,动点为环B，动系为AB，轮O,另解:,类似,铰接 滑移连接: 复合与平面运动混合,迂回求解.“两头碰”,两套公式联立,4-3-1 一般分析思路,4.3 平面机构的运动分析,第三章 刚体的空间运动,空间运动 平移 + 定点转动,动力学中常选质点为基点：研究飞机、导弹、鱼雷等,(基点固连平移系),3-1 刚体定点转动,实例:,定义:,行星伞齿轮、研磨机滚子、雷达天线等,刚体运动时、其上或其延展部分上有一个不动点,3-1-1 运动的几何描述,3-1-2 欧拉运动方程,3-1-3 刚体的转动瞬轴.角速度与角加速度,3-1-4 转动刚体上各点的速度和加速度,3-1-1 运动的几何描述,欧拉角与动系轴的方向余弦(矩阵)两种。,1. 运动的简化 (仿平面运动),3-1 刚体定点转动,(半径为球半径),2. 欧拉转动(一次转动),关于刚体有限转动的理论,刚体绕定点的任意有限转动可由绕过该点的某轴的一次转动实现。,设大圆弧 运动至 ，在球面上分别作 的垂直平分大圆弧交于 。,球面三角形,(三边弧长等),(一次转动),故刚体绕 轴转 实现上述转动。,3-1-1 运动的几何描述,3-1 刚体定点转动,1.图示矩形板从yz平面绕定点O转到xy平面.由欧拉转 动定理，该转动可绕某轴一次转动实现.试求该轴在图 示坐标中的单位矢及转向大小 (第4届周培源力竞题)。,3-1-1 运动的几何描述,3-1 刚体定点转动,以O为球心OB为半径作球面如图。,作大圆弧 的垂直平分大圆弧交于 球面K点，则OK为转轴。,矩形板其延展部分与球面的交点为A、B 、C ， 运动至 平面后矩形板及其延展部分与球面交于 点。,则,转角为120(三角球面全等),3-1-1 运动的几何描述,3-1 刚体定点转动,转角由球面运动确定。,找延展部分上的大圆弧,由,3-1-1 运动的几何描述,3-1 刚体定点转动,3-1-2 欧拉运动方程,(1) 欧拉角, 绕, 绕, 绕,运动角 定轴x与节线N夹角,由瑞士数力学家欧拉提出的三个独立角。,定义:,转动角 z与z夹角,欧拉角 N与x夹角,(可顺次独立完成):,3-1 刚体定点转动,(3)角速度,在动系中,引入角速度矢,选欧拉角为广义坐标。,(2)运动方程,则,3-1-2 欧拉运动方程,3-1 刚体定点转动,(4)角加速度,可反解出,3-1-2 欧拉运动方程,3-1 刚体定点转动,2. 船等速运动，绕质心C转动:,已知 且均达极值。CA=15m，求 。,3-1-2 欧拉运动方程,3-1 刚体定点转动,又 达到极值,其中,3-1-2 欧拉运动方程,3-1 刚体定点转动,3-1-3 刚体的转动瞬轴.角速度与角加速度,欧拉转动只能粗略描述有限转动 因为AB的轴迹并非大圆弧。,当 时,1. 转动瞬轴,2. 角速度,3-1 刚体定点转动,3. 角加速度,的矢端速度,与斜交,定轴转动时与共线。,3-1-4 转动刚体上各点的速度和加速度,如图，刚体绕O点转动。已知，M为刚 体上一点，到与所在轴的距离分别为h1和h2， 试求vM，M。,与定轴转动的区别,此处 不是切向加速度， 不是法向加速度。,3-1 刚体定点转动,OC为瞬轴，角速度为,3-1-4 转动刚体上各点的速度和加速度,3-1 刚体定点转动,的矢端为水平圆周。,沿圆周切向。,大小:,转动:,向轴:,3-1-4 转动刚体上各点的速度和加速度,3-1 刚体定点转动,首先确定与； 常数，,3-1-4 转动刚体上各点的速度和加速度,3-1 刚体定点转动,3-1-4 转动刚体上各点的速度和加速度,3-1 刚体定点转动,(方向纸面向里),3-1-4 转动刚体上各点的速度和加速度,3-1 刚体定点转动,3-2 刚体的一般运动,自由刚体:飞机、卫星、导弹等,6个自由度,3-2-1 运动方程,3-2-2 刚体上点的速度和加速度,在基点 固连平移坐标系，则有:,6个参数方程,3-2-1 运动方程,3-2 刚体的一般运动,3-2-2 刚体上点的速度和加速度,在基点 固连平移动系，M为动点。,1. 速度,有 为瞬时量。,2. 加速度,由,式中 与 均为瞬时量。,3-2 刚体的一般运动,5.飞行模拟装置试验箱，由装在圆筒内转子组成， 转子相对筒以匀角速度 绕轴 转动；圆筒绕 轴以不变的 转动，支架绕子轴以 匀速转动。试求转 子在 位置时的 及 。,转子三根转轴不交于一点， 为一般运动。,以O为基点，转子随O平移， 绕O转动。,3-2-2 刚体上点的速度和加速度,3-2 刚体的一般运动,注意到:,故,3-2-2 刚体上点的速度和加速度,3-2 刚体的一般运动,3-2-2 螺旋瞬轴法,当 时， 刚体作瞬时螺旋运动。,瞬时螺旋轴过A点并沿 方位。,1. 瞬时螺旋运动,刚体一般运动时，其上任一点速度为,完全由矢量偶对 确定。,(类似瞬心法与力螺旋),3-2 刚体的一般运动,2. 螺旋瞬轴的求法,刚体一般运动时，其上任一点速度,自由刚体上已知 ，且 ，如图,即,令,所在直线即为所求。,故刚体一般运动可视为绕一系列螺旋瞬轴的螺旋运动。,运动学讨论题:,3-2-2 螺旋瞬轴法,3-2 刚体的一般运动,临界平衡问题,两种临界状态:,1. 设A处先滑动，,则,物A受力如图:,而,3-2-2 螺旋瞬轴法,3-2 刚体的一般运动,物B受力如图:,由,2. 设E处先滑动，,研究轮B:,由,由,3-2-2 螺旋瞬轴法,3-2 刚体的一般运动,联立(1),(2),(3)得,故,1. 能否出现轮B悬空临界平衡?,否。三力不汇交,2. 何时出现滑移状态?,状态1下:,3-2-2 螺旋瞬轴法,3-2 刚体的一般运动,空间摩擦临界,已知 求平衡时,研究AB杆，受力如图。,由,故,3-2-2 螺旋瞬轴法,3-2 刚体的一般运动,图示系统有几个独立平衡系统?,故有5个。,3-2-2 螺旋瞬轴法,3-2 刚体的一般运动,1. 若斜面上有两个相同的圆柱，其临界状态?,对轮O2，E处先滑动。,下滑时受力如图:,但对轮O1，正压力判断法先定义:,可分别假设B，C处先滑动。 求出两个F值，取最小值。,2. n个相同圆柱且不计圆柱内摩擦，则求解简化:,O1以上圆柱均不受斜面摩擦。,3-2-2 螺旋瞬轴法,3-2 刚体的一般运动,另解:,亦可采用一动点,两动系求解。,动点为环B，动系为AB，轮O,3-2-2 螺旋瞬轴法,3-2 刚体的一般运动,
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