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2.4.1等比数列概念及通项公式,学习目标,1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念 2掌握等比数列的通项公式及推导过程 3能应用等比数列的定义及通项公式解决问题,回顾与复习,1、等差数列定义：,如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。,数学表达式：d=an-an-1(n2)或d=an+1-an,2、等差数列的通项公式：,an=a1+(n-1)d (nN*),3、等差数列通项公式的推导方法：,an=am+(n-m)d (n,mN*),一、引入新课：,1.细胞分裂个数组成数列:,2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:,3.病毒感染的计算机数构成的数列:,（1）1，2，22，23，,观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.,1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记为q(q0).,数学语言：,探究：等比数列的定义,如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示,如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.,这个常数叫做等比数列的公比，用 q表示.,课堂互动,(1) 1，3，9，27，81，,(3) 5，5，5，5，5，5，,(4) 1，-1，1，-1，1，,是,公比 q=3,是,公比 q= x,是,公 比q= -1,(7),(2),是,公比 q=,观察并判断下列数列是否是等比数列:,是,公比 q=1,(5) 1，0，1，0，1，,(6) 0，0，0，0，0，,不是等比数列,不是等比数列,1. 各项不能为零,即,2. 公比不能为零,即,4. 数列 a, a , a , ,时,既是等差数列 又是等比数列;,时,只是等差数列 而不是等比数列.,3. 当q0，各项与首项同号 当q0，各项符号正负相间,对等比数列的理解,等比中项,如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。,思考：1、若G2ab，则a，G，b一定成等比数列吗？,提示：不一定，若aGb0时，不满足,所以a，G，b成等比数列G2ab(ab0),等比数列通项公式的推导:,等比数列通项公式的推导（归纳法）, ,证明：,将等式左右两边分别相乘可得：,化简得：,即：,此式对n=1也成立,累乘法推导,等比数列通项公式的推导:,在等比数列an中，若已知某一项为am,公比为q, 求该数列的任意项an。,等比数列通项公式的推广公式：,等比数列的通项公式： （nN,q0）,例如：数列an的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：,上式还可以写成,可见，这个等比数列 的图象都在函数 的图象上，如右图所示。,0 1 2 3 4 n,an 8 7 6 5 4 3 2 1,思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？,结论:,等比数列的图象与指数函数之间的关系:,巩固知识 典型例题,6.3 等比数列,（2）除以（1）得,所以，数列的通项公式为,本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法,(1),(2),变形、等比数列an中,a1=2,q=-3,求a8与an.,变形2、等比数列an中,a1=2, a9=32,求q.,变形、等比数列an中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4, 求q的值.,变形、等比数列an中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2,求n.,解：,定义法，只要看,已知数列an满足a11，an12an1. (1)求证：数列an1是等比数列； (2)求数列an的通项公式 【思路点拨】将递推公式变形，然后利用等比数列的定义判定,(2)由(1)知， an1是以a11为首项，2为公比的等比数列 所以an122n12n， 即an2n1.,【名师点评】已知数列的递推关系求通项公式时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列，若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式,小结：填写下表,an+1-an=d,d 叫公差,q叫公比,an+1=an+d,an+1=an q,an= a1+(n-1)d,an=a1qn-1,an=am+(n-m)d,an=amqn-m,
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