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第五章,定积分,积分学,不定积分,定积分,2020/8/10,同济高等数学课件,第一节,一、定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的近似计算,定积分的概念及性质,第五章,四、 定积分的性质,2020/8/10,同济高等数学课件,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,2020/8/10,同济高等数学课件,解决步骤 :,1) 大化小.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,2020/8/10,同济高等数学课件,3) 近似和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,2020/8/10,同济高等数学课件,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1) 大化小.,将它分成,在每个小段上物体经,2) 常代变.,得,已知速度,n 个小段,过的路程为,2020/8/10,同济高等数学课件,3) 近似和.,4) 取极限 .,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,2020/8/10,同济高等数学课件,二、定积分定义 (P225 ),任一种分法,任取,总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数,在区间,上的定积分,即,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,记作,2020/8/10,同济高等数学课件,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,2020/8/10,同济高等数学课件,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,2020/8/10,同济高等数学课件,可积的充分条件:,取,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,(证明略),例1. 利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分, 分点为,2020/8/10,同济高等数学课件,注,注,注. 当n 较大时, 此值可作为 的近似值,注 利用,得,两端分别相加, 得,即,2020/8/10,同济高等数学课件,例2. 用定积分表示下列极限:,解:,2020/8/10,同济高等数学课件,三、定积分的近似计算,根据定积分定义,可得如下近似计算方法:,将 a , b 分成 n 等份:,1. 左矩形公式,例1,2. 右矩形公式,2020/8/10,同济高等数学课件,推导,3. 梯形公式,4. 抛物线法公式,抛物线法公式的推导,上作抛物线(如图),则以抛物线为顶的小曲边梯形 面积经推导可得：,2020/8/10,同济高等数学课件,例3. 用梯形公式和抛物线法公式,解:计算yi(见右表),的近似值.,(取 n = 10, 计算时取5位小数),用梯形公式得,用抛物线法公式得,积分准确值为,计算定积分,2020/8/10,同济高等数学课件,四、定积分的性质,(设所列定积分都存在),( k 为常数),证:,= 右端,2020/8/10,同济高等数学课件,证: 当,时,因,在,上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,于是,2020/8/10,同济高等数学课件,当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,则有,2020/8/10,同济高等数学课件,6. 若在 a , b 上,则,证:,推论1. 若在 a , b 上,则,2020/8/10,同济高等数学课件,推论2.,证:,即,7. 设,则,2020/8/10,同济高等数学课件,例4. 试证:,证: 设,即,故,即,2020/8/10,同济高等数学课件,8. 积分中值定理,则至少存在一点,使,证:,则由性质7 可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,性质7,2020/8/10,同济高等数学课件,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,2020/8/10,同济高等数学课件,例5.,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解: 已知自由落体速度为,故所求平均速度,2020/8/10,同济高等数学课件,内容小结,1. 定积分的定义, 乘积和式的极限,2. 定积分的性质,3. 积分中值定理,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算,抛物线法公式,2020/8/10,同济高等数学课件,思考与练习,1. 用定积分表示下述极限 :,解:,或,2020/8/10,同济高等数学课件,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为 0 !,2020/8/10,同济高等数学课件,2. P235 题3,3. P236 题13 (2) , (4),题13(4) 解:,设,则,即,2020/8/10,同济高等数学课件,作业,P235 *2 (2) ; 6 ; 7 ; 10 (3) , (4) ; 12(3) ; 13 (1) , (5),第二节,
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