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高考导航2016届新课标数学（理）一轮复习 第七章 第7讲 第1课时 证明空间中的位置关系 轻松闯关1. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，AC?CD，?ABC,60?，PA,AB,BC，E是PC的中点(证明: (1)AE?CD; (2)PD?平面ABE. 证明:AB、AD、AP两两垂直建立如图所示的空间直角坐标系设PA,AB,BC,1则P(001)( (1)?ABC,60?AB,BC ?ABC为正三角形( 13131?C(0)E()( 22442?设D(0y0)由AC?CD得AC?CD,0 2323即y,则D(00) 3313?CD,(,0)( 26131?又AE,() 4421133?AE?CD,，,0 2464?AE?CD即AE?CD. 23?(2)?P(001)?PD,(0,1)( 33231?又AE?PD,，(,1),0. 432?PD?AE即PD?AE. ?AB,(100)?PD?AB,0. ?PD?AB又AB?AE,A?PD?平面AEB. 2. (2015?汕头模拟)如图所示的长方体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正1111方形，O为AC与BD的交点，BB,2，M是线段BD的中点( 111(1)求证:BM?平面DAC; 1(2)求证:DO?平面ABC. 11证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系则点O(110)D(0102)( ?OD,(,1,12)( 1又点B(220)M(112) ?BM,(,1,12) ?OD,BM.又?OD与BM不共线 11?OD?BM. 1又OD?平面DACBM?平面DAC 111?BM?平面DAC. 1(2)连接OB点B(222)A(200)C(020) 11?OD?OB,(,1,12)?(112),0OD?AC,(,1,12)?(,221110),0 ?OD?OBOD?AC即OD?OBOD?AC 111111又OB?AC,O?DO?平面ABC. 1113. 如图，在四面体A-BCD中，AD?平面BCD，BC?CD，AD,2，BD,22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ,3QC.证明:PQ?平面BCD. 证明:如图取BD的中点O连接OP以O为原点ODOP所在射线为yz轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz. 由题意知A(022)B(0,20)D(020)( 设点C的坐标为(xy0)( 00?因为AQ,3QC 3231所以Q(x，y)( 004442因为M为AD的中点 故M(021)(又P为BM的中点 1323?故P(00)所以PQ,(x，y0)( 002444又平面BCD的一个法向量为a,(001) ?故PQ?a,0.又PQ?平面BCD所以PQ?平面BCD. 4. 如图，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，?ACD为等边三角形，AD,DE,2AB，F为CD的中点( (1)求证:AF?平面BCE; (2)求证:平面BCE?平面CDE. 证明:(1)设AD,DE,2AB,2a建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则A(000)C(2a00) B(00a)D(a3a0) E(a3a2a)( ?F为CD的中点 33,?F. aa0,22?3,3,AF,BE,(a3aa) aa0,22?BC,(2a0,a)( 1?AF,(BE，BC)AF?平面BCE 2?AF?平面BCE. ?33,(2)?AF,CD,(,a3a0) aa0,22?ED,(00,2a) ?AF?CD,0AF?ED,0 ?AF?CDAF?ED. 又CD?DE,D ?AF?平面CDE 即AF?平面CDE. 又AF?平面BCE ?平面BCE?平面CDE. 1. 如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA?底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，PA,AB,1，BC,2. (1)求证:EF?平面PAB; (2)求证:平面PAD?平面PDC. 证明:(1)以A为原点AB所在直线为x轴AD所在直线为y轴AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则A(000)B(100)C(120)D(020)P(001) 111,?E1F01. ,2221?,EF,00 ,2?AP,(001)AD,(020) ?DC,(100)AB,(100)( 1?EF,AB 2?EF?AB即EF?AB. 又AB?平面PABEF?平面PAB ?EF?平面PAB. ?(2)?AP?DC,(001)?(100),0 ?AD?DC,(020)?(100),0 ?AP?DCAD?DC 即AP?DCAD?DC. 又AP?AD,A ?DC?平面PAD. 又?DC?平面PDC ?平面PAD?平面PDC. 2(如图(1)所示，在Rt?ABC中，?C,90?，BC,3，AC,6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE?BC，DE,2，将?ADE沿DE折起到?ADE的位置，使AC?CD，如图11(2)所示( (1)求证:AC?平面BCDE; 1(2)线段BC上是否存在一点P，使平面ADP与平面ABE垂直,说明理由( 11解:(1)证明:?AC?BCDE?BC ?DE?AC?DE?ADDE?CD 1?DE?平面ADC?DE?AC. 11又?AC?CD?AC?平面BCDE. 11(2)线段BC上不存在一点P使平面ADP与平面ABE垂直(理由如11下: 如图所示以C为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz则A(00123)D(020)B(300)E(220)( 假设这样的点P存在设其坐标为(p00)其中p?03设平面?ABE的法向量为n,(xyz)则n?AB,0n?BE,0. 11?又因为AB,(30,23)BE,(,120)所以 13x,23z,0, ,x，2y,0.令y,1则x,2z,3所以n,(213)( 设平面ADP的法向量为m,(xyz) 1111?则m?AD,0m?DP,0. 1?又因为AD,(02,23)DP,(p,20) 12y,23z,0,p11所以,2则y,pz,. 令x,111,px,2y,0.311p所以m,(2p)( 3当且仅当m?n,0时平面ADP?平面ABE. 11m?n,0即4，p，p,0解得p,2与p?03矛盾( 所以线段BC上不存在一点P使平面ADP与平面ABE垂直( 113. 如图，四棱锥S-ABCD中，ABCD为矩形，SD?AD，且SD?AB，AD,a(a0)，AB,2AD，SD,3AD，E为CD上一点，且CE,3DE. (1)求证:AE?平面SBD; (2)M，N分别为线段SB，CD上的点，是否存在M，N，使MN?CD且MN?SB，若存在，确定M，N的位置;若不存在，说明理由( 解:(1)证明:?四棱锥S-ABCD中ABCD为矩形SD?AD且SD?ABAD?AB,A?SD?平面ABCD. ?SD?AE. BD就是SB在平面ABCD上的射影( ?AB,2ADE为CD上一点且CE,3DE. DE1?tan?DAE, AD2AD1tan?DBA, AB2定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;?DAE,?DBA （3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。?DAE，?BDA,90?. ?AE?BD又AE与BD交于一点 ?AE?平面SBD. 64.24.8生活中的数3 P30-35(2)假设存在点MN满足MN?CD且MN?SB. 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.(1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.建立如图所示的空间直角坐标系由题意可知D(000)A(a00)C(02a0)B(a2a0)S(003a) ?设DM,DB，tBS,(a2a0)，t(,a,2a3a),(a,ta2a,2ta3ta)(t?01) 11.弧长及扇形的面积即M(a,ta2a,2ta3ta)N(0y0)y?02a 2、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。?NM,(a,ta2a,2ta,y3ta)( 使MN?CD且MN?SB |a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；?,NM?DC,0,则 ,?,NM?BS,0,186.257.1期末总复习及考试,a,ta2a,2ta,y3ta,?,02a0,0, ,a,ta2a,2ta,y3ta,?,a,2a3a,0弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。,2a,2a,2ta,y,0,可得 2,a,a,ta,2a,2a,2ta,y,，3ta,0,13解得t,?01y,a?02a( 423333故存在点MN使MN?CD且MN?SBM(aaa)N(0a0)( 4242
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