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2020/8/10,高等数学课件,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分,第十章,2020/8/10,高等数学课件,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得:,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式” 极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,二、三重积分的计算,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法3 . 三次积分法,假设函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,方法1和方法2是重点和根本，方法3为快速法。,的密度函数 ,方法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续，,2020/8/10,高等数学课件,方法1. 投影法 (“先一后二” ),则三重积分可化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果空间积分区域可表示为,2020/8/10,高等数学课件,例1. 求,解: 上曲面为,V是由柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,例2. 求柱面,解: 上曲面为,的体积，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,方法2. 截面法 (“先二后一”),为与 z 垂直的平行截面的区域.,则三重积分可化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果空间积分区域可表示为,2020/8/10,高等数学课件,例3. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,例4 设V为由以下曲面围的区域:,解：,对应截面区域:,使用截面法计算,对于每一个,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习：先对x后对y定限,2020/8/10,高等数学课件,投影法,方法3. 三次积分法,设区域,利用投影法结果 ,把二重积分化成二次积分即得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,其中 为三个坐标,例4. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,小结: 三重积分的计算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,方法3. “三次积分”,具体计算时应根据,三种方法(包含多种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5,化三重积分,为三次积,分， 其中积分区域,为由曲面,及,所围成的闭区域.,由,得交线投影区域,2020/8/10,高等数学课件,动手题 计算,解一：（投影法）,请分别用两种方法进行计算。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,动手题 计算,解二：（截面法）,请分别用两种方法进行计算。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,1. 将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,2. 求,其中是由半球面,提示:,与锥面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,区域如图所示，,使用“先二后一”：,因为对称性,2020/8/10,高等数学课件,3. 计算三重积分,所围成., 由,分析：若用“先二后一”, 则有,计算较繁!,宜采用“先一(y)后二(x, z)”较好.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,所围,故可,思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?,表为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,推广:换元积分公式,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,雅可比行列式,则,2020/8/10,高等数学课件,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,特殊面举例,圆柱面,半平面,平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,在柱面坐标系中体积元素,因此,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于,2020/8/10,高等数学课件,其中为由,例6. 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体(第一卦限).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,例7. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,球面双参数方程为,2020/8/10,高等数学课件,在球面坐标系中体积元素,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,特殊面举例：,2020/8/10,高等数学课件,因此有,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,例8. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,例9.求曲面,所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为,yoz面对称, 并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xoz,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,动手题 计算,解一：（柱坐标法）,用两种方法计算。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,动手题 计算,解二：（球坐标法）,用两种方法计算。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,变量可分离.,围成 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,适用范围:,1) 积分域表面用对应的坐标系表示时方程简单 ;,2) 被积函数用对应坐标系表示时积分简单.,2020/8/10,高等数学课件,1. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,2. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,3. 计算,其中,解:,利用轮称性和对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,补充 将,按,的次序积分.,
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