材料力学B试的题目5弯曲应力

(a)弯曲应力1. 圆形截面简支梁A , b套成，A，B层间不计摩擦，材料的 弹性模量e = 2E。求在外力偶矩心作用下，a，B中最大正应 力的比值EL有4个答案：eb B min(A) 1 ；(B) 1 ；64(C) 1 ；(D) 1 ,810答：B2. 矩形截面纯弯梁， 材料的抗拉弹性模量e 大于材料的抗压弹性 模量E，则正应力在截 面上的分布图有以下4 种答案: 答：C3. 将厚度为2 mm的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢尺点a处的应变为L，则该曲面在点4处的曲率半径为1000mm。答：999 mm4. 边长为的正方形截面梁， 按图示两种不同形式放置，在 相同弯矩作用下，两者最大正 应力之比区=(E max合：1/ -25. 一工字截面梁，截面尺寸如图，h = b b = lot。试证明，此 梁上，下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩 的 88%。证：竺，M = 2M xj By (ybdy)I 1 I A=1 820x竺3Izh/2tI = 690t 4zh/2-L之=1 820x x 88%M3 690t 4其中：积分限b = t+人,A =人m 1为翼缘弯矩6. 直径d = 20 mm的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量E = 200 GPa， a = 200 mm，欲将其中段AB弯成p =12 m的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。解：1 =M 而 M = FaSAp I p,I =呸=0.785 x10一 8 m4, F = E = 0.654 kN64p abmaxM - d _ Fad _ 0.654 x 103 x 0.2 x 20 x10-3 2I2I2 x 0.785 x10- 8=167 MPa7. 钢筋横截面积为A，密度为p力f，提起钢筋离开地面长度13解：截面c曲率为零Mc =气p兰/3)2 = 0, F =容，放在刚性平面上，一端加试问f应多大？ |FAlCB-21/3- 一 1/3 8. 矩形截面钢条长/，总重为f，放在刚性水平面上，在钢 条A端作用F向上的拉力时，试求钢条内最大正应力。3解：在截面C处，有1 =虬=0p EI即 M = - x l - F x (L)2 = 0, l = 2C 3 AC l 2AC 3AC段可视为受均布载荷q作用的简F/3C_ M _ q(lC)2/8_ Fl max Wbt2 / 63bt29. 图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成，在两端 用刚性平板牢固联接。已知：钢和铝的弹性模量关系为e = 3E ；在纯弯曲时，应力 在比例极限内。S a试求铝管和钢杆的最大线应变之比8 /8及最大正应力之比S=2 : 12： Es 腭=3钢杆铝管10. 一根木梁的两部分用单排钉连接而成，已知惯性矩/ =113.5x10-6 m4，F = 3 kN，横截面如图示，每个钉的许用剪力F = 700N，解：缝间水平切应力试求钉沿梁纵向的间距.。(C为形心)200-200叫I_L87.5C, F - S * FS *T = C = 丁 = z bl bl3 000 x200 x 50 x (87.5 - 25) + 50 x (87.5 - 50)2 / 2 x10 - 9 =0.33 MPa 50x10-3 x113.5 x10-6, 一 令Ma = F = 700 NSF 700=cb0.33 x 106 x 50 x 10-311.图示一起重机及梁， 梁由两根No.28a工字钢 组成，可移动的起重机自 重P = 50 kN，起重机吊重 F = 10 kN，若q = 160 MP a， T = 100 MPa， 试校核梁的强度。(一工字钢的惯性矩I =7114.14x 104 mm4, L=246.2 mm )(注解：M = (58 - 6x)x,令业d = 0, x = 4.83 mddx(MD)(全梁)=(58 - 6 x 4.83) x 4.83 = 140 kN - m 正应力强度校核： Q = 137.7 MPa q 切应力强度校核，当轮d行至B附近时F = 58 kN,t = 13.85 MPa t 12.矩形截面梁的上表面受有 集度为1的水平均布载荷作用， 如图所示。试导出梁横截面上切(材料为理想弹塑性)P2filhbFFxl2bFly应力的公式，并画出切应力T的方向及沿截面高度的变化规 律。解：y)=匚，3)= q(1/4 + y / h - 3 y 2/h 2)b13. 试证图示棱形截面的极限弯矩与屈服弯矩之比为2,即证：M = 2S b , M = Wbbh2bh22S =, W =max 12 z 24M 2 Sp = max = 2M Wsz14. 证明：图示矩形截面悬臂梁，中性 层上切应力组成的合力为：业，并指 出这个力由什么来平衡。 仙 证:在离自由端为X的横截面中性轴处的切应力为T =必，由切应力互等定理 x 2bh知在该处中性层上的切应力为T (，2 )故 F =. dA = /3 竺 bdx = 3 q ixdx = 3 空S A x 02 bh 2 h 04 h这个力由固定端处下半部的正应力的合力来平衡，f =业 n 4h15. 图示等厚度t，长1，变宽度矩 形截面板条，受轴向拉力F作用。 设横截面上的正应力均匀分布。试 按材料力学方法证明任意x处横截 面tb(l + X)2证：从板条上X附近取一微段dx如图示，从中再截一小块(见上切应力T的分布规律表达式为：T =图中阴影处)。设一对轴向拉力为F。由该小块的静力平衡条 件 Z F = 0，得 dF + F * - F * = 0xS N1 N2其中 F *=j。dA = j ? Ftdy = F-FN1A1 1 y bt 2 b11f b F 由F Fy2tdy =bt2 bdF =xtdx =t tdx,解得b2 b1 = db =罕Tt (1+ x /1) X b X (1+ x /1) + db l 略去db项，得t-Flytb(l + x)2Fy16. 图示截面梁对中性轴 惯 性 矩I = 291x104 mm4, y = 65 mm，C为形心。(1)画梁的剪力图和弯矩图；(2)求梁的最大拉应力，T最大压应力和最大切应力。解：F = 9.6 kN, F = 3.4 kN，该梁的剪力图和弯矩图如图所示， 截面B下缘：)=67 MPa截面 C 下缘：(b ) = 45.6 MPa发生在截面b max中性轴处:maxmax17. 矩形截面悬臂梁受力如图,设想沿中性层截开,列出图示下半部分的L 一平衡条件并画出其受力图。r解：中性层以下部分的受力图如图所示。1二其静力平衡条件为F = 0:F2 -=J 2 TFFh b2 bz0 2F = 0:Tx bl 二maxxx bdy，h 2、x (彳y2)bdyj 2 b bdy，0ZM0 = 0: F + j hb ybdy = 0，2 18.小锥度变截面悬臂梁如图, 力的位置及大小。解：在距截面a为x的截面上3Fl Fl I* h二2 ybdy2h I 0Fl Fl I* h /二2 by 2dy直径db=2d，试求最大正应TABM = Fxd = d + d)x = d(1+ 三)x ala l32 FxFdABan(d )3 (1+ x /1)3由 竺=0，即归二32顷1+4里-3三/1) 二 0 可求得 “ 1_dxdxn(d )3 (1+ x /1)32对应的 128刊发生在梁中间截面的上、下边缘，上拉下 max 27 n(d )3压。19.图示矩形截面梁，宽度不变，许用应力为饥，试写出 强度条件表达式。解：对于距b点为x处的截面上又h=迫也+ hx l 06 Fx=Fx所以b 二bx(h h )/1 + h02一卫B由至二0dx代入后，可求得.二3FImax2bh (h 一 h )010梁的强度条件为b b精彩文档-2l/5 -一3l/5_F五C20.梁受力如图，材料的弹性模量为，已测得下边缘纵向总伸长量为AZ，求载荷F的大小。解：F = 3 F (T), F = - F (T) A 5B 5由 EW Al = jc 3 Fx dx +jc - Fx dx，贝Al = 18F”, 所以 F =竺丝-Alz a 5 i i b 5 - -25Ebh218l 221.矩形截面外伸梁由圆木制成，已知作用力f = 5 kN，许用 应力g=10 MPa，长度a = 1 m，确定所需木材的最小直径d。解.b(d2 -b2)用牛-M = M = Fa, W =令dW = 0，可求得最合理的b和h为db2aC2a a.h=w3Wmax9 挡bmaxM r b Wd 1 =，Jc1b -3截面B1b+_ 1J2b -3c两截面均是拉应力较危险令它们相等MC X2% =心 得 24.试画出下列各薄壁截面弯曲 中心的大致位置。若剪力F的方 向垂直向下，试画出切应力流的 方向。1_4答：弯曲中心人以及切应力流方向如图示25.注明以下薄壁截面杆弯 曲中心的大致位置。答：弯曲中心的大致位置如图中点人所示26. 图示薄壁截面梁 （1）若剪力F方向向下，试画出各截面上切应力流的方向（2）标出各截面弯曲中心点A的大致位置。答：图中点A为弯曲中心27. 注出下列各薄壁截面 杆弯曲中心A的大致位置。答：图中点A为弯曲中心28. 试求图示开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置，设壁厚为 t，平均半径为,。角牛：I = r 3 tn, S = mt （1- cos 甲），c = F % z O z 0I t切应力对。点之矩 M =j2nT tr2d甲=2F r由合力矩定理有Fe = M得e = 2r宽度减小一半29. 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力的变化将有4 种答案:（A）不变；（B）增大一倍；（C）减小一半；（D）增大三倍。(a)(b)答：B30. 图示矩形截面采用 两种放置方式，从弯曲 正应力强度条件，承载能力(b)是(a)的多少倍?(A)2；(B)4；(C)6；(D)8。答：A31. 图示梁，采用加副梁的方法提高承载能力，若主梁和副(B) l/4 ；(D) l/2。梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度有4种答案:(A) l/3 ；(C) l/5 ； 答：D32. 梁的截面形状如图示，圆截面上半 部分有一圆孔。在女平面内作用有正弯矩 m，绝对值最大的正应力位置有4种答 案：(A)点 a；(B)点 b ；(C)点 c；(D)点d。答：A33. 图示三种截面梁，材 质、截面内m、a全相 同，试求三梁的重量比， 并指出哪种截面最经济。解: b(2b)2 _ a3 _ nd36632a = b34, d = b3, A = 2b2, A = a2 = 2.52b2, A = & = 2.82b23 3兀1234A1: A2: A3 = 1:1.26:1.41矩形截面梁最经济。34/当载荷F直接作用在AB梁中点时，梁内最大应力超过许 用应力的30%，为消除这一过载现象，配置辅助梁CD。已知l = 6 m，试求辅助梁的最小跨度a。F解：原梁：J =史=1.3饥W4W辅助梁：Mmax =竺=a, x = 2.31 mW2Wa = l - 2x = 1.38 m35.矩形截面梁顶面与底面受有大小相等方向相反的均布 载荷0(kN/m)作用。若梁截面的正应力公式a = My/I和关于切应 力沿截面宽度方向均匀分布的假设仍成立，试证明梁横截面 上的切应力公式为：T =qhS /(bI ) - q / b。Iz证：Fn = j a 1dA = j M dA =zF =j a dA = j M + dM ydA =N2A* 2A*IzF -F -d_qdx = 0利用互等定理，dF=dA =t MxS又考虑M =qxh, M = 0弋入平衡方程，整理得横截面上公式:_ qhS qT =Tbb z36.图示矩形截面叠层梁材料相同，若不计梁间的摩擦力， 试求梁中最大切应力。1max 2max又F =蚂,FS1dxS2解：七1 =七2 11解：设上下梁的弯矩分别为m i和M上梁下边缘:M =fl = -i2 EW1下梁上边缘:M = l = MJ-22 EW2e口h=h/2 _|h=h/25 = Ml Ml21MeL+-mjl ,又 w=w =- 2 EW1 2 EW12 jbh2137.自由叠合梁尺寸及受力如图，材料的弹性模量均为e , 已测得在力偶M作用下，上、下梁在交界面柢处的纵向变形 后的长度之差为5，若不计梁间的摩擦力，试求力偶M的大 小。I = I M = M = MP P 12122=+ ME 2EW代入上式得：M = Ebh 25 e 24l两梁上下边缘应变为=八38.材料相同的自由叠置梁尺寸及受力如图，已知材料的弹 性模量e，许用应力饥。试求：许可载荷f；（2）在F 作用下，两梁在交界面雄处的纵向长度之差5 （不 计梁间摩擦）39.矩形截面简支梁如图所示。梁上缘的温度为，,下缘的温度力 120 C且沿梁的高度按线性规律变化，材料线膨胀系数为a =12x10一6 / C,试求由温度场引 起的梁的曲率半径p。0解：1=理=pdxM -Mi0hdxa t -a t-1 h 1 0得 p=h = 694ha (t -1 )解：(1)I = I,_ 1,p2则M1max = M_ Fl2max212 p1=。2maxMmaxW1_ 12 Fl bh 2 bF L_ bh2b 12l(2)M :1=M2M _ =2 =Fx c， 21b=E M1 =2 EW12 FxEbh 21%:汕:暮屈=裁Tb(X)40.图示简支梁。若横截面高度h保 持不变，试根据等强度的观点确定 截面宽度心的变化规律。为了保证 剪切强度，该梁的最小宽度b应为 多少？（假设材料的饥、m为已知）解：ac 段 M(x)=竺，b (x) = Mx) = 3Fx =b，b(x)=3Fxh 2q2 max W (x) b( x)h 2BC 段与 AC 段对称，成x)相同。3F (x)3F3FT (X)= =2 , b =用4T. ”T 441.图示圆截面梁，已知材料的许用应力g及许用切应力T，试按等强度梁决定梁的形状。解:AB段aM(x ) = -Fxi l in元d(x1)3,(.=IM(x,)1 = 32aFx,max 1W(x )lnd(x )311= bd (x )13 nlcBC 段：M(x ) = Fx ,同理232 FL- = b2 2W (x )兀d(x )32232 Fxd (x ) = 2：2，3 na 当x1 = l或dB = d max32 Fa 兀g 端面A :Tmax4FS1 = 4Fa 3nlT端面c :Tmax4 FGO.16(l + -) F T % 3nlT h = 300 mm，因强度不足，在8=?七=孚乎号b110木材h钢材t10由A,Ai中性层曲率12PP21M1max2max取 M = 103.8 kN - m43.骚想弹塑性材料梁，在极限弯矩作用下，截面上的中性 轴位置有4种答案：(A)不存在；(B)不过截面形心；(C)过截面形心；(D)将截面分成面积相等的两部分。答：D44.矩形截面悬臂梁受均布载荷q的作用，跨度为1,材料的许用应力为g ，截面宽度b不变，为使此梁为等强度梁，高度h的变化规律为顷)=答：h(x) = x45.变截面梁的主要优点是q；等强度梁的条件是答：在一定的强度、冈膻条件下，节省材料，减轻自重。M (x) max W ( x)46.图示悬臂梁截面有两种构成方式(A)、(B),若材料相同，从强度观点出发，梁的q /q= 答：Bn。(A)(B)47.梁的截面如图示。材料为理想弹塑性 材料，屈服极限为。，则此梁的极限弯矩M =。片自由叠合 妃|层间无摩擦答：M = bh(h + b)。u48.图示由木、钢两种材料组成的矩形截面弯曲梁，木、钢的弹性模量分别为E = 1 0 G E = 210 GPa，则 木材与钢材所受弯矩之比M : M =。答：4.一M49. 梁受力如图所示。当载荷增大时，可 能出现塑性铰的截面为。答：截面A，B。已知）。50. 由理想弹塑性材料制成的梁，当截面B各点全部处于屈 服状态时，A处支反力为，（设F, l,b, h，屈服极限a s为F bh 2a s答：F 二一T : 一24/51. 纯弯曲梁，由二种弹性模量不同(EE)的材料粘成一整 体，横截面如图所示，变形仍符合平截面假定，试证明中性轴不通过形心C。Eh/2h/2E2证：设中性轴通过形心，则横截面轴力二0而。f zE f ,E vES ES 、F = ( 1 )dA + ( 2 )dA = i i + 2 2N a Pa2 PP P因 S =-S， 而 E。E则空+M=01 2p p即fn = 0不满足，中性轴必不通过形心。52. 某矩形截面梁，其材料的应力应变关系在弹性范围内为 b n = EE，设平面假定成立，试证明该梁横截面上的最大正应 力公式为：b = 2(2n +1)xM。证：设弯曲时的曲率为仃则= , b = nkEV故 M = f b ydA = nkE f yydA对矩形截面:趾= (In + DM*12nb:无；(2)2n+1故 =kEh = 2(2 n + 1)Mmax n 2 nbh53. 自由叠合梁尺寸及受力如图所示，材料的许用应力b = 8MPa，若不考虑两梁之间的摩擦，问许用载荷b=100气=50h；=100大？解：因 _1=M. _1=也， p EI p EI故 M = L =1， 又 M + M = M2M9M I 812槌8MM =上梁下梁(b max )1 =(b max)2 =19J = MmaxM9Wm!=、M9W22g疽广哑七v 】3bh2bq =2= 12 kN/m2/254. 梁由上、中、下三层牢固粘合而成，上下层材料的弹性 模截为上了应力层计算公式量为e 1，推导此梁在纯弯曲时，_3MEy解：对各层均有八ZP中间层中七=旺1=号上下层中七=吨2=牛由 M =2卜(b yb)dy + 22h(b yb)dy = 2(E + 7E ) n 1 奶气E) 0h 23p 123ME yb =淇2 2bh3(E + 7 E )55. 纯弯曲矩形截为梁，用应力应变关系为b= BE n的材料制成，其中B、n均为常数。若平为假设成立，且中性轴仍过解：由e= 2,得b=妒)n pPyn+idy2 Bb(n + 2) p n (h /2)n+2截为形心，试导出n为奇数时正应力的计算公式。又 M =j yb dA =竺 j :AP n -h2当n为奇数时，m =BM (n + 2)2=()n+2 p n2bhM(n + 2)yn ,2、( h)n+256. 某材料拉伸时的应力应变曲线为：b = BE-B E2, B、B 是材料常 数，压缩时的应力应变曲线 与拉伸相同。若平为假设成立，最大线应变为E ,试导出矩形截为梁所受弯矩M的公式。h281解：因= Z ,当,二h时，有上P2max 12 PM =J bdA- y = 2f :b(B8 -B 82)ydy = bh况(B-华) a0121 6857. 简支梁跨度/ = 4 m，中间承受集中力f，截面为矩形， 高 h = 100 mm，宽b = 50 mn ， 设材料为理想弹塑性，其屈服极限。=240 MPa， 试问:(1) 梁中间截面完全屈服时f是多大；F(2) 若将F卸至零，梁内残余 I最大正应力和边缘正应力各为多百22 /bh 2。=r = 30 kNl=。=240 MPa少。解：(1)由F =竺二，得F 44(2)弹性卸载M = 30 kN - m(边缘)。=bh2。s/4 =兰 maxbh2 /62I。Imax=120 MPa 2t _ aMs(中间)。=0 两图相减 最大残余应力在中性轴处 边缘残余应力|。|=。58. T形截面梁，设t a。梁材料为理想塑性其屈服极限 为。s，试求此梁的极限弯矩矩m与刚出现塑性变形时的弯矩M解：由 at - 2 - at - 2 = y - 2at，略去12项，得y T ta3a、a t、I = + at()2 + at( + )2 p乙 1244 2又由 M s3a/4=。得 M = 5ta 3/24ss极限状态，中性轴在翼腹交界处，由M = a a + at匚竺巳(略去12项)u 222得 M u = 1.18 = 18 =1.8M 2 51059. 图示矩形截面简支梁，材料为理想弹塑性，在外力f作 用达到极限弯矩时，中间形成塑性铰，试求塑性区半长C ,其b、h、l、F为已知。解：跨中截面:距跨中为c的截面:ffFlS + S2M60. 图示矩形截面简支梁，已知理想弹塑性材料的屈服极限 b =250 MPa，试求使跨中截面顶部及底部的屈服深度达到 10 mm时的载荷值。100-0M = bb h (h-2h ) +(斜)2s p p6故 q = 8肉 shp(h 一 七)+(h - hp)2/6 = 118 kN. m1261. 图示箱式截面梁，已知材料为理想弹塑性且屈服极限b = 240 MPa，试求： 解：极限弯矩M； 弹性最大弯矩M ；M = 2S b = 94.1 kN - mumax s .一M =阳=69.6 kN - mM u = 1.35M62.已知某材料为理想弹塑性材料，屈服极限b = 240 MPa，安全因数n = 1.5，试按极限弯矩设计矩形截面尺寸。设h = 2b。解昆：梁内M = 10 kN - m极限弯矩m =2b S = 60bh2us maxMu = M , h = 2bnmaxb = 40 mm, h = 80 mm63.矩形截面纯弯曲梁如图示。已知材料的拉伸弹性模量为E，压缩弹性模量为E，且E= 4E。设纯弯曲时平面假设仍 成立，已知梁截面宽度b，高h，受拉边高h，受压边高h， 试导出中性轴位置及弯曲正应力公式。12e=yp皇(0 y y -h )-1 c p2b+ dA + J b- dA = 02h A2T物理关系:h =一,h=132EET - (1 ) +2 - (IPz 1P/ 八 8bh3(I )= 一A1解得h2 = 2h1Z Mz = 0)2 = M解：几何关系：(I)1= Hz2127 MP4E bh3解得TmL (0 y -h )4bh 312b+ = 27M (0 y h1), bh Eyb hEybJ i i i dy = J % 2 2 dy 0 P 10 P 264.图示矩形纯弯曲梁是由两种材料牢固粘合而成，它们的 弹性模量分别为E和E，若以胶合面为中性层，试计算久和 的比值。解：由F = 0z65. 一正方形截面梁，其水平对角线为中性轴，若削去顶和 底的棱角，是否可以提高梁的强度？当a为何值时，其弯曲 截面系数W最大？解：小棱角对z轴的惯性矩为2I* =a 4b4 * a 2b 2(1-2a/3)2 z 36 +2削去顶和底的棱角后的面积对Z轴的惯性矩为饭注总21 * = 1 b 4 - 21Z 12 Z对应的弯曲截面系数w 二= = Mz b / 克-a b hj2 b(1-a)令 dW=0，得a= 1da9