线性代数第六章第二节二次型化为标准型的三种方法.ppt

第六章第二节,二次型化为标准型的三种方法,用可逆（或正交）变换化二次型为标准形,目标：,问题转化为：,定理 3 对任意n元实二次型 f（x1,x2，,xn)=XTAX( A 为 n 阶对称矩阵)，则必有正交矩阵 P ,使,正交变换的特征是保持向量的长度不变,定义若为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换,在几何中将二次曲线或曲面的方程化为标准型方程时，如果,要求保持图形的几何性质（如保持图形的形状不变）,就要使用,正交变换等方法。,次型，使变换保持尺度不变。,在统计等方面的应用中，也常常使用正交变换的方法处理二,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,与上一章化相似标准型的做法基本一致，也可以作组内正交化,用正交变换将二次型化为标准形的方法,由 ,解 写出 的系数矩阵A，求出A的特征值和特征向量,得,得基础解系,当 时,解方程组,得基础解系,当 时,解方程组,将特征向量正交化、单位化,再对1,2, 3单位化,得,写出正交变换的矩阵,由 构成正交矩阵,显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面.,注意：化f为标准形的正交变换不唯一.,则二次型经正交变换x=Ty化为标准形,解,例2,拉格朗日配方法的具体步骤,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变,问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实,对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量，,条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型(包括实二次型),的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征 值问题，只需反复利用以下两个初等公式,就能将二次型化为平方和。下面首先举例说明，再给出理论证明。,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,解,例3,所用变换矩阵为,例4 用配方法化二次型,为标准型，并求出所用的可逆线性变换。,解,(2)是可逆线性变换，使,2,3,4,9,2,2,2,1,3,2,1,),(,y,y,y,x,x,x,f,-,+,=,解,例5,由于所给二次型中无平方项，所以,记X=BY,得,再把所有含y1的项集中,配平方;同样地把含有y2的项集中,配平方,就得到,即：,求逆 矩阵,记Y=DZ,所用变换矩阵为,定理4 对于任一n元二次型,都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和）,证明 对变量个数进行归纳。,平方项的系数不全为零，不妨设,是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换,则非退化线性变换为,是非退化的线性变换，使得,可化为标准型.,推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同.,证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得,右端标准型的矩阵为,新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵,B合同.,3 初等变换法,根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.,只作列变换,C为所求,1、化二次型为标准形的正交变换是否唯一？ 2、二次型的标准形是否唯一？ 3、二次型的平方和和标准形主要区别是什么？ 4、在实数域里考虑，正交变换法和配 平方法没有改变二次型的那些特征？,思考,1、正交变换不唯一； 2、标准形不计顺序的话是唯一的； 3、标准形的系数为其特征值，而平方和的系数则不是特征值，可以任意变动. 4、没有改变二次型的秩，事实上，二次型的系数中正负项的个数也没有被正交变换改变。,思考题解答,