MPA联考数学定积分课件

1第五章第五章 定积分定积分 定积分和不定积分是积分学的两个定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的一种认识问题、分析问题、解决问题的definite integral不定积分侧重于基本积分法的训练不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分主要组成部分.思想方法思想方法.2第五章第五章 定积分定积分基本要求基本要求 理解定积分的定义和性质理解定积分的定义和性质,微积分基微积分基本定理本定理,了解反常积分的概念了解反常积分的概念,掌握用定积掌握用定积分表达一些几何量与物理量分表达一些几何量与物理量(如面积、体如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法积、弧长、功、引力等）的方法.3第一节第一节 定积分定积分的概念与性质的概念与性质定积分问题举例定积分问题举例定积分的定义定积分的定义关于函数的可积性关于函数的可积性定积分的几何意义和物理意义定积分的几何意义和物理意义小结小结 思考题思考题 作业作业 定定 积积 分分定积分的性质定积分的性质*definite integral41.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出定积分概念也是由大量的实际问题抽象出求由连续曲线求由连续曲线及及0)(xfy所所围围成成0,ybxax和和直线直线.A的曲边梯形的面积的曲边梯形的面积一、一、定积分问题举例定积分问题举例定积分的概念与性质定积分的概念与性质来的来的,现举两例现举两例.ab)(xfy Oxy?A5用用矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积（五个小矩形）（五个小矩形）（十个小矩形）（十个小矩形）habAhxf)(,)()(矩形面积公式为矩形面积公式为时时常数常数思想思想以直代曲以直代曲显然显然,小矩形越多小矩形越多,矩形总面积越接近曲边矩形总面积越接近曲边定积分的概念与性质定积分的概念与性质近似取代曲边梯形面积近似取代曲边梯形面积OxyOxy6ab)(xfy 个个分成分成把区间把区间nba,1iixx 在在每每个个小小区区间间 采取下列四个步骤来求面积采取下列四个步骤来求面积A.(1)分割分割任任意意用用分分点点,1210bxxxxxann (2)取近似取近似为为底底，以以,1iixx,iA 的的窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积上上对对应应表表示示,1iiixxA 定积分的概念与性质定积分的概念与性质;1 iiixxx，小区间小区间,1iixx 长度为长度为)(if 为高的小矩形为高的小矩形,面积近似代替面积近似代替nixfAiii,2,1,)(有有Oxyix1x1 ix1 nx，上任取一点上任取一点i i iA 7 AiniixfA )(lim10 (3)求和求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积面积A的近似值的近似值.(4)求极限求极限 为了得到为了得到A的精确值的精确值,时时，趋趋近近于于零零)0(取极限取极限,形的面积形的面积:分割无限加细分割无限加细,定积分的概念与性质定积分的概念与性质iniixf )(1 极限值就是曲边梯极限值就是曲边梯,max21nxxx 即小区间的最大长度即小区间的最大长度82.求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程思想思想以不变代变以不变代变设某物体作直线运动设某物体作直线运动,已知速度已知速度)(tvv 是时间间隔是时间间隔tTT上上,21的一个连续函数的一个连续函数,0)(tv且且求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路把整段时间分割成若干小段把整段时间分割成若干小段,每小段上每小段上速度看作不变速度看作不变,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加,便便得到路程的近似值得到路程的近似值,最后通过对时间的无限最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值定积分的概念与性质定积分的概念与性质9(1)分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )(3)求和求和iinitvs )(1(4)取极限取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值(2)取近似取近似is),2,1(ni 0 令令定积分的概念与性质定积分的概念与性质表示在时间区间表示在时间区间内走过的路程内走过的路程.,1iitt 某时刻的速度某时刻的速度10二、定积分的定义二、定积分的定义设函数设函数f(x)在在a,b上有界上有界,在在a,b中任意插入中任意插入定义定义若干个分点若干个分点bxxxxxann 1210把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间,各小区间长度依次为各小区间长度依次为),2,1(,1nixxxiii 在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点),(iiix 作乘积作乘积),2,1()(nixfii 并作和并作和iinixfS )(1 记记,max21nxxx 如果不论对如果不论对(1)(2)(3)(4)上两例共同点上两例共同点:;II2)方法一样方法一样;1)量具有可加性量具有可加性,3)结果形式一样结果形式一样.定积分的概念与性质定积分的概念与性质,ba11被积函数被积函数被积表达式被积表达式记为记为积分和积分和怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间,1iixx 上点上点i 怎样的取法怎样的取法,只要当只要当,0时时 和和S总趋于确定的总趋于确定的极限极限I,称这个极限称这个极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分.定积分的概念与性质定积分的概念与性质iniibaxfIxxf )(limd)(10 积分下限积分下限积分上限积分上限积分变量积分变量a,b积分区间积分区间12 baxxfd)(bafd)(,)()1(11iiiniixxbaxfS 的分法及在的分法及在是与是与,)(lim110iiiniixxbaxfI 的分法及在的分法及在是与是与 (2)的结构和上、下限的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理进行推理.定积分是一个数定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数定积分数值只依赖于被积函数定积分的概念与性质定积分的概念与性质取取法法上上i 有关有关;注注取取法法上上i 无关无关.而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关.tt bafd)(u u13,0)(xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值 baxxfd)(1.几何意义几何意义2A 1A 3A 定积分的概念与性质定积分的概念与性质三、定积分的几何意义和物理意义三、定积分的几何意义和物理意义Oxyab)(xf1A2A3A14几何意义几何意义定积分的概念与性质定积分的概念与性质 baxxfd)(各部分面积的代数和各部分面积的代数和.取负号取负号.它是介于它是介于x轴、函数轴、函数 f(x)的图形及两条的图形及两条直线直线 x=a,x=b之间的之间的在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号;在在 x 轴下方的面积轴下方的面积Oxyab)(xf 15例例xx d1102 求求解解4 21xy 2.物理意义物理意义,0)(时时当当 tvt=b所经过的路程所经过的路程 s.)(tvv oxy11 xx d1102 battvd)(作直线运动的物体从时刻作直线运动的物体从时刻 t=a 到时刻到时刻定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分定积分表示以变速表示以变速16定理定理1 1定理定理2 2或或记为记为.,baRf 黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866)定积分的概念与性质定积分的概念与性质四、四、关于函数的可积性关于函数的可积性,)(上上连连续续在在设设baxf上上在在则则,)(baxf可积可积.,)(上上有有界界在在设设baxf且只有有限个间且只有有限个间上上在在则则,)(baxf可积可积.当函数当函数上上在区间在区间,)(baxf的定积分存在时的定积分存在时,上上在区间在区间称称,)(baxf可积可积.黎曼可积黎曼可积,断点断点,充分条件充分条件17解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例 用定义计算由抛物线用定义计算由抛物线,2xy ,等分等分n,nixi 分分点点为为分分成成将将1,0nin1定积分的概念与性质定积分的概念与性质和和x轴所围成的曲边梯形面积轴所围成的曲边梯形面积.直线直线1 xni2,1 小区间小区间,1iixx 的长度的长度,1nxi ni2,1 取取,iix ni2,1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOx18nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim31 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 niinixf )(1 nn121161对于任一确定的自然数对于任一确定的自然数,n积分和积分和 xx d102当当n取不同值时取不同值时,xx d102 近似值精度不同近似值精度不同.n取得越大取得越大,近似程度越好近似程度越好.19定积分的概念与性质定积分的概念与性质讨论定积分的近似计算问题讨论定积分的近似计算问题.,)(baCxf 设设 baxxfd)(存在存在.n等分等分,用分点用分点bxxxxan ,210分成分成n个长度相等个长度相等的小区间的小区间,长度长度,nabx 取取,1 iix 有有 iniibaxfxxf )(limd)(10 baxxfd)(ni 1nab )(1 ixf nlim)(lim11 niinxfnab每个小区间每个小区间对任一确定的自然数对任一确定的自然数,n)(11 niixfnab,a b将,a b将20定积分的概念与性质定积分的概念与性质nab baxxfd)()(11 niixfnab),2,1,0(ni iiyxf)(记记取取,1 iix,nabx 如取如取,iix baxxfd)(nab baxxfd)(矩形法矩形法公式公式).(110 nyyy).(21nyyy 矩形法的矩形法的几何意义几何意义xOy)(xfy ab21对定积分的对定积分的补充规定补充规定,)1(时时当当ba baxxfd)(0,)2(时时当当ba baxxfd)(abxxfd)(定积分的概念与性质定积分的概念与性质五、定积分的性质五、定积分的性质在下面的性质中在下面的性质中,假定定积分都存在假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小22证证 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)(baxxgd)(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质性质1 1定积分的概念与性质定积分的概念与性质 baxxgxfd)()(babaxxgxxfd)(d)(23证证 baxxkfd)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 baxxfkd)(性质性质2 2性质性质1和性质和性质2称为称为定积分的概念与性质定积分的概念与性质线性性质线性性质.baxxkfd)(baxxfkd)()(为常数为常数k24cba,例例 cba 若若 caxxfd)(baxxfd)(baxxfd)(caxxfd)(bccaxxfxxfd)(d)(定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)则则性质性质3 3 cbxxfd)(cbxxfd)(定积分的概念与性质定积分的概念与性质假设假设bca baxxfd)(axxfd)(bxxfd)(cc的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.不论不论25证证0)(xf0)(if ni,2,1 0 ix0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 baxxf0d)(性质性质4 4性质性质5 5定积分的概念与性质定积分的概念与性质 baxd1 baxdab 如果在区间如果在区间上上,ba,0)(xf则则 baxxf0d)()(ba 26解解 令令xexfx )(0,2 x0)(xf0d)(02 xxexxexd02 xxd02 于是于是xexd20 定积分的概念与性质定积分的概念与性质xxd20 比较积分值比较积分值xexd20 和和xxd20 的大小的大小.例例27性质性质5 5的推论的推论1 1证证)()(xgxf 0)()(xfxg0d )()(xxfxgba0d)(d)(babaxxfxxg定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果在区间如果在区间上上,ba),()(xgxf 则则 babaxxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 babaxxgxxfd)(d)(性质性质5 5 如果在区间如果在区间上上,ba,0)(xf则则 baxxf0d)()(ba 28)(ba 证证|)(|)(|)(|xfxfxf 说明说明性质性质5 5的推论的推论2 2定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质5 5 如果在区间如果在区间上上,ba,0)(xf则则 baxxf0d)()(ba babaxxfxxfd|)(|d)(babaxxfxxfd|)(|d)(baxd baxd baxd可积性是显然的可积性是显然的.上上的的在在,|)(|baxf由由推论推论1 129证证Mxfm )(bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba (此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围)性质性质6 6定积分的概念与性质定积分的概念与性质mM和和设设分别是函数分别是函数上上的的在在,)(baxf最大值及最小值最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba 则则30解解xxf3sin31)(,0 x1sin03 x31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030 3dsin31403 xx定积分的概念与性质定积分的概念与性质估计积分估计积分.dsin3103的值的值xx 例例)(d)()(abMxxfabmba 31解解xxxfsin)(2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4 x,2,4)(Cxf定积分的概念与性质定积分的概念与性质估计积分估计积分.dsin24的的值值xxx 例例上上在在 2,4)(xf,22)4(fM,2)2(fm4 ab dxxx24sin 422 42 )(d)()(abMxxfabmba 22 2132证证Mxxfabmba d)(1)(d)()(abMxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理由闭区间上连续函数的介值定理:性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间上上,ba连续连续,则在积分区间则在积分区间上上,ba至少存在一点至少存在一点,使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 积分中值公式积分中值公式上上在在,ba至少存在一点至少存在一点,baxxfabfd)(1)(使使即即)(d)(abfxxfba ).(ba 33定理用途定理用途)(f注注定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间上上,ba连续连续,则在积分区间则在积分区间上上,ba至少存在一点至少存在一点,使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 无论从几何上无论从几何上,还是从物理上还是从物理上,都容易理解都容易理解平均值公式平均值公式求求连续变量的连续变量的平均值平均值要用到要用到.如何去掉积分号来表示积分值如何去掉积分号来表示积分值.baxxfabfd)(1)()(ba .,)(上的平均值上的平均值在区间在区间就是就是baxf34).1(设设解解.2 T周周期期 21例例 200dsin2ttE0 定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分几何意义定积分几何意义 E 2tE sin0td0求电动势求电动势在一个周期上的在一个周期上的tEE sin0 平均值平均值35积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释定积分的概念与性质定积分的概念与性质)(d)(abfxxfba )(ba 上上,ba至少存在一点至少存在一点 在区间在区间,使得以区间使得以区间,ba为底边为底边,以曲线以曲线)(xfy 为曲边的曲边梯形的为曲边的曲边梯形的面积面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积的一个矩形的面积.)(xfy ab )(fOxy36例例0dsinlim xxxannn求求证证证证 由由积分中值定理积分中值定理有有 xxxanndsin annn xxxannndsinlim annn sinlim 0(a为常数为常数)nn sin定积分的概念与性质定积分的概念与性质)(nan )()(d)(baabfxxfba 373.定积分的性质定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用注意估值性质、积分中值定理的应用)4.典型问题典型问题(1)估计积分值估计积分值;(2)不计算定积分比较积分大小不计算定积分比较积分大小.定积分的概念与性质定积分的概念与性质六、小结六、小结1.定积分的实质定积分的实质:特殊和式的极限特殊和式的极限.2.定积分的思想和方法定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变以直代曲、以匀代变.四步曲四步曲:分割、分割、取近似、取近似、求和、求和、取极限取极限.思想思想方法方法38思考题思考题10dsinsinlim40 xxnxnn 求求证证证证,4,0时时当当 x|sinsin|xnxn n4sin n 21xxnxndsinsin40 0421 n0)(n 夹逼定理夹逼定理即得即得0dsinsinlim40 xxnxnn 定积分的概念与性质定积分的概念与性质39思考题思考题2,d226 xxxyyxx20,2,6 及及由由解解上上的的在在作作262 xxy由定积分几何意义可知由定积分几何意义可知的的面面积积就就等等于于 OABxx 26d2轴轴下下在在的的面面积积减减去去xOCD().方方的的面面积积为为负负定积分的概念与性质定积分的概念与性质用定积分的几何意义计算用定积分的几何意义计算并求并求所围成图形的所围成图形的面积面积(如图如图).xy2 A26 xyODBC 图形图形,40 xy2 A26 xyODBC44221 的面积的面积OAB3612621 的的面面积积OCD.32364d226 xx 所围成所围成及及再求由直线再求由直线xyyxx20,2,6 :图图形形的的面面积积为为 26d|2|xxA.40422112621 0620d2d2xxxx定积分的概念与性质定积分的概念与性质41第三节第三节 定积分的换元法定积分的换元法 和分部积分法和分部积分法定积分的换元法定积分的换元法小结小结 思考题思考题 作业作业定积分的定积分的分部积分分部积分法法definite integral by partsdefinite integral by substitution第五章第五章 定积分定积分42 上一节的牛上一节的牛莱公式将定积分的计算莱公式将定积分的计算的形式的形式,而不定积分可用换元法而不定积分可用换元法和分部积分法求积和分部积分法求积,这样定积分的计算问题这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了已经比较完满地解决了.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法归结为求不定积分归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分如果将换元法和分部积分法写成定积分常可使得计算常可使得计算更简单更简单.43定理定理1则有则有 baxxfd)(定积分换元公式定积分换元公式假设函数假设函数上上或或在在),(,)(t;)(,)(ba f )(t tt d)(定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法,)(baCxf 函数函数)(tx 满足条件满足条件:(1)(2)具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域,baR definite integral by substitution44证证,)(baCxf 因为因为),(xF xxfbad)()(ddtFt 是是故故)(tF tttfd)()()()(aFbF 故有故有 tttfxxfbad)()(d)(则则由于由于 tttfxxfbad)()(d)()(tF )()(ttf 的的)()(ttf N-L公式公式)()(aFbF N-L公式公式则则 )()(FF 所以存在原函数所以存在原函数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法原函数原函数,)(t 45注注由于积分限做了相应的由于积分限做了相应的故积出来的原函数不必回代故积出来的原函数不必回代;求定积分的方法有两种方法求定积分的方法有两种方法:可用可用N-L公式公式;从换元的观点从换元的观点.tttfxxfbad)()(d)(1),时时当当 换元公式仍成立换元公式仍成立;(2)在定积分换元公式中在定积分换元公式中,改变改变,(3)定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法46例例 解解 203dsin xx 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 xtcos ttd)1(2 01331tt 在用在用“凑凑”微分的方法微分的方法时时,0 x32xtcos 1 t,2 x0 t不明显地写出不明显地写出下限就不要变下限就不要变.定积分的上、定积分的上、2 001新的变量新的变量 t,注注定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法47或或 203dsin xxxxxdsinsin202 202cosd)cos1(xx203cos31cos xx 32 例例 )0(d022 axxaa解解原式原式ttadcos202 ,sintax 令令2,0,0 taxtx 20d22cos1 tta241a 这是半径为这是半径为a的四分之一的圆的面积的四分之一的圆的面积.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法.dcosdttax 48例例 解解 43)ln1(lndeexxxx原式原式 43)ln1(ln)(lndeexxx 43)ln1(ln)(lndeexxx 432)ln(1lnd2eexx 43)lnarcsin(2eex.6 )ln(dx定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法xxlndln12149解解 aaxxax022)0(d1令令,sintax ax 2 t0 x0 tttaxdcosd 原式原式 ttcossin 20dcossinsincos121 ttttt 20cossinln21221 tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 20 tcostd tsintcos tsin 2150 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子的例子.换元积分换元积分例例 则则上可积上可积在区间在区间设设,)(aaxf 证证 由于由于 aaxxfd)(0d)(axxf对对,tx 令令 axxf0d)(由由被积函数的变化和积分区间变化被积函数的变化和积分区间变化来确定变换来确定变换.通常通常 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(0a定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法作作变换变换,.ddtx 还可以证明一些定积分等式还可以证明一些定积分等式,51,ax ,0 x 0d)(axxf attf0d)(x利用这一结果计算利用这一结果计算:xexxd1cos44 22xexexxxd1cos1cos40 则则;at .0 t 0d)(attftx 令令 40dcos xx定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法.ddtx x aaxxfd)(axxf0d)(0d)(axxf0()d()()daaaf xxf xfxx52可得可得:由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.,)(上上连连续续在在当当aaxf 且有且有,)()1(为偶函数为偶函数xf则则 aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(为为奇奇函函数数xf则则 aaxxf0d)(定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法0()d()()daaaf xxf xfxx由53 xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d412 00例例 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法2054证证(1)tx 2 例例 证证明明上上连连续续在在若若,1,0)(xf 2020;d)(cosd)(sin)1(xxfxxf 00,d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf由此计算由此计算 02.dcos1sinxxxx设设定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 20d)(sin xxf ttfd2sin 02 20d)(cos ttf 20d)(cos xxf02 txdd 证毕证毕.55定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法tx txdd 0d)(sinxxxf 0d)(sin)(ttft设设 0d)(sinxxxf.d)(sin20 xxf证证由此计算由此计算 02.dcos1sinxxxx 00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf 0d)(sinttf 0d)(sinttft0 证证明明上上连连续续在在若若,1,0)(xf0 xx x()sin()dt ftt 56 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 说明说明:尽管尽管,0cos1sin2 Cxxx 但由于它没有但由于它没有初等原函数初等原函数,故此积分无法直接用故此积分无法直接用N-L公式求得公式求得.0d)(sinxxxf定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法0(sin)d2fxx57.d)(d)(,)(0为任何常数为任何常数则则的周期的周期是连续函数是连续函数如果如果axxfxxfxfTTaaT 这个公式就是说：这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等区间上的定积分都相等.(留给同学证留给同学证)定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法58例例 312d)2(,0,0,1)(xxfxexxxfx求求设设解解 法一法一,2tx 令令tx 2txdd 31d)2(xxf tetd10 e137 tt d)1(012 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法)(tftd1 13159法二法二 )2(xf即即 ,2,2,54)2(22xexxxxfx 31d)2(xxf 1 3e137 ,02 x,)2(12 x,02 x,)2(xexxxd)54(2 xexd2 22定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法2311,0,()(2)d,0,xxxf xf xxex 设求60 xxttxtx020dsin1lim求极限求极限解解被积函数中除积分变量被积函数中除积分变量t外还含有变量外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换应先作换元变换,uxt 令令,xut 则则0 t;0 u.2xu xt xttxt0dsin.ddxut uuuxdsin20 xxxxx22sinlim220 1 00分析分析02xxuusinxud 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法2020sindlimxxuuux原式61定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法选择题选择题设函数设函数)(xf连续连续,则下列函数中则下列函数中,必为必为偶函数偶函数的是的是.d)()(02ttfAx.d)()(02ttfBx.d)()()(0ttftftCx .d)()()(0ttftftDx 分析分析 xttfx0d)()()(0d)(ttfx x 2002年考研数学选择年考研数学选择3分分)(Attfxd)(02 )(xut ud x0utdd )(2uf )(x 62定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法二、定积分的二、定积分的分部积分分部积分法法设设)(),(xvxu上上在在区区间间,ba有有连续的导数连续的导数,则则 vuddefinite integral by parts定理定理2uv uvd由不定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法abbaab及及N-L公式公式.bababauvuvvudd63例例 30d1arcsinxxx解解xxx 1arcsin334 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法uvd原式原式=30 30 xxxxd)1(2 xxxd)(1)(3022 11 xd)arctan(xx 30 301xx64例例 解解 102d)2()1ln(xxx 10)1ln(x2ln 10)2ln()1ln(312lnxx 2ln31 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法1990年考研数学计算年考研数学计算5分分原式原式=u dx 21xx 2)1ln(10 xxxd112110 xd10 xx21113165例例 解解 21,dsin)(xtttxf设设.d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx102)(21xfx 102)(d21xfx)1(21f 102d)(21xxfx无法直接求出无法直接求出),(xf所以所以因为因为ttsin没有初等原函数没有初等原函数,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法分析分析被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”,用用分部积分法分部积分法做做.u 10)(xf21选择选择积分上限的函数积分上限的函数为为.u 21dsin)(xtttxf 110)1(f22sin)(xxxf xx2sin2 x2 66 102dsin221xxx 1022dsin21xx102cos21x).11(cos21 )1(21f 102d)(21xxfx定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 10d)(xxxf0)1(f)(xf xx2sin2 注注今后也可将原积分化为二重积分计算今后也可将原积分化为二重积分计算.67例例 证明定积分公式证明定积分公式证证设设,sin1xun ,dsindxxv xnun 2sin)1(d ,cos xv xxxxInnndcosdsin02 02 2020d)(cosd)(sin xxfxxfn为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数,22143231 nnnn,3254231 nnnn,dcosxx nI201cossin xxn xxxnndcossin)1(2022 J.Wallis公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出给出.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 68x2sin1 0 xxnInndsin)1(202)1(n21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止 20dsin xxInnxxnndsin)1(20 2 nI)1(nnI 200d xI 201dsin xxI因为因为,2,1定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 nI201cossin xxn xxxnndcossin)1(2022 2 nn换换成成69所以所以,21 nnInnI 4231nInnnn02143231Innnn 22143231 nnnn21 nnInnI 4231nInnnn13254231Innnn 13254231 nnnn,12 nnInnI4223 nnInnI当当n为正偶数时为正偶数时,当当n为大于为大于1的正奇数时的正奇数时,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法70例例 xxxxdcosdsin207207 xxxxdsindcos20102010 109 2200dcosdsin xxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用上公式在计算其它积分时可以直接引用.注注 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法54 7632 1 65 87 43 21 2 71例例 xxxd42202 解解,sin2tx 令令 原原式式ttxdcos2d tttd)sin(sin162042 用公式用公式tcos2 ttdcos2 n为正偶数为正偶数22143231dsin20 nnnnxxn定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法0 2 t2sin402 72xxeedln)1(1 计算计算解解 xxeedln1用定积分的分部积分公式用定积分的分部积分公式e22 e11 e1xxdlnxxdln 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法73xxxeed)tan1(sin)2(24 计计算算 43 解解,为周期为周期由于被积函数以由于被积函数以 x4sin则则xxxed)tan1(sin4 xxxed)tan1(sin24 xxxeed)tan1(sin4 xxxd)tan1(sin24 xxdsin4204 221434 xxtansin4是奇函数是奇函数,是偶函数是偶函数,原式原式 e e2 2 周期函数在任何长为一周期的区间上周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等的定积分都相等.2定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法n为正偶数为正偶数22143231dsin20 nnnnxxn74定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 bababauvuvvudd定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法三、小结三、小结定积分的换元公式定积分的换元公式xxfbad)(tttfd)()(奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式75思考题思考题1 试检查下面运算是否正确试检查下面运算是否正确?如不正确如不正确,1121dxx tt1d111112tx1 如令如令 1121dtt 1121dxx 1121dxx0 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 希指出原因希指出原因.解答解答注意注意,0112 x可可知知 1121dxx必定大于零必定大于零.上述运算的问题在于引进的变换上述运算的问题在于引进的变换tx1,1,1上上不不连连续续在在 不满足换元法则的前提条件不满足换元法则的前提条件.76思考题思考题2解答解答 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 10)2(21xfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff .2 10d)2(21xxf )2(21f 10)2(d)2(41xxf定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法.d)2(,5)2(,3)2(10 xxfxff求求,1)0(,1,0)(fxf且且上上连连续续在在设设