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第二章类型一：勾股定理的直接用法 1、在 ABC 中，C=90 (1)已知 a=6， c=10，求 b；(3)已知 c=25，b=15，求 a.勾股定理(2)已知 a=40，b=9，求 c；举一反三【变式】 :如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少 ?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在 中， ， ，. 求：BC 的长.求证：举一反三【变式 1】如图，已知： 于 P.， ，【变式 2】已知：如图， B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四 边形 ABCD 的面积。类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方 向走了 到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。 （1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状 如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农 村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四 个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如 图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线举一反三【变式 1】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm， 是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求 出爬行的最短路程【变式 2】如图是一个长方体盒子，长 AB4，宽 BC2，高 CG1 (1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点 A 沿盒子表面爬到点 G，那么它所行走的最短路线的长是 _(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为 _点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思 想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段的长度为 长2+宽2+高2 【变式 3】如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 到点 C 的距离为 5， 如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，那么它需要爬行的最短距离是 ( )A5 B25C15 D 35【变式 4】一个长方体同一顶点处的三条棱长分别是 3、4、12，则这个长方体 内能容下的最长木棒的长度为_【变式 5】如图，将一根 25 cm 长的细术棒放入长、宽、高分别为 8 cm、6 cm 和 10 3 cm 的 长 方 体 无 盖 盒 子 中 ， 则 细 木 棒 露 在 盒 外 面 的 最 短 长 度 是 _cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为 、 、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角 ACB，使 AB 为斜边；（2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边。斜边为、 、；、的长度就是、 、 、 。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 ACOA 且截取 AC=1， 以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为 。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确） 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）7、如果ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC 的形状。举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中， B=90， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD 的面积。【变式 2】已知 ABC 的三边分别为 m2 n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数 ,且 mn),判断 ABC 是否为直角三角形 .【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF= AB。请问 FE 与 DE 是否垂直 ?请说明。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面 积。举一反三 【变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为a。【变式 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【变式 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。【变式 4】（1）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15 ，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D 、8，39，40（2）已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边的长是 _【变式 5】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的 直角三角形围成的，在 ABC 中，若直角边 AC6，BC5，将四个直角三 角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”， 则这个风车的外围周长 (图中的实线 )是_1 2 34 1 2 3 4【变式 6】如图，在直线 l 上依次摆放着七个正方形，其中，斜放置的三个正方 形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 S 、S 、S 、 S ，则 S S S S _【变式 7】如图，已知 1 号、 4 号两个正方形的面积为为 7，2 号、3 号两个正 方形的面积和为 4，则 a，b，c 三个方形的面积和为 ( )A11 B15 C10 D 22【变式 8】在 ABC 中，B90，两直角边 AB7，BC24，三角形内有 一点 P 到各边的距离相等，则这个距离是 _类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一 所中学， AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响， 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说 明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为 多少秒？举一反三 【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角 而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假 设 2 步为 1m），却踩伤了花草。【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角 形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）。类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形， 将问题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示 ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、 F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。（二）方程的思想方法4、如图所示，已知 ABC 中，C=90，A=60， ，求 、 、 的值。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。类型四：平方根、立方根与实数5、(1)若 x -1 - 1 -x =(x+y)2，则 xy 的值为 ( )A 1 B1 C 2 D 3(2)已知 a 为实数，那么 -a2 等于( )Aa B a C 1 D 0【变式】（1）已若“ a -8(b27)20，则 3a +3b =_（2）已知 x、y 都是实数，且 y x -2 + 2 -x +3，则 xy_（3）若 x -4(y6)20，则 xy_(4)若 a -2 + b -3 +(c-4)2=0，则 abc_6、已知 8 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 (a)3(b2)2_ 【变式 1】（1）估计 20 的算术平方根在 A2 与 3 之间 B3 与 4 之间( )C4 与 5 之间D5 与 6 之间（2）估算 27 2 的值在 ( )A1 和 2 之间 B2 和 3 之间 间（3）估算 17 1 的值在 A2 和 3 之间 B3 和 4 之间C3 和 4 之间( )C4 和 5 之间D 4 和 5 之D5 和 6 之间【变式 2】若 13 -1的整数部分为 a， 333的整数部分为 b，求 4a +9b -10的值7、已知 2al 的平方根是 3 根，3a2bl 的平方根是3，求 4ab 的算术平方【变式】（1）若 5x6 的平方根是 1，则 x_。(2)一个正数 x 的算术平方根是 a，那么 x2 的算术平方根是 _，x 1 的立方根是_4 . .【 变式】 下列各数：3.5，22 355 1(3)一个数的算术平方根是 8，则这个数的立方根是 _； 3 64 的平方 根是 _（4）已知 (xy2)(xy2)45，则 xy 的值是_（5）如果一个数的平方根是 a3 与 2a15，那么这个数是 _； （6）如果 5x4 的平方根是 1，那么 x_(7)如果 3x+12 的立方根是 3，求 2x+6 的平方根；(8)已知一个正数的平方根是 2a1 与a+2求 a2009的值8、在实数 ， 3 273，52， 0.5757，0.121 121 112， ，18，0.351， 3，3.141 59 中，无理数有 ( ) A2 个 B3 个C4 个D5 个，3. 141 6，902，3.51， ， ，4.121121112， 7 133 907.030 303 中 ， 有 理 数 有 _ ， 无 理 数 有 _类型五：科学记数法与有效数字9、用四舍五入法，按括号内的要求取下列各数的近似数(1) 60 340(保留 2 个有效数字 )； (2)0.038 49(保留 2 个有效数字 )； (3)0.000 077(精确到 0.000 01)； (4) 81595(精确到百位 )【变式】 (1) 3.4 万精确到_位，有 _个有效数字(2)5.82104精确到_位，有_个有效数字（ 3 ） 6.510 104 精确到 _ 位，有 _ 个有效数字，分别是 _
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