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第二章 矩阵一. 填空题1. = . 2. = . 3. 4. . 5. . 6. = . 7. 8. 已知 . 9. .10. A、B均为n阶对称矩阵,AB仍为对称阵的充分必要条件是 .11. 12.13.设,则 14.设A,B分别为m,n阶方阵,|A|=a,|B|=b,C=,则|C|= 15. 设为正整数,则 16.设为正整数,则 17.18.19.20.设A为三阶方阵,|A|=2,则|2A-1|= , |AT|= ,|(AT)T|= ,|A-1-AT|= .21.设则 (AT)-1= 22. 设A,B为3阶方阵, .23.设方阵A,B满足,其中为A的伴随矩阵,则B= .25. . 26.A为34矩阵,且A有一个3阶子式不等于0,则r(A)= .27.设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵的秩为 28. .29设 .30.设,则r(A)= .二. 选择题1.设A是mn矩阵,B是sm矩阵,则ATBT是( )矩阵.(A) ms (B) ns (C) mn (D)sn.2.设A是mn矩阵,B是nm维矩阵,C是nn矩阵,则下列算式没有意义的是( ).(A) AB (B) |AB| (C) A+C (D)CB.3.( )(A) (B) (C)0 (D)1.4.矩阵的最简形是 ( )(A)(B)(C)(D).5.( ).(A)100 (B) (C) (D)3.6.( )(A)0 B) (C) (D)7.设A、B均为n阶方阵,且AB=0,则必有( ).(A) |A|=0或|B|=0 (B) A+B=0 (C)A=0或B=0 (D) |A|+|B|=0.8.A、B均为n阶对称矩阵,AB仍为对称阵的充分必要条件是( ).(A)A可逆 (B)B可逆 (C)|AB|0 (D)AB=BA.9. ( ) (A)|A|=0 (B)|E+B|=0 (C) |A|=0或|E+B|=0 (D) |A|=0且|E+B|=0.10. 设A,B,C均为n阶方阵,下列错误的运算律为( ).(A) (B) (C) (D) 11设A,B为n阶对称矩阵,则( )不一定是对称矩阵.(A)AT (B) A+B (C)AB (D)AAT12.下列矩阵中( )不是初等矩阵.(A) (B) (C) (D)13.( )(A)若AB=AC则B=C (B) 若AB=CB则A=C (C) 若AB=0则B=0 (D) 若BC=0则B=0.14.(A)对称矩阵 (B) 可逆矩阵 (C) n阶矩阵的转置矩阵 (D) 线性方程组的系数矩阵.15.( )(A) (B) (C) (D) .16.A、B、A+B、A1+B1均为n阶可逆阵,则=( ).(A) A-1+B-1 (B)A+B (C) A(A+B)1B (D) (A+B)1.17. 设n阶矩阵A,B, C满足ABC = E,则必有( ).(A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC= E (D) BCA = E18. 设A,B均为n阶矩阵,则必有( ).(A) (B) AB =BA (C) (D) 19. 设A 是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则( ).(A) = (B) = (C) =n, (D) =20. 若A 为n阶可逆矩阵, 下列各式正确的是( ).(A) (B) AA*O (C) (D) 21. 要断言矩阵A的秩为r,只需条件( )满足即可.(A)A中有r阶子式不为0 (B)A中任何r+1阶子式为0(C)A中非0的子式的阶数小于等于r (D)A中非0的子式的最高阶数等于r.22. A为3阶方阵,其秩r(A)=2,则( )不正确.(A)任意二阶子式均不为零(B)至少有一个二阶子式不为零(C)其行最简形矩阵有两行首个非零元是1(D)行阶梯矩阵中有两个非零行.23.若n阶方阵A的秩为r,则结论( )成立。(A) (B) (C) rn. (D)r24.A,B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则A和B的秩( ).(A)必有一个等于零 (B)都小于n(C)一个小于n,一个大于n (D)都等于n. 25.设3阶矩阵,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有( ).(A) (B)(C) (D).26.n阶方阵则a=( ) (A)1 (B) (C)-1 (D)三. 计算题1设,求AB及(AB)T.2设,求3AB2A及ATB.3如果矩阵X满足X+3A=2BX, 其中,求X.4.将线性方程组写成矩阵形式.5.化矩阵为行最简形.6.设为n阶方阵, 求|A|.7.设到的线性变换为, 到的线性变换为求到的线性变换.8. 9.10. 11.利用初等行变换求下列方阵的行最简形(1), (2).12. 已知等式.求x, y, z, w .13.如果 f (x) = x2x+1, , 求f (A).14. .15.设A=,求An16.求可与A=,B=交换的所有矩阵.17判断下列矩阵是否可逆,如果可逆, 求其逆矩阵:(1),(2)18.解下列矩阵方程;19.20. 21.22. 23.24设,其中,25设 A为n阶矩阵,A*为其伴随矩阵,求.26.设AX+B=C,其中.27.设的秩为2,求x .28.设求r(A)29已知B为3阶非零矩阵,且满足BA=O.求参数t.30.设矩阵且求k.四.证明题1. 设为n维列向量,为n阶单位矩阵,A=E2T,试证:AT=A.2. 已知验证:(1) (A+C)B =AB+CB; (2) (AB)C=A(BC).3记n阶方阵A,B的迹分别为tr(A),tr(B),试证(1)tr(AT) = tr(A),(2)tr(AB) = tr(BA).4.5.6.设A 是n阶对称阵,B是n阶反对称阵,证明A-B2是对称阵7.设A,B是n阶方阵,满足A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B,证明:AB=O8证明如果A是非奇异对称(反对称)矩阵,则A也对称(或反称).9. .10.设A为n阶方阵,且,(1) 证明A可逆,并求A-1;(2) 若|A|=2,求|4A-8E|.11.已知n阶方阵A满足2A(A-E)=,求(E-A)-1.12. 证明:若,则必可表作r个秩为1的矩阵之和.答案与解法提示一. 1.; 2.10; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7. ; 8.;9. ; 10.AB=BA; 11. ; 12. 13 . ; 14. 15.; 16. 17. ;18. 19. 16;20. 21. 22. ;23.; 24. ; 25. 5; 26.3 ;27. 0(提示:r(A)=2,知A的所有3阶子式均为0.从而=O, 即); 28. .k=3;29. 2(提示:); 30.1(提示:A的各行成比例).二. 1. (B); 2. (C); 3.(B ); 4.(A ); 5.(C ); 6.(D ); 7.(A ); 8.(D ); 9. (C);10. (C);11.(C); 12.(D); 13.(A)(C);14.(A)(B)(C); 15. (C); 16.(C); 17.(D); 18. (C); 19.(B);20.(B); 21.(D); 22.(A); 23. (D); 24.(B); 25.(C) (提示:,若a=b则r(A)=1,从而r(A*)=0不合题意,排除(A)、(B);若则r(A)=3,从而r(A*)=3不合题意,排除(D); 26. (B).三. 1. AB=, (AB)T=;2., ;3.; 4. ; 5. ; 6. ;7. ; 8. ; 9.;10. 0; 11. (1), (2);12. 3,-6,0,2; 13.;14.;15. 找出递推公式 An=(-4)n-1A ; 16.提示:利用AB=BA及B=A+2E;17. (2) ; 18.;19.; 20.; 21. ; 22. ; 23. ; 24.; 25. ; 26. ; 27.2; 28.; 29t=5;30. 提示:由得: 所以因时,从而四.1.提示:; 2.(略).3.(1) 4. 提示:利用范德蒙行列式.5.(略)6. (略)7. 提示:计算得出AB+BA=O后,左乘A,右乘A得出AB=BA.8.(略) 9.(略 )10.提示 (1)利用逆阵定义; (2)|4A-8E|=.11. 12. 提示:依题意,有可逆矩阵P、Q使得其中矩阵Bi(i=1,2,r)的第i行、第i列的元素为1,其余元素均为0.显然r (Bi)=1.从而由于P-1、Q-1是可逆矩阵,故r (P-1Bi Q-1)=1.
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