资源描述
1,习题课一,第九章,二重积分的计算,目录 上页 下页 返回,一、作业讲评,二、二重积分的计算举例,2,第一次作业共有4题,在点,处连续。,则,故,所以,在点,处连续。,二. 2，证明： 函数,证：法一. 令,（1）第一节：（习题册第一本 P2）,一、作业讲评,目录 上页 下页 返回,3,法二. 因为,所以对任意的,存在,当,时，,即,因此函数,在点,处连续。,错误作法： 有的同学令,取极限，得到,从而得到结论。,目录 上页 下页 返回,4,（2）第二节：（习题册第一本 P4）四,其中,在点,的邻域内连续。问：,应满足什么条件，使,在点,的偏导数存在？,因为函数,在点,处连续，所以,四、设,解：,目录 上页 下页 返回,5,同理，,因为,和,存在，并且,不存在，所以,错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到,因此,目录 上页 下页 返回,6,（3）第三节：（习题册第一本 P6）,时，证明,证明：令,则,其中,因此,所以当,时，,即,错误点：多数同学没有思路。,三当,目录 上页 下页 返回,7,（4）第三节：(习题册第一本 P6),在点,的邻域有定义,且,证明：,在点,可微的充分必要条件是,证明：必要性：因为,在点,可微，且,所以,即,四、设,目录 上页 下页 返回,8,充分性：由,可知，,又,因此,即,在点,错误点：很多同学不清楚可微与偏导数之间的关系， 不清楚可微的概念。,可微。,目录 上页 下页 返回,9,第二次作业共有2题,是由方程,所确定的函数，其中,具有二阶导数，且,（1）求,（2）记,求,解:（1）令,由隐函数求导公式可得，,所以,.,(1) 第五节：(习题册第二本 P30),四、设,目录 上页 下页 返回,10,（2）由（1）可知，,因此,错误点：（1）基本上都能做对，（2）在求偏导时，,是,的函数，只得到了,很多同学都忘了,目录 上页 下页 返回,11,(2) 多元函数微分法 习题课一：(习题册第二本 P32),则,解：由已知条件可知，,则,错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数,一、3.设,不清楚了。,目录 上页 下页 返回,12,第三次作业共有2题,在,处有极值，则,(B),是D内唯一驻点,则必为最大值点;且,(C),(D) 以上结论都不对。,多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13）,填空 1.,(A),D,在,点处不可导，故选D,处有极小值，但在此,注：,目录 上页 下页 返回,13,2. 设函数,在,可微，则,是,点取得极值的,(B) 充分条件；,(A) 必要条件；,(C) 充要条件；,(D) 既非充分条件也非必要条件.,错误点：这两题大概一半的同学都做错了。,答案：A 注：按书上定义应选 B,(2) 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13）,在点,处切线的方向余弦。,二、求曲线,解：方程组,确定了,和,都是,两边对,求导，得到,的函数，,目录 上页 下页 返回,14,解可得:,因此,切向量为,而,所求的方向余弦为,错误点：方向余弦应该是正反两个方向，一半左右的 同学只求了一个方向。,目录 上页 下页 返回,15,1. 设函数,连续,区域,则,等于（ ）,D,例1 选择题,目录 上页 下页 返回,二、例题选讲,16,2. 累次积分,可以写成,（ ）,D,分析:利用直选法.,先将极坐标系下的二次积分化为二重积分，,写出积分域，对照选择。,应选D。,目录 上页 下页 返回,17,3. 设平面区域,在1,2上连续,则,等于（ ）,A,分析:利用直选法.,应选A。,目录 上页 下页 返回,18,例2 设闭区域,在,且,求,在等式两边求二重积分,从而,即,解: 设,上连续,故,目录 上页 下页 返回,19,例 3. 求,其中 D 是右半单位圆,区域。,解：,积分区域关于 x 轴对称，I2 的被积函数为 y 的奇函数，,因此,目录 上页 下页 返回,20,例4. 求,其中 D 是由直线,和 y 轴所围成的闭区域。,x,y,O,解：,目录 上页 下页 返回,21,是关,则,对称性：,若区域 D 关于 y 轴对称 ,奇函数,那么,是关于 x 的,于 x 的偶函数，,若,例 5. 计算累次积分,x,y,O,解：,目录 上页 下页 返回,22,例6. 设f ( x ) 为 a, b 上的正值连续函数，证明：,证：,其中,目录 上页 下页 返回,23,例7.,设 f (x) 在a, b上连续,证明,证:左端,= 右端,目录 上页 下页 返回,24,例8 证明,证: 积分区域为,D(x y)| 0 y a 0 x y,并且D又可表示为,D(x y)|0 x a x y a,所以,目录 上页 下页 返回,25,其中,所以,例9 把积分,表为极坐标形式的二次积分,解 在极坐标下积分区域可表示为D D1 D2 D3,其中积分区域 D(x y)| x2 y 1 1 x 1,目录 上页 下页 返回,26,例10. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,目录 上页 下页 返回,27,解：,原式,例11,给定,改变积分的次序.,目录 上页 下页 返回,28,例12. 求,解：由于,是“积不出”的，怎么办？,要改换积分次序.,先画积分区域D的图形.,由积分表达式知，D： y x 1, 0 y 1,如图：,故 原式 =,目录 上页 下页 返回,29,例13. 设,且,求,解:,交换积分顺序后, x , y互换,目录 上页 下页 返回,（略）,30,解,所围立体在,面上的投影是D,例14.求由下列曲面所围成的立体体积，,目录 上页 下页 返回,31,练习 求,其中D：x2 + y2 1,解：若D或被积函数 f 中含有x2 + y2时，极坐标。,令x = rcos, y = rsin, 则,x2+y2 1的极坐标方程为r = 1.,则,D: 0 r 1, 0 2,目录 上页 下页 返回,32,另由几何意义：,目录 上页 下页 返回,33,练习,计算积分,其中D 由,所围成 .,提示:如图所示,连续,所以,目录 上页 下页 返回,34,例15. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少?,提示: 建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圆心上 ,目录 上页 下页 返回,35,例16. 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,目录 上页 下页 返回,36,(2)积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,目录 上页 下页 返回,37,例17. 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,目录 上页 下页 返回,38,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,目录 上页 下页 返回,39,例18.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,目录 上页 下页 返回,
展开阅读全文