数学例题教学需要“再创作” 对数学例题教学的部分见解

数学例题教学需要“再创作” 对数学例题教学的部分见解 摘要：教材中的例题大全部是为了说明教材中的知识点而设置的，方法单一，而且是直接展现给学生的. 老师假如对教材照本宣科，既使学生感到枯燥无味，又抹杀了例题中隐含的丰富的数学思想，失去锻炼和提升学生思维能力的机会. 所以老师应主动探索和研究，依据不一样的内容、目标和学生的实际情况，对例题进行加工、改编、补充和完善，进行“再创作”.关键词：教学反思；一题多解；变式教学；再创作；引导教学问题提出一般高中课程标准试验教科书数学选修21P69的例4为：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且和抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.这是一道相关抛物线简单几何性质的一道常规题，也是一道有关抛物线焦点弦性质的问题. 这种类型是历届高考和模拟考试的热点，是优化学生认知结构很好的素材. 书本上介绍了这道题的一个常见解法，因为在此之前，学生已经初步掌握了直线和圆锥曲线位置关系问题的基础处理方法和韦达定理，加之前一天晚上学生也问过类似于该题的相关抛物线焦点弦问题，这使本人感觉到有必须对此题进行“再发明”.课堂实录在上课前，我搜集了相关抛物线焦点弦的部分几何性质，在学习了抛物线的简单几何性质后，给出了例4的简单变式题：倾斜角为45的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且和抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.师生之间进行一系列的互动.老师：解析几何的本质是用代数方法处理几何问题，几何问题是形的问题，所以，在拿到一道解析几何题时第一反应就是作出图形.学生1：由已知可得直线l的方程为y=x1，将其代入抛物线方程y2=4x，并消去y得x26x+1=0.求出两点坐标，然后利用两点间的距离公式可处理.学生1：不求两点坐标了，这么太麻烦，利用抛物线的焦半径公式，设A，B，则AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2. 又x1，x2是方程x26x+1=0的两根，故x1+x2=6.所以，可求得AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.老师：当问题处理到方程x26x+1=0时，还有什么措施能够求出弦AB的长度？学生2：利用韦达定理，由弦长公式AB=x1-x2=可得.老师：前面同学们用了三种方法. 第一个方法直接求出了两点的坐标，用两点间的距离公式；后两种方法在得到方程以后，全部没有求出两点的坐标，第二种方法是利用抛物线的定义，结合焦半径公式求出弦长；第三种方法是利用弦长公式，这两种方法共同的特征是设而不求. 联络“设而不求”的解题特征，想想本题还有什么解法？学生3：由前面可知AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2。而y=4x1，y=4x2，两式相减得=4.因直线l的斜率为1，故有y1+y2=4.又y1=x11，y2=x21，因此x1+x2=6，以下同上.老师：在处理本题的过程中，我们发觉这个图形中有很多几何元素，如有直角梯形ABBA，倾斜角45等，我们能不能从纯几何角度处理这一问题？学生4：过B点作BC垂直于x轴于C，过F作FD垂直于AA于D.依据抛物线的定义可知BF=BB=2BFcos45，AF=AA=2+AFcos45。因此BF=，AF=.因此AB=AF+BF=8.老师：在例题中，直线和抛物线全部是已知的，而且是特殊的，求的是过焦点的弦长，能不能对题目进行变形，再作处理？学生5：将题设条件的特殊情况改为通常情况，即得变题1.变题1：倾斜角为的直线经过抛物线y2=2px的焦点F，和抛物线相交于A，B，求线段AB的长.学生6：我选择的是利用韦达定理，将直线方程代入抛物线方程求弦长，当我将直线方程y=kx代入抛物线方程得到方程k2x2x+=0，计算弦长时发觉x1x2=，这是一个定值.老师：很好，发觉了焦点弦的一个主要性质，但你将直线方程设为y=kx，就意味着直线的斜率一定会存在，这是正确吗？学生6：能够不存在，但此时直线方程为x=，也满足x1x2=. 所以，只需将这个问题分成两种情形讨论即可.学生7：我也是跟这位同学一样，选择用韦达定理和抛物线的定义求弦长公式，但直线方程我不是这么设的，而是设为my=x.老师：为何能够这么设？你最终得出的结论是什么？学生7：因为这条直线要和抛物线有两个交点，显然斜率不能够为0，但可能不存在，故可这么设. 代入抛物线方程以后，我得到了y1y2=p2.老师：刚才两位同学在求弦长的过程中，发觉了抛物线焦点弦的两个性质，所以我们能够将本题改成另外一题. ：倾斜角为的直线经过抛物线y2=2px的焦点F，和抛物线相交于A，B. 设A，B，求证：x1x2和y1y2全部是定值.但要求出AB的弦长，还需要继续计算，将k，m用替代，计算量还是较大的.有没有发觉上述四种方法中哪一个方法最简单，在解题过程中又有什么发觉？学生8：用几何法计算弦长最方便，类似于例题的求法，我们能够得到BF=，AF=.因此AB=BF+AF=.老师：采取其它方法也能够求出AB=，由这个弦长公式，我们能知道什么时候AB最短吗？学生：当=90时，|AB|最短，最小值为2p.老师：当=90时，AB=2p称为抛物线y2=2px的通径. 但不知同学们有没有从这种方法中，得出什么结论？学生9：+=.本节课我们针对例4谈了4种解法，并要求同学们对例题进行改编，结果在同学们处理问题的过程中得出新结论.变题2：倾斜角为的直线经过抛物线y2=2px的焦点F，和抛物线相交于A，B，设A，B，求证：本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文x1x2和y1y2全部是定值；+=.当然，可能同学们是采取不一样的方法得出对应的结论，但每一个结论却能够由不一样方法进行证实的，课后请同学们用其它方法证实上述的结论. 抛物线焦点弦的性质很多，同学们能够结合手头上的资料或上网去查阅有关抛物线焦点弦问题的其它性质. 接着，下课铃声响了教学反思1. 新课程形式下的数学课堂需要老师对例题进行“再创作”新课程标准的课堂是活动的课堂，是师生之间讨论、合作、交流的课堂，是民主的课堂，是老师充足相信学生、依靠学生、发动学生主动探索的课堂. 教材中的例题大全部是为了说明教材中的知识点而设置的，方法单一，而且是直接展现给学生的. 老师假如对教材照本宣科，既使学生感到枯燥无味，又抹杀了例题中隐含的丰富的数学思想，失去锻炼和提升学生思维能力的机会. 所以老师应主动探索和研究，依据不一样的内容、目标和学生的实际情况，对例题进行加工、改编、补充和完善，进行“再创作”. 对例题的“再创作”，笔者认为能够选择以下两种常见的方法：对例题的解法进行发散，即“一题多解”.教材中每道例题的解法全部会蕴涵这一类问题的通性和通法，但有时也会有部分简单的解题技巧. 上文例题的一题多解不但介绍了处理直线和圆锥曲线问题的通法函数和方程思想和点差法，同时也介绍了几何法. 这种方法不但给予学生更多的数学思想方法，也发散学生更多的数学思维空间，提升学生分析问题和处理问题的能力.对例题进行改编、变式，即“变式教学”.著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同蘑菇有些相像，它们全部成堆地生长，找到一个以后，你应该在周围找一找，很可能周围就有好多个.” 波利亚说的就是变式教学，它是例题教学中普遍采取的一个教学模式. 变式教学是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全方面. 如前文案例中对例题的拓展，还能够变换得到以下多个问题.变题3：已知一直线和抛物线y2=2px相交于点A，B，设A，B，若y1y2=p2，求证：直线经过抛物线y2=2px的焦点.变题4：已知经过定点的直线和抛物线y2=2px相交于点A，B，设A，B，求证：y1y2是一个定值.像这种一题多用、多题重组的变式教学，常给人以新鲜感觉，能够唤起学生好奇心和求知欲. 因此学生能够产生主动参加的动力，保持参加教学活动的爱好和热情，不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时学会比较全方面地看问题. 注意从事物之间的联络的矛盾上来了解事物的本质，在一定程度上可克服和降低思维中的绝对化而展现的思维僵化及思维惰性.一样是变式教学，在教学模式上又有所讲究. 我们日常利用的变式教学，就是指老师有计划地对命题进行合理的转化. 在这一过程中，老师教学预设的多，学生在学习过程中生成的少，学生对问题间的联络和问题的产生过程并不十分清楚. 所以，前文案例中的变题1的教学，在教学模式上做了大胆的改革，采取的是“说题”教学模式，它是变式教学的一个. 说题，学生变老师，老师变学生，由说题者面向全班同学进行说题. 说不上的地方，老师启发，说错的地方由大家讨论更正，要求学习者把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定次序说出来，也可说问题的背景和拓展延伸. 本节课学生说的就是问题的拓展延伸，而问题的背景则应该是变题1. 在这个过程中，学生充足利用了自己对教材知识自主建构的权利，对教材的内容有了自己的了解，老师和学生分享相互的思索、经验和知识，交流相互的情感，学生成为课堂的主体，老师为主导.2. 新课程形式下的学生学习方法需要老师对例题“再创作”学生的学习方法通常有接收式和发觉式两种. 在接收学习中，学生是知识的接收者，在发觉学习中，学习内容是以问题形式间接展现出来的，学生是知识的发觉者. 两种学习全部有其存在的价值，相互是相辅相成的关系. 不过，传统学习方法过分突出和强调接收和掌握，冷落和忽略发觉和探索，这种学习方法窒息了思维和智力，摧残人的学习爱好和热情. 本文案例中采取的“一题多解”教学和“说题”教学，则是以问题的形式出现，让学生去发觉和探索，激励学生对书本的质疑和对老师的超越，赞赏学生独特征和富有个性化的了解和表示，有利于培养创新意识和创新思维.3. 老师对例题“再创作”有利于提升本身的教研水平当代老师不但要含有丰富的专业知识，而且还要具有教育教学的工作能力. 本节课采取的“一题多解”和“说题”教学活动，是师生互动，双边发展的教学活动，它不但有利于训练学生的胆量，提升学生的数学表示能力，培养学生的创新意识和创新思维. 同时，让学生参加知识的产生过程，难免会在课堂出现部分“教学意外”，这就要讨教师在课前需要自己对例题进行多角度、多层次的剖析，有时也要查阅大量的数学资料，以应付课堂上的“教学意外”，这有利于提升老师的教育教学能力和教研水平.本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文