四年级数学行程问题经典辅导

四年级数学行程问题经典辅导行程问题是指匀速运动中有关路程、速度、时间三个数量之间，已知两个量，求另一个数量的应用题。行程问题的内容相当广泛，主要包括追及问题、相遇问题、流水问题、火车行程、钟表问题。小学数学四年级教材中行程问题主要是相遇问题和追及问题。相遇问题和追及问题是行程问题中的两种基本类型。在解答行程问题时，要注意所走的方向、是否同时行驶、是否相遇等问题，一般要采用直观画图法帮助理解题意、分析题目中的数量关系，最终找到解题思路解行程问题必备的基本公式是： 路程速度时间；路程时间速度；路程速度时间行程问题按运动方向可以分为三类： 相向运动问题(或称相遇问题) 同向运动问题(或称追及问题) 背向运动问题(或称相离问题)【相遇问题】相向运动问题(或称相遇问题)：是指两个运动物体（人或车辆、船只等），从两个不同的方向，沿着同一条路线(直道或环形跑道)相对运动，最终相遇的问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。解答相遇问题的关键在于先求出两个运动物体的“速度和”，就是两个运动物体在单位时间里共行的路程之和。即：速度和 = 甲的速度 + 乙的速度 相遇问题的关系式是： 速度和相遇时间相遇路程 相遇路程速度和相遇时间 相遇路程相遇时间速度和例1：南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？解392（2821）8（小时）答：经过8小时两船相遇。例2：小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为4002相遇时间（4002）（53）100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。例3：甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因此，相遇时间（32）（1513）3（小时）两地距离（1513）384（千米）答：两地距离是84千米。【追及问题】同向运动问题(或称追及问题)：是指两个运动物体（人或车辆、船只等），向同一个方向运动，由于速度不同，最后快的追上慢的问题。追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。解答追及问题的关键在于先求出两个运动物体的“速度差”，速度差就是两个运动物体甲和乙在单位时间里所行的路程之差。即：速度差 = 甲的速度 - 乙的速度（快 慢）距离差=速度差追及时间 追及时间=距离差速度差速度差=距离差追及时间例1：敌我双方相距18千米，敌人以每小时6千米的速度逃跑，我军以每小时9千米的速度追赶，几小时后可以追上敌人？ 每小时敌我双方速度相差多少？ 9 6 = 3（千米）几小时可以追上敌人？ 183 = 6（小时）答：6小时可以追上敌人。例2：有一条长方形跑道，甲从A点出发，乙从C点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米。当甲第一次追上乙时，甲跑了多少圈？ 分析与解：这是一道环形路上追及问题。在追及问题问题中有一个基本关系式：追击路程=速度差追及时间。追及路程：106=16（米）速度差：54.5=0.5（米）追击时间：160.5=32（秒）甲跑了532（106）2=5（圈）答：甲跑了5圈。【相离问题】背向运动问题(或称相离问题)：是指两个运动物体（人或车辆、船只等），从同一地点同时相背而行，越走相距越远的问题。解答相离问题的关键在于先求出“速度和”。速度和就是两个运动物体甲和乙在单位时间里共行的路程之和。即：速度和 = 甲的速度 + 乙的速度，速度和相离时间相距路程 相距路程速度和相离时间 相距路程相离时间速度和 例：甲乙两车同时从某地出发背向而行，甲车每小时行62千米，乙车每小时行65千米，4小时后两车相距多少千米？ 甲乙两车每小时共行多少千米？ 62 + 65 = 127（千米） 4小时后两车相距多少千米？ 1274 = 508（千米）答：4小时后两车相距508千米。【流水问题】 顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，是行程问题的一种特例。 流水问题的解法：解这类应用题首先要弄清楚船速与水速：船速是船本身航行的速度，也就是船在静水中的速度；水速是水流的速度。然后还要弄清楚顺水速度与逆水速度。顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差。再由和差问题的关系，进一步得出： （顺水速度 + 逆水速度）2 = 船速； （顺水速度 - 逆水速度）2 = 水速。 最后，可以根据行程问题中路程、速度、时间三者之间的关系解答这类应用题。例1：一条船在江中行驶，顺水行每小时12千米，逆水行每小时8千米，求船速与水速。 （12 + 8）2 = 202 = 10（千米）船速 （12 - 8）2 = 42 = 2（千米）水速 答：船速每小时10千米，水速每小时2千米。例2：某船在静水中的速度为每小时15千米，它从上游甲港开往下游乙港共用了8小时。已知水速为每小时3千米，从乙港返回甲港需要多少小时？ 顺水每小时航行多少千米？ 15 + 3 = 18（千米） 甲、乙两港相距多少千米？ 188 = 144（千米） 逆水每小时航行多少千米？ 15 - 3 = 12（千米） 从乙港返回甲港需要多少小时？ 14412 = 12（小时） 答：从乙港返回甲港需要12小时。例3：船在静水中的速度为每小时11.25千米，河水流速为每小时1.25千米。一只船往返甲、乙两港共用了9小时，问两港相距多少千米？ 顺水每小时行：11.25 + 1.25 = 12.5（千米） 逆水每小时行：11.25 - 1.25 = 10（千米） 顺水行每千米的时间：112.5 = 0.08（小时） 逆水行每千米的时间：110 = 0.1（小时） 往返每千米的时间：0.1 + 0.08 = 0.18（小时） 甲乙两港相距多远：90.18 = 50（千米）答：甲、乙两港相距50千米。【火车过桥问题】火车过桥的问题包括火车过桥、火车过隧道、两个列车车头相遇、车尾相离等问题，是一种行程问题。火车过桥问题不仅有路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题。我们在研究一般的行程问题时，是不考虑汽车等物体的本身长度的，因为这类物体的长度很小，可以忽略不计。可是如果研究火车行程问题，因为车身有一定的长度，一般一百多米，就不能忽略不计了。火车行程问题中的距离，一般是要考虑火车长度的。火车通过一个固定的点所用的时间就是火车行驶车身长度所需要的时间。基本的关系是：火车走过的路程=车长+桥长。 （火车长度+桥的长度）通过时间=火车速度例1：一条隧道长360米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟，从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟。这列火车长多少米？解答：分析：火车8秒钟行的路程是火车的全长，20秒钟行的路程是隧道长加火车长。因此，火车行隧道长360米，所用的时间是20-8=12秒钟，即可求出火车的速度。火车的速度是360（20-8）=30（米/秒）。火车长308=240（米）。答：这列火车长240米。例2：两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长？ 分析与解：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000360010（米），乙车的速度是每秒钟54000360015（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（1015）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（1015）14350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.解：（1015）14 350（米）答：乙车的车长为350米.例5、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？ 分析与解： 解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和。 列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶的路程为（250210）米时，所用的时间为（2523）秒.由此可求得列车的车速为（250210）（2523）20（米/秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为2025250250（米），从而可求出错车时间。解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000360020（米/秒），某列车的速度为：（250210）（2523）40220（米/秒）某列车的车长为：2025-250500-250250（米）两列车的错车时间为：（250150）（2020）4004010（秒）.答：错车时间为10秒.【练习题精选】相遇问题1、一列快车和一列慢车，同时从甲、乙两站出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续行驶3小时后到达乙站。已知慢车每小时行45千米，甲、乙两站相距多少千米？2、甲、乙二人分别以每小时3千米和5千米的速度从A、B两地相向而行相遇后二人继续往前走，如果甲从相遇点到达B地共行4小时，那么A、B两地相距多少千米？3一列快车从甲城开往乙城，每小时行65千米，一列客车同时从乙城开往甲城，每小时行60千米，两列火车在距中点20千米处相遇，相遇时两车各行了多少千米？4、兄弟两人同时从家里出发到学校，路程是1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，弟弟步行每分钟行80米，在行进中弟弟与刚到学校就立即返回来的哥哥相遇。从出发到相遇，弟弟走了多少米？相遇处距学校有多少米？5、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地120米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地150米处再次相遇，AB两地的距离是多少米？6、A、B两地相距38千米，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，甲每小时行8千米，乙每小时行11千米，甲到达B地后立即返回A地，乙到达A地后立即返回B地，几小时后两人在途中相遇？相遇时距A地多远？7、甲、乙两人从A地到B地，丙从B地到A地。他们同时出发，甲骑车每小时行8千米，丙骑车每小时行10千米，甲丙两人经过5小时相遇，再过1小时，乙、丙两人相遇。求乙的速度。8、甲、乙、丙三人行走的速度依次分别为每分钟30米、40米、50米。甲、乙在A地，丙在B地，同时相向而行，丙遇乙后10分钟和甲相遇。求A、B两地相距多少米？9、甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过5小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有120千米。甲、乙两车的速度各是多少？10、甲、乙两人从相距1100米的两地相向而行，甲每分钟走65米，乙每分钟走75米，乙带了一只狗和乙同时出发，狗以每分钟210米的速度向甲奔去，遇到甲后立即回头向乙奔去，遇到乙后又回头向甲奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停止。这只狗共奔跑了多少路程？追及问题1、两辆汽车相距1500千米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟660米，乙车追上甲车需几分钟？2、老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车的速度是15千米/小时，先出发2小时后，老王老出发，老王用了3小时追上老张，求老王骑车速度。3、两地相距900千米，甲车行全程需15小时，乙车行全程需12小时，甲车先出发2小时后，乙去追甲，问乙车要走多少千米才能追上甲车？4、甲、乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距离多少千米？5、甲、乙两城之间的铁路长240千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇，如果两车分别从两城向同一方向开出，慢车在前、快车在后，15小时快车就可以追上慢车，求快车与慢车每小时各行多少千米？6、两人骑自行车沿着900米长的环形跑道行驶，他们从同一地点反向而行，那么经过18分钟后就相遇一次，若他们同向而行，那经过180分钟后快车追上慢车一次，求两人骑自行车的速度？7、小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明。求小强骑自行车的速度8、甲、乙两匹马相距50米的地方同时出发，出发时甲马在前乙马在后。如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，问：何时两马相距70米？9、甲、乙二人绕周长为1200米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的1.2倍。现在甲在乙的后面400米，问：乙追上甲还需多少时间？10、甲、乙两人同时从A地到B地，乙出发3小时后甲才出发，甲走了5小时后，已超过乙2千米。已知甲每小时比乙多行4千米。甲、乙两人每小时各行多少千米？火车过桥问题1、一支队伍长450米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队伍的最前面，然后再返回队尾，一共用了多少分钟？2、小明坐在行驶的列车上，从窗外看到迎面开来的货车经过用了6秒，已知货车长168米；后来又从窗外看到列车通过一座180米长的桥用了12秒。货车每小时行（ ）千米。3、一支部队排成1200米长的队伍行军，在队尾的通讯员要与最前面的营长联系，他用6分钟时间跑步追上了营长，为了回到队尾，在追上营长的地方等待了24分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么只需要( )分钟。4、一列火车通过一座 1000米的大桥要 65秒，如果用同样的速度通过一座 730米的隧道则要50秒。求这列火车前进的速度和火车的长度。5、解放军某部出动80辆汽车参加工地劳动，在途中要经过一个长120米的隧道。如果每辆汽车的长为10米，相邻两辆汽车相隔20米，那么，车队以每分钟500米的速度通过隧道，需要多少分钟？6、在与铁路平行的公路上，一个步行的人和一个骑自行车的人同向前进，步行人每秒走l米，骑车人每秒走3米，在铁路上，从这两人后面有列火车开来，火车通过行人用了22秒，通过骑车人用了26秒。这列火车全长多少米？流水行船问题1、船在河中航行时，顺水速度是每小时12千米，逆水速度是每小时6千米。船速每小时( )千米，水速每小时( )千米。2、一只轮船在静水中的速度是每小时21千米，船从甲城开出逆水航行了8小时，到达相距144千米的乙城。这只轮船从乙城返回甲城需多少小时？3、甲、乙两港相距 360千米，一艘轮船从甲港到乙港，顺水航行 15小时到达，从乙港返回甲港，逆水航行20小时到达。现在另有一艘船，船速是每小时12千米，它往返两港需要多少小时？4、一只小船，第一次顺流航行56千米，逆流航行20千米，共用12小时；第二次用同样的时间，顺流航行40千米，逆流航行28千米。求这只小船在静水中的速度。参考答案一、相遇问题1、8102、19.2 3、快520客4804、600 5、2 6、2557、6小时，28千米 8、360 9、6410、511、720 12、甲37.5乙22.513、1650 14、4.8二、追及问题1、甲10乙62、200米 3、780米 4、300米5、8分 6、甲 150 （米/分）乙130（米/分）三、火车问题1、9分2、46.8 3、4 5、5分 6、286米四、流水行船问题1、932、63、644、120 5、6 6、158