给老师的建议

给初中数学教师的十条建议一、研读课程标准，明确新教材内容与要求的变化二、认真钻研教材，明确新教材体系与编写的意图三、改进教学方式，高效的课堂是永远不变的追求四、重构问题情境，要有利于激发学生的学习兴趣五、重视学法指导，让学生在原有的基础上有提高六、实施评价鼓励，学生的成功是老师最大的快乐七、尊重个性差异，因材施教创设适合学生的教学八、合理选择媒体，用其所长辅助教学是它的定位九、培养良好习惯，是学好数学需要也是德育渗透十、重视校本教研，带着困惑学习带着问题去研究给初中数学教师的十条建议一、研读课程标准，明确新教材内容与要求的变化学习课程标准，明确初中3年（79年级）的教学内容和要求，特别要明确新课程要求加强的方面和已删去或降低要求的内容。对已删去或降低要求的内容要敢于放得下。义务教育第三学段（79年级）内容结构分为四大块：数与代数：数与式、方程与不等式、函数；空间与图形：图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明；统计与概率：统计 、概率；实践与综合应用：课题学习。（数学课程标准第11页内容结构表）数与代数在这一部分，课程标准强调，在“数与代数”的教学中：（2个注重1个加强1个避免）应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律；应注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程；应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数内容的几何背景；应避免繁琐的运算。 （数学课程标准第31页第2段）数与代数课程标准与原大纲相比，加强的方面：（表现在下面5个重视3个增加）1、重视数轴的应用，借助数轴理解相反数、绝对值；2、重视用有理数估计一个无理数的大致范围；3、重视对乘法公式几何背景的了解和公式的推导；4、重视估算用观察、画图或计算器等手段估计方程的解；5、重视对具体问题中的数量关系和变化规律的探索；6、新增对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断；7、新增根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；8、新增用二次函数的图象求一元二次方程的近似解； 减弱的方面：（主要表现在以下4个方面） 1降低运算的复杂性、技巧和熟练程度的要求；标准对一些内容的要求作了限制，例如：（1）绝对值符号内不含字母；（2）有理数混合运算以三步为主；（3）二次根式运算不要求分母有理化；（4）多项式相乘仅指一次式相乘；（5）公式法因式分解，直接用公式不超过2次；（6）分式方程中的分式不超过两个；（7）一元一次不等式组限2个不等式。2减少公式的条数，降低对记忆的要求；例如：（1）乘法公式只限两个 平方差公式、完全平方公式；（2）求二次函数图象顶点、对称轴的公式不要求记忆和推导3降低对一些概念过分“形式化”的要求；例如：没有最简分式、最简二次根式的概念。 4删去一些繁难的内容；例如：（1）没有十字相乘法和分组分解法；（2）没有可化为一元二次方程的分式方程；（3）没有高次方程、根式方程、二元二次方程组；（4）没有韦达定理；（5）求自变量取值范围没有根式；（6）没有用根的判别式研究二次函数的性质；（7）没有二次根式的化简。 空间与图形在这一部分，课程标准强调，在“空间与图形”的教学中：（3个注重）应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明的要求控制在标准所规定的范围内。 （数学课程标准第37页第3段）空间与图形课程标准与原大纲相比，加强的方面：（主要表现在下面的6个方面）1、强调内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验；2、增加了图形变换、位置的确定、视图与投影等内容；空间与图形的知识涉及面广了：增加了视图与投影；图形平移、旋转；图形与坐标。3、加强了几何建模以及探究过程（如圆，改定理证明为性质的探索、发现），强调几何直觉，培养空间观念；4、突出“空间与图形”的文化价值；5、重视量与测量，并把它融合在有关内容中，加强测量的实践性；6、加强合情推理，调整“证明”的要求，强化理性精神。减弱的方面：（主要表现在2个方面）削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少定理的数量删去了大量繁难的几何证明题，淡化几何证明的技巧，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。圆和相似形这两块内容的课程标准要求与原大纲要求完全不同：“圆”重在探索，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，这些关系就是图形的性质，由原来作为定理加以证明，转变为通过探究去发现，对于结论只需要了解。教学的重点转变了：重证明重情景创设，让学生探索发现结论。(以下内容没有要求：1）两圆连心线性质、两圆公切线；2）垂径定理及其逆定理的名称；3）圆内接四边形的性质；4）切线长定理；5）三角形的内切圆及其画法；6）弦切角定理、相交弦定理和切割线定理。 “相似形”也是一样：重探索，探索相似图形的性质；探索两个三角形相似的条件。另外，标准对尺规作图有明确的要求：对于尺规作图题，要会写已知、求作和作法（不要求证明）但没有轨迹的概念和五种基本轨迹、利用轨迹作图的要求。 统计与概率在这一部分，课标强调，在“统计与概率”的教学中：（3个注重1个加强1个避免）应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系（如频率与概率，可以用频率估计概率）；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习（传统教学中，重平均数、标准差的计算，新课程要求重在理解意义，计算可用计算器），对有关术语不要求进行严格表述。 （数学课程标准第47页第2段）统计与概率课程标准与原大纲相比，强调与注意的方面：（2个强调3个注意）强调统计与概率过程性目标的达成；强调对统计表特征和统计量实际意义的理解；注意与现代信息技术的结合；注意统计与概率和其他内容的联系；注意避免单纯的统计量的计算和对有关术语进行严格表述实践与综合应用课题学习新增加的学习领域课题学习不是在其他数学领域之外增加新的知识，而是强调数学知识的整体性、现实性和应用性，注意数学的现实背景以及与其他学科之间的联系；通过综合实践活动（探讨一些具有挑战性的研究课题）：促使学生进行自主探索、合作交流，发展应用数学知识解决问题的意识和能力。加深对“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”的理解，认识各部分内容之间的联系。（这方面的内容大家可查阅浙江省教育厅教研室许芬英老师发表在中国数学教育（初中版05.10）上的文章“初中数学新课程教学内容和要求的变化及课堂教学建议”）二、认真钻研教材，明确新教材体系与编写的意图钻研教材，明确新教材体系、内容呈现的先后次序，理解编写意图和特点。要在一年内通读教材，做完所有的练习和作业，对新学期教材的例题、练习、作业题等必须在开学初一周通解一遍，了解知识的来龙去脉和渗透的数学思想方法，体会思想方法孕育和发展的阶段。人教版教材结构体系(略)人教版教材的编写特点:1、新教材栏目设置新颖灵活，图文并茂，具有启迪性、探究性，与旧教材相比，更具人性化新教材在栏目设置上以学生喜闻乐见的形式，图文搭配，风趣活泼，生动有趣，根据教学需要设置了大量的“观察”、“思考”、“讨论”、“探究”、“归纳”、“复习巩固”、“综合运用”、“拓广探索”、“阅读与思考”、“课题学习”、“数学活动”等栏目。适当设问、引导、留白，加大了探索空间，激发了学生的学习兴趣。教材的每一章章头大都以生活中精美的图片引入；又以风趣贴切的语言引导，向学生展示身边现实的，富有挑战性的数学素材；引用真实的数据、图片或卡通形象，提出富有启发性的数学问题；在学生已有知识背景和生活经验的基础上，提供了大量的操作，思考与交流的机会。例如：七年级上册第三章“图形的认识初步”中，以北京2008年奥运会的奥运村模型为章前图，从丰富多彩、形态各异的图形中让学生找出自己熟悉的几何图形，激发了学生观察、思考的兴趣。接着教材继续向学生展示一张张精美的、学生熟悉的平面图形和立体图形及其展开图，以帖图、设问、引导句、“观察”、“探究”、实验等方式，让学生体验立体图形与平面图形的相互转化，建立空间观念。七年级上册第二章“一元一次方程”以陡峭山间中行驶的一辆汽车的巨幅图片为章前图，引出行程问题，创设了问题情境，再通过读图、读表获取有用的信息，建立方程模型。让学生的学习从对问题的研究开始，经历知识的形成和发展过程。八年级上册第十章从数据谈节水向学生展示了一幅在干裂的土地上奄奄一息的候鸟图片，视觉冲击强烈，震撼人心，以此强化学生的节水意识、环保意识，引出研究的问题。课后再附上“背景资料”、图片、表格，十分有利于学生掌握所学的知识。八年级第十八章“勾股定理”的引入中，教材以在北京召开的“2002年国际数学家大会”场景的巨幅图片，展示了大会会场的壮观及大会会徽“赵爽弦图”的精美，从而引导学生“观察”，激发学生对勾股定理的兴趣。教材通过图片、设问、引导句、表格、注析、“观察”、“探究”、背景知识介绍等，让学生了解勾股定理的发展，感受勾股定理丰富的内涵，体会勾股定理的重要性，掌握勾股定理的证明方法。新教材注重学生的直观感受，提高了学生学习的自觉性。2、新教材关注社会生活、关注实践应用，时代感更强，无论是作为教学引入，还是作为背景介绍，都引用了大量的社会生活素材，创设了丰富的教学情境，激发了学生学习的兴趣新教材以天上的星星比作“点”，以夜空中的流星划过留下的光线比作“线”，以太阳比作圆，以太阳从海平面上升起说明直线与圆的位置关系，非常形象；新教材介绍了大量的数学文明史：以中国古代算经九章算术记数法算筹来介绍有理数的运算；以世界最精确的钟原子钟的误差来介绍正负数；以尼罗河的泛滥谈几何学的起源；新教材关注社会生活：以“建筑工人砌砖拉线”、“木工师傅锯木板弹墨线”来介绍直线，非常生动；“从算式到方程”中的“数字1与字母的对话”说明字母表示数，非常有趣；“概率与中奖”引导学生正确认识“买彩票与中奖”的关系。在代数方面，新教材引入了市场营销、通信收费、银行贷款、出租车费、统筹运输等问题，都让学生充分体会到数学知识来源于生活，又为社会生活服务，拉近了数学与生活的距离，激发了学生学习数学的兴趣。在几何方面，新教材通过图形的观察、展开、折叠、平移、旋转、相似、对称、翻折等动手实践活动，以形象、直观的方式呈现知识，容易为学生所理解、所接受，有利于引导学生观察社会、观察生活，学会合情推理，大大降低了学习的难度。3、新教材贴近课程标准，突出数学本质对于二次根式的加减运算，教科书回避了同类二次根式的概念，突出强调了运算时先将二次根式化成最简二次根式再进行合并的方法。这样处理内容的目的是使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来。教材为了突出数学本质，正多边形放在“圆”这章。因为正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的性质。在讲解“二元一次方程组”解法的时候，直接使用“消元”作为题目。而在讲解“一元二次方程”时，直接使用了“降次”作为题目，增强的学生对数学本质的理解。七（下）新增一节“三元一次方程组”目的是通过三元一次方程组进一步体会消元代入消元，加减消元的思想方法，同时为二次函数中利用待定系数法确定二次函数的表达式做一定的准备。但课程标准上没做要求.4、新教材的内容编排呈螺旋上升的方式，循环往复，有利于学科之间的知识渗透，密切了知识之间的联系，增强了互补性及递进性新教材改变了过去“先集中出方程，后集中出函数”的做法，按照数量关系，安排方程和函数交替出现，即按一次方程（组）和一次函数、二次方程和二次函数的顺序关系，螺旋上升，强化方程和函数之间的联系，从函数角度提高对方程的认识，如第113节“用函数观点看方程（组）与不等式”，第262节用函数观点看一元二次方程。再如：对于平移变换，教科书首先在第五章“相交线与平行线”中安排了一节“平移”，探讨得出“对应点的连线平行且相等。”等平移变换的基本性质；目的是一方面作来平行线的一个应用，另一方面，尽早渗透平移变换的思想，在“平面直角坐标系”中又安排了一小节“用坐标表示平移”的内容，用坐标刻画了平移变换，从数的角度进一步认识平移变换；在第13章“实数”进一步安排在实数范围内研究平移的内容，在“四边形”一章中，将对“对应点的连线平行且相等”这条平移变换的基本性质进行论证，为后续学习利用平移变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础。新教材把“相似”的内容安排在“圆”之后，主要是出于以下几点考虑：首先，在课程标准中，相似是作为图形的一种变换提出来的，而它又是在全等变换基础上的拓展，所以教科书是先安排的的平移、轴对称、旋转等变换，后安排相似变换，而研究圆的一些性质，又与旋转变换关系密切，因此把圆紧接着安排在了旋转之后。其次，学习圆的相关知识，相应于课程标准中对于圆的要求，用不到相似的知识储备。所以把相似的内容安排在圆之后，还可以把圆中的一些问题作为研究相似的应用来处理。例如作为相似三角形判定和性质的应用，教科书安排了相交线定理的例题，简单圆幂定理的习题等。这样也能复习有关圆的知识，加深学生对与圆的理解。新教材淡化了几何、代数的分界线，融几何、代数、统计于一体，相互交错，螺旋上升逐步递进，既复习了旧知识又学习了新内容。新教材还关注了相关学科的知识渗透，为其它学科的教学提供了相应的知识准备，有利于其它学科的教学，体现了数学的基础性。5、关注基本数学思想，加强归纳推理与演绎推理相结合史宁中先生认为：我国学生基础知识与基本技能很好，演绎推理能力强，但我国学生归纳能力薄弱。演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。而归纳能力主要是根据情况预测结果的能力，根据结果探究成因的能力。归纳是创新的能力,没有演绎，就没有知识体系；没有归纳，就没有创新的源泉。“基本思想”主要指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线。教科书讲授“有理数的乘法”时的例子：教科书讲授“多边形内角和”时的例子：6、突出图形性质的探索过程，重视实验操作和逻辑推理的有机结合。如讲“相似”一章时，教科书通过测量长度和角度，发现相似多边形对应角相等，对应边的比相等的性质，教科书安排了三个“探究”栏目，分别探究当“三组对应边的比相等”“两组对应边的比相等，并且夹角相等。”“两组对应角相等”时，两个三角形是否相似的问题，引导学生通过“先直观实验，后逻辑证明”的方式，由感性到理性地掌握相似三角形的三个判定定理。 7、新教材在例题、习题的配置上，一改过去“数学课就是习题课”的老套子，编制的例题、习题不多，且非常典型，把学生从书山题海中解放出来，为能力较强的学生提供了自由发展的空间新教材留给了教师很大的发展空间，是一个广阔的舞台。这对于有丰富经验的教师来说，有利于教师延伸、拓展、创造性地使用教材，有利于发挥每一位教师的聪明才智；对于年轻教师，由于工作时间有限、经验不足、处理教材的能力有待提高，促使年青教师充分利用现代教育技术，走出教科书、走出课堂、走出学校，寻找丰富的教学资源，成为课程资源的引导者、开发者。对教师的工作提出了更高的要求，可以促进教师的专业成长。此外新教材有些地方例题难度太大，又没有相应的习题加以巩固，习题题量不足，且难以模仿例题，学生往往是上课听懂了，课后还是不会做作业，造成基础知识、基本技能的落实不到位。倒是旧教材在这个方面做得好，例题、习题都有梯度，学生容易理解接受，练习题、习题大都可以模仿例题，学生容易消化、巩固，符合大多数学生的认知特点，有利于学生内化自己的知识。事实上，对大多数学生来说，足够的练习量和必要的模仿练习是保证学生掌握“双基”、学好数学的前提。例如：人教版七年级下册的第九章“实际问题与一元一次不等式”第131页例题是一个不等关系的分类讨论题，是重点也是难点，课后却没有相应的习题加以巩固；八年级上册的第十一章第46页课外习题第10题太难，是分段函数，又没有例题可以模仿；第43页的例3、第46页的第9题、第47页的“活动2”等，对于八年级的学生来说，难度过大，原则上应该是完成了九年级学习任务的学生才达到的解题要求。针对上述情况，我认为：（1）教师不能局限于原来的例题、习题的形式，要根据教学需要，调整例题和习题；（2）对难度较大的例题，根据课标要求，可以有意识地补充一些有梯度的练习，加强核心知识的巩固训练；（3）对于难度较大的练习，可以适当补充相关的例题，加以铺垫，降低学习的难度，避免学生产生畏难情绪，削弱学生的学习兴趣。(第2部分资料来源:人教版初中数学课标实验教材第五次全国经验交流会会议资料)三、改进教学方式，高效的课堂是永远不变的追求新课程提倡的三种教学方式“让学生动手实践、自主探究和合作交流”，要敢于实践，但要根据教学内容进行选择，注重实效。既不要不加选择地滥用这三种方式，也不轻易放弃让学生动手实践、探究和交流的机会；既要防止穿新鞋走老路，将新教材仍用满堂灌的方式教授，又要防止只追求形式上的改变，貌似热热闹闹，实则削弱基础。案例1 正方形的识别教学过程（一）课题引人师：我们已学习了平行四边形，矩形、菱形是特殊的平行四边形，那么最特殊的平行四边形是什么？生：正方形。师：对。我们中国人对正方形有特殊的感情，如“坦荡方正”、“天圆地方”等词语，还有许多实物都是正方形的形状（投影展示：“玉玺”等正方形的实物）（点评：课题的引入质朴、自然，无丝毫“矫作”成分）（二）活动探究师：请同学们用最快的速度画一个正方形，然后（1）想一想，你所选择的画法是否经得起推敲？（2）比一比，你周围同学是否有比你更好的办法。教师巡视，学生动手画，然后相互交流。教师请学生代表来说明自己的画法。生1：画两条相等、垂直且互相平分的两条线段，顺次连接这四个端点。师：请你思考一下，你的画法经得起推敲吗？生1：（1）从对角线互相平分可得平行四边形；（2）对角线相等说明它是矩形；（3）对角线互相垂直说明它是菱形；（4）既是矩形又是菱形说明它是正方形。师：生1同学回答的很好！说明该方法经得起推敲，有科学的依据。生2：先画两条相等的平行线，再画垂线。师边操作，边追问，在追问中逐渐使语言严密起来，实际操作中先画一条线段，再过两个端点作两条垂线，然后在两条垂线上取长等于垂线段长，连接四点，构成正方形。生3：先画一个等腰直角三角形，过三角形两端点画两条直角边的平行线，构成正方形。（教师追问其判别正方形的依据）师总结：以上这些画法都较复杂，但我们知道正方形具有菱形与矩形的所有特征，我们识别正方形时就是要识别出它既是矩形又是菱形。（点评：让学生自己动手来画正方形，用“想一想”、“比一比”来引导学生进行数学的思考和同学间的交流合作，再通过“是否经得起推敲”的反思，使整个探究活动“一气呵成”自然连贯。）（三）实践应用师：昨天我来到柯桥这个中国轻纺城，心里很高兴，在上街游玩时买了一方丝巾作纪念，我想请同学们帮助检验方巾是否是正方形的？教师不断提问，不断操作，引导学生利用纸张进行实验，一段时间后根据学生提出的方法提问。实验1：沿对角线折； 实验2：沿对边的中点连线对折。（点评：检验方巾这个设计将数学知识应用于实践，其设计不仅具有地方特色，而且使教学过程亲切、自然。）（四）理论提升师：现在请同学们看下面的问题（投影展示题目）教师读题：已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，从下列这些条件中取出哪些条件后，可使平行四边形ABCD成为正方形。（1）AB=AD； （2）AC=BD； （3）BAD=900； （4）ACBD学生解答：（1）（2）；（1）（3）；（2）（4）；（3）（4）。师：如何使得不出现重复，也不遗漏呢？（稍停，让学生有一个思考）。我们可以将条件分成两类：（1）（4）可判定菱形；（2）（3）可判定矩形。共有四种组合。（点评：运用例题把学生在操作中形成的感性认识上升到理性的思考，符合学生认知的发展，而且对所学知识进行了系统总结，归纳完善了认识。）（五）小结交流投影显示小结提纲：（1）这节课我的收获有哪些？（2）我最感兴趣的地方是什么？（3）我想进一步研究的问题有哪些？（点评：开放式的小结，让学生学会反思，也有利于学生对课题进一步深入思考。）（课后感想：本堂课教学以“正方形的识别-既是矩形又是菱形”为知识的重点，围绕着三个问题：画正方形，检验方巾以及判别正方形的条件组合。这三个问题都是开放性的可让学生较自由地思索、探讨，整堂课始终在学生探索、讨论、总结和反思中不断地加深完善学生对知识的认识。）（来自中小学数学）四、重构问题情境，要有利于激发学生的学习兴趣对一些不适合本地区学生的教学情境，可根据本地区学生的生活实际重新创设，但创设的情境应与课本情境反映的数学本质相同，并能激发学习兴趣、激发求知欲望，有助于概念的理解或体现数学的运用。任何学习的愿望都是在一定情境中产生的，而且只有问题性的情境才具有强烈的吸引力，才能激发学生对数学学习的要求，促进教学任务的完成。因此，我们提倡不要把概念放在教学的最前面，这不符合认识规律，要把问题背景放在前面，即在呈现概念之前，首先应呈现与之相关的足够的材料，使数学概念以及数学思想方法从其中自然地产生出来，而不是教师和课本强加给学生的。这样做的目的，并不仅是为了“符合认识规律”，使学生更自然更牢固地掌握数学概念，更重要的是，学生在接受概念的时候，将潜移默化地受到一种思想的熏陶。但是，必须注意，情境本身是一种教学手段，并不是教学目的。设置问题情境的目的是为了激发学生的学习兴趣，使学生处于智力的情境中。事实上，当创设的问题情境激发了学生接受挑战的欲望时，则说明这种问题情境已经生成，也起到了作用。案例2 无理数一课的课前引人教学一位教师在上无理数一课前，先做了一个大骰子（touzi），作为教具。上课了，他把手中的大骰子举起来，对着全班同学：“同学们，这是什么？”生：骰子！师：它有什么用处？生：打麻将用！师：是的，打麻将要用它。但是，除了打麻将以外，它还有什么用处呢？这一问，一下子把同学们给问住了。闹哄哄的课堂，突然安静下来。学生转入了沉思：骰子还能有什么别的用处吗？面对大家的沉默，教师没有立即给予解答，他请两位同学上台，让一位同学在讲台上掷骰子，另一位同学在小数点后面写上骰子掷出来的点数。所有同学都聚精会神地看他俩的表演。随着骰子一次次地掷，点数一次次地记，黑板上出现了一个不断延伸的小数：比方说是0.3154265123，一段时间后，老师突然喊：“暂停”。师：同学们，如果骰子不断地掷下去，点数不停地记下去，那么我们能在黑板上得到一个什么样的小数？它会有多少位？生：能得到一个有无限多位的小数。师：是无尽循环小数吗？生：不是。师：为什么？生：点数是掷骰子掷出来的，并没有什么规律。师：不错。这样得到的小数，一般是一个无尽不循环小数。这种无尽不循环小数，与我们已经学过的有尽小数、无尽循环小数不同，是一类新数。我们称它为“无理数”。这就是我们今天要学习的主题。评析：教师以骰子一次次投掷得到的数来产生一个具体的、位数可以不断延伸的小数，为学生提供了一个可以“感触”的非常直观的无理数模型，使本来遥不可及的数学概念一下走到学生面前，赋予无理数一个真实可信的意义。（来自：初中数学教学案例专题研究，伊红等主编，浙江大学出版社）五、重视学法指导，让学生在原有的基础上有提高在数学活动（如指导课前预习、新知识探究发现、例题教学、巩固练习）中，教师要及时引导学生反思、归纳，小结活动中隐含的或发现的数学规律，以及探究、解决问题的方法。一节课（或一个单元、一个章节）的学完之后，要引导学生从本节课（或本单元、本章节）所学的知识技能、探究和解决问题的过程方法等方面加以归纳、总结、提炼，设问要具体明确，要有启发性和层次性，让不同层次的学生在课堂上都有事情做。通俗地说；让学习困难的学生吃的了，学习优秀的学生吃的饱。案例3 反比例函数的图象与性质师：大家在预习后有什么问题吗？生1：双曲线上的部分曲线会不会是圆弧？生2：为什么说双曲线有“两个分支”，有没有第三个分支？生3：有没有过原点的双曲线？生4：双曲线永远不能到达坐标轴，是不是在很远的地方与坐标轴平行？生5：在函数和中系数都有一定的几何意义，但书上为什么不提反比例函数中的几何意义？师：大家问题提的很好，看来预习时是思考的比较深入了。下面我们就亲手画一画反比例函数的图象，希望在正确画出反比例函数图象的过程中，同学们对解决自己的问题有些思考。（在以下的时间里，祁老师引导学生通过列表、计算、画出坐标系、描点、光滑连接等常规步骤画出了反比例函数的图象。以祁老师丰富的教学经验，她知道学生初次接触反比例函数，由于认识的粗浅，必定在图象的绘制中会有所反映。果真，巡视中发现了学生易发生的一些错误，如双曲线在往轴两个方向发展中逐渐往上翘或方向不恰当地往坐标轴直逼，甚至产生图象与坐标轴的交点的错误。祁老师抓住问题，引导学生去认识双曲线为什么不能“往上翘”和为什么不能产生图象与坐标轴的交点，并不失时机地提出了学生的问题：那么双曲线在很远处会不会与坐标轴平行呢？见学生若有所思但不能肯定的样子，祁老师启发到：）师：在什么情况下我们提到了“平行”？生：两条不相交的直线。师：对。那么曲线与直线有没有不相交的时候？生：有。如圆与圆外的一条直线师：（老师画出示意图，说道：）“现在能说圆和直线平行吗？”（学生大笑，祁老师继续讲）“显然，此时我们不会说圆与直线平行。可见，一条曲线和一条直线既是不相交也不能叫平行。况且这里的反比例函数曲线尽管越来越趋向于一条直线，但从解析式的计算可以看出，取不同自变量的值所得函数值是不一样的，因而它不会成为一条平行于坐标轴的直线，而仍是曲线。至于看上去双曲线在远处像直线，那是我们眼睛的功能对细微变化不易察觉的一种缺陷，想象一下把双曲线放到放大镜下会怎么样？”（点评：祁老师深入浅出的阐述终于使学生理解了“双曲线无限接近于坐标轴且与坐标轴永远不会相交”的含义）祁老师继续提出生2的问题：虽然我们现在可以看到图象由两部分组成，但大家还是有疑惑；那么究竟会不会还有第三部分或第四部分。那么，回忆刚才画图的方法与过程，同学们看看能不能自己回答？（学生解答略）解决了两个问题之后，祁老师按知识的发展继续讲课，引导学生用函数在原有的坐标系中画出的图象，在分析、应用新知以形成和强化对反比例函数中取正、负数时对图象位置影响认识的目的后，祁老师又提出了新的目标：下面我们来讨论一下同学们的问题，即“在正比例函数和一次函数中系数都有几何意义，但书上怎么没有提到反比例函数中的几何意义？反比例函数中的有没有几何意义？”祁老师应用类比的数学思想方法，引导学生在同一坐标系中画出的图象，并和已有图象对照。让学生自己发现：“的值越大，逼近坐标轴的速度相对越慢。”的结论。事实果真是这样吗？请同学们再在同一坐标系中画出和的图象，并和已有的图象对照，此时，终于水到渠成：应该是的值越大，逼近坐标轴的速度相对越慢。课上到这里应该说很完美了。然而，在学生的最近发展区如何锦上添花，祁老师请同学们再深入思考还有什么更直观的几何意义呢？教师借用我国著名数学家华罗庚的诗句“数形结合百般好，数形分离万事休”引导学生从数形结合的角度来探讨更直观的几何意义。学生结合图形与函数的解析式终于探索到了教材上没有的东西：的最直观的几何意义就是代表图象上任意一点作两坐标轴的垂线段与坐标轴所围成的矩形面积。就要下课了，祁老师带着学生回顾反比例函数的图象与性质，评价了学生的表现。留下两个未解答的学生提出的问题“双曲线上的部分会不会是圆弧？”和“有没有过原点的双曲线？”让学生带回家思考，以便于下节课的探讨。评析：教材是学生数学活动的出发点，而不是终极目标。突破教材的框框，把学生提出问题的能力作为数学教学活动的起点和归宿，这种教学是将学生放在整个教学过程的主体地位上，通过教师引导性讲授，组织学生开展观察、比较、探索、归纳、抽象等活动，增强学习的主动性，体现了教学为学生学习服务的理念。六、实施评价鼓励，学生的成功是老师最大的快乐要重视对学生的评价鼓励，当学生回答问题有困难或回答不完整时，可采用让其他同学帮忙的形式，鼓励生生间合作。既让学生在相互帮助讨论中理解知识、掌握解决问题的方法，又不让回答不出或回答不完整的学生尴尬。案例4用公式法解一元二次方程-求根公式注：此为省特级教师邬云德老师，运用合理的评价用语引导学生达成学习目标的案例。（一）课前预习-搭脚手架课前，教师给学生一张探索问题的预习清单：1、解一元二次方程你学会了哪几种方法？2、请你用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8）3、你对各种解法有何看法？在解题过程中你发现了什么？（二）讨论研究-认识公式1、回顾解法-探索接触上课一开始教师就说：谁来报告一下课前布置的8个方程的解法与答案？生1：题（1）、（4）、（5）、（7）、（8）我用配方法解，题（2）、（3）、（6）我用因式分解法解。（答案略）师：你针对问题的特点，选择了合适的方法来解决问题！生2：我每道题都用配方法来解，我认为配方法虽繁一些，但解法有规律，所有一元二次方程都可以用配方法来解。师：你善用配方法，说明你对配方法很有感情！（学生大笑）生3：我做完题（4）发现可把题（4）的结果当作公式，解题（5）-（8）的方法是代这个公式。师：你的创新意识很强，你为我们提供了解一元二次方程的一种新方法！生4：2、评论解法-形成猜想师：大家课前的学习任务完成的非常好！善于观察，善于反思，善于创新，这是学好数学的秘诀。谁再来评论一下各种解法。生5：用因式分解法解一元二次方程虽简单、快捷，但它只能用于一些特殊的一元二次方程，用配方法解一元二次方程虽比较繁，但一元二次方程所有的一元二次方程都可用配方法去解，这是配方法的优点。师：你的分析很有哲理！生6；用配方法还能得到一个公式！如果能用这个公式，就能简化解一元二次方程的过程。师：你说的很好！你不但说明了配方法的内在美，而且引出了一个“副产品”-公式，我认为这个“副产品”很有价值。（点评：一个“好”字引出了“副产品”-公式，这就直奔本节课的主题，“好”字用的贴切、自然。）3、感受解法-支持接触师：大家通过自主探索与合作交流已形成了许多共识，也肯定还有新的感想，谁能说说自己的感受，说错也没关系。生7：我觉得用配方法解一元二次方程有一定的程序，且所有一元二次方程都可用配方法去解，以后解一元二次方程可交给计算机去做。师：你的思想非常开放，想法很好，这项工作就交给你们去研究，你们可以找电脑老师来帮忙，也可以到图书馆去找有关资料作参考。生8：我认为这个公式非常有用，所有一元二次方程都可以通过公式求出它的根，因为只要对公式中的字母作适当的限定即可。师：你用的是一般到特殊的思想-对公式中的字母作适当的限定。生9：我觉得可编一个程序送到计算器里面去，可用计算器求一元二次方程的根，这样就更加方便了。师：你的想法也很有创意。你可以去考察一下，计算器有没有这种功能，如果没有，你可以向开发商提这个建议。生10；我发现做一件烦琐、单调的工作应该去找窍门，寻找简单的方法。师：对，反复做一件烦琐、单调的工作，就要找窍门，搞革新，寻求简单的方法（甚至交给机器去做），在数学中形成一种习惯，一种追求，这就是公式化思想。题（4）的解就是我们要寻找和研究的公式，给它起个什么名字好？-求根公式（揭示课题）。师：谁来说说求根公式的结构特点？（点评：在接触公式的基础上，进一步分析公式的特点，有利于学生的记忆，也有利于学生思维的开动，同时突破了本节课的难点。）4、运用公式-检验接触师：下面我们再来讨论一元二次方程的解法。例 解方程：师：谁先发表意见？生11：把它化成一元二次方程的标准形式，用公式法来解。（过程略）师：还能用什么方法解这个方程？生12：用因式分解法更简单。师：改为呢？生13：可用公式法解，也可用配方法解，结果是：师：这说明因式分解法有局限性。改为呢？生14：可用公式法解，也可用配方法解，结果是：此方程无实根。师：大家学得很好。通过上述讨论，你还能发现些什么？（学生困惑、期待，教师引导学生观察变式的条件与结果）生15：当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0时，一元二次方程没有实数根。师：你的眼光非常敏锐，你能证明这个结论吗？请大家课后试试。现在请大家用公式法解下列一元二次方程。（点评：应用公式让学生体验成功，再进一步加深对公式的理解）5、反思过程-提升境界师：今天大家运用观察、归纳、演绎、推广、限定等方法，对求根公式有了初步的认识。求根公式形式上虽难看，本质上确是美好的，只要我们了解它、运用它，就会感到它的价值，它的“内秀”。这一公式会告诉我们许多信息；表示它有两个根；= 会显示根的个数及方程的性质通过今天的学习，每个人肯定有许多收获和感想。谁来谈谈今天的收获或感想？生16：我不但认识了求根公式，而且体会到了学习需要交流，这节课我从别人的想法中学到了许多知识。师：说的非常好！讨论、交流是一种重要的学习方式，因为看待同一个事物，不同的人往往有不同的观点，通过交流有利于形成共识，揭示本质。生17：我知道了求根公式的来源与用处。师：我与同学们祝贺你。生18：我觉得学习需要观察与思考，这样才能理解知识、发现新的东西。师：说得好。用眼观察、用脑思考、用手操作、用耳倾听、用口交流，这是学习数学的基本方法。生19：我知道了怎样评论数学解题。师：是的，一个好解法的基本标准是：解法自然、简单，解法巧妙、优美，解法能推广使用等。（三）任务后延-自主研究1、关于的一元二次方程当满足什么条件时，方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？为什么？（可参考有关资料）2、关于的一元二次方程当满足什么条件时，方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？为什么？（可参考有关资料）（来自：初中数学教学案例专题研究，伊红等主编，浙江大学出版社）七、尊重个性差异，因材施教创设适合学生的教学要尊重个体差异，面向有差异的全体学生，满足不同的学习需求，但也要防止不正常的两极分化。每节课都要分别为学习有困难和学有余力的学生设计一定量不同层次要求的问题，分别请他们解决，作业布置应有必做题和选做题等；在习题课、复习课中，可以采用题组教学的形式，每组题由2-3不同要求的问题组成，让学习有困难的学生有机会解决1个，学有余力学生解决多个，并且对相对较易的问题让学习有困难的学生回答，给他们创造展示的机会，激励学习积极性。456030案例5 一道三角函数应用题的分解原题：如图，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45,山腰点D的俯角为60,请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果都不取近似值）30分解1：如图，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30，并测得AD的长度为180米.求山腰上点的铅直高度456030分解2：如图，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30，并测得AD的长度为180米;另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45，山腰点D的俯角为60，求点到山顶点的距离八、合理选择媒体，用其所长辅助教学是它的定位从19世纪末期开始到20世纪上半叶，多媒体教学技术沿着两条不同线索发展而来：一条是以模型、图表及基于视听技术的投影、幻灯、录音、录像等视听媒体及其组合（复合媒体）为特征的视听教学，这种视听教学是认同传统课堂教学的；另一条是在程序教学基础上发展而来的计算机辅助教学，其初衷是实施个别化教学，克服班级授课中不能照顾到每个儿童的需要的弊端。发展到今天，多媒体技术已经显示出它的优越性，比如扩大受教育面、减少教学难度、便于及时巩固、提高教学速度，扩大新知识容量等。“但是技术并不能保证学习的有效性，不恰当地使用技术会阻碍学习。” 那种“机器可以替代教师”的预言始终是难以实现的。使用媒体这只是实现提高教学效益的手段，不是目的。因此，对投影片、小黑板或书面讲义等要因时因内容而使用，有计算机多媒体设备的学校要努力使用新技术，但基本的画图、解题等操作过程，应在黑板上实际操作、书写，增加基本技能的可模仿性等。对多媒体课件在数学教学中的运用的研究文章也比较多，刘兴宝老师在中国数学教育（初中版08.5）中撰文：归纳了多媒体课件辅助教学的优势：激发兴趣，创设愉快氛围，提高学生参与的积极性；呈现过程，突出重点、难点，便于学生理解和掌握；揭示规律，拓展思维的深度，发展学生的思维；扩充信息，增加教学的密度，提高课堂教学的效率。提出了多媒体课件制作的基本原则：直观性原则-就是要让学生一看就明白，一听就清楚；针对性原则-即多媒体课件的设计制作应针对教学内容的特点，突出重点、突破难点，把重点的教学内容用突出的方式加以处理；科学性原则-即要求多媒体课件的制作应充分体现数学学科和数学思维的特点，符合学生的认知规律，符合数学思维过程；艺术性原则-数学多媒体课件的制作要以学生的审美观点为出发点，讲究艺术性，体现数学美。指出了多媒体课件运用的注意事项：注意教学实效，不可随意滥用。在教学中应该体现“优势互补”原则，既发挥多媒体的优势，又发挥教师的主导作用，使多媒体课件的运用恰到好处；注意交互原则，不可主次不分。课堂教学的精髓在于师生交流。因此，教师不能因为多媒体的运用而放弃自身的作用，要利用好多媒体课件的交互功能，设计人机对话，适时对学生进行激励教育，鼓励他们克服困难；注意培养学生的数学素养。等内容。九、培养良好习惯，是学好数学需要也是德育渗透数学是思维的体操，数学更是一门严谨的、逻辑性强的学科。学好数学不仅需要聪明的脑袋，而且更需要严谨的治学态度、良好的学习习惯。因此，在教学中教师要十分重视学生良好的学习习惯的培养，从某种意义上讲，学生的学习习惯培养的好可以弥补我们自己教学上的某些不足。在初中阶段，下面的四种数学学习习惯的培养应作为我们数学教学的明确要求。1、养成良好的预习习惯。“问题是数学的心脏”。通过预习不仅能够了解明天的学习任务，更重要的是通过预习可以发现自己的问题所在。爱因斯坦说过：“发现一个问题比解决一百个问题更重要、更有价值”。预习目标的达成可以通过下列途径自我检测：（1）能否仿照例题解决部分课后习题，（2）能否从不同角度观察题目，适当联系旧知解决例题的变形题，（3）能否提出自己不懂的问题，一定要达到：问题的价值由一般、浅显的向有价值的、有内涵的过渡。2、养成良好的笔记习惯。记笔记不仅帮助学生集中注意力听讲，而且能帮学生深入理解老师的思维过程。笔记也是学生课后学习的最有力助手。记笔记要注意以下几点：（1）记知识的要点。（2）记重点题的思维过程。（3）记一题多解、多题一解的方法。（4）记下难题思路的产生过程、解法和基本图形。3、养成独立作业的习惯。作业是对自己学习的检测，是发现知识掌握程度的有效手段。做作业时一定要先复习当天的内容、知识重点、难点。这样作业时才能有的放矢，效率才能提高。每一位同学都知道抄袭是一种可耻的行为，也是一种自欺欺人的行为。因此我们都要努力去做诚信学习的好学生。4、养成做错题集的好习惯。历届中考、高考状元在介绍自己的学习经验时都谈到错题集对他们的帮助最大。它不仅节省大量的时间，而且很容易发现自己的知识薄弱环节。使得复习更具有针对性、实效性。同时整理错题集也是对以往不理解的知识一种反刍和消化的过程。长期坚持下去你的数学学习就会进入自主的、良性的循环状态，你的数学思维会更清晰、更有条理，研究数学、探究学习的兴趣将会悄悄的来到你身边。对数学特长生来讲，还应该有一个好题集，把一些好的问题、精美的解法、钻研后的心得等记录在旁，不时地拿出来翻一翻，看一看，这对学习将是十分有效的。讲到培养学生做错题集的习惯，我想到了我们的青年教师，处在成长中的青年教师，怎样才能厚积薄发，一条重要的经验就是建立学生错题档案，通过对学生所犯错误的分析，寻找自己教学上的不足，不断丰富自己的教学经验，同时，也有利于复习阶段的查漏补缺，提高教学的针对性和有效性。（记住两句话：优秀是一种习惯；细节决定成败）十、重视校本教研，带着困惑学习带着问题去研究重视学校教研组建设和校本教研，发挥教研组集体的智慧，采用集体备课与个人备课相结合的方式，设计教学思路，领会教学目标。对初中数学教师的两点希望：1带着困惑学习（1）学习数学专业知识，更好地理解数学本质，充分发挥教师的引导作用。（要使自己的底气更足）（2）学习现代教育理论，在现代教育理论指导下，结合自己的经验，选择合适学生发展，同时也促进教师自身发展的教学方法。（要通过数学教学活动引领学生走进数学科学，有一批喜欢数学的学生成为你的得意门生） （3）向优秀教师学习，当教师就要立志当名师,做一位优秀的人民教师。（名师，作为学科教学的第一人，教师群体的领路人，优质教学的监护人，学生求知的引航人，学校形象的代言人，社会关注的知名人，要求有强烈的事业心和献身精神，有广博的知识和较强的业务能力。） （链接：优秀教师是怎样成长起来的？）2带着问题研究日常的课堂教学实践和教学研究的结合是一体化的、有价值的研究主题，而且这恰恰也是一线老师的优势。选择新课程教学中遇到的问题，开展以课例为载体的行动研究，不仅有助于学生更好地成长，而且也有助于每一位老师更好地发展。有人概括说：备课是一种策略研究 ，上课是一种临床研究 ，听课是一种比较研究 ，评课是一种诊断式研究 ，“教后记”是一种反思性研究 ，读书是更新观念、寻求精神支点的研究 。这话说的真有道理。 （链接：教师每日要“十问” ） 金华四中 童桂恒2008年7月16日优秀教师是怎样成长起来的？北京教育科学研究院冉乃彦 一次连续四天的全国优秀青年教师展示课活动中，出现了这样一个奇怪的现象：几乎每天都有不少教师看完做课之后，不听优秀教师介绍自己的成长经历就提前离开了。这种现象可能反映了一些教师没有体悟具体的教学技巧和深层次理念的关系，没有理解优秀教师的成功与艰苦成长过程的关系。我们究竟应该怎样去学习优秀教师？通过与部分优秀教师接触和学习有关资料，从他们的成长过程中，我得到了一些重要的启示。我认为优秀教师尽管各有特点，但几个基础应是他们共有和特别值得我们学习的一、长期、扎实的实践实干是基础所有优秀教师的成功，无一例外地来自长期、扎实的教育实践。被瑶胞称为“圣女”的全国模范教师盘振玉，十六岁就走上讲台，在艰苦的瑶山一干就是二十多年。不但没有一个孩子失学，而且教学成绩一直在全乡名列前茅。这成功的后面是付出：她不但要用双语(汉语普通话和瑶家语)教复式班，而且还要为学生做饭、洗衣服，晚上还要招呼学生起来大小便。特级教师、西南大学教育学院龚春燕教授，“十几年来做过大量的调查，阅读了上千万字的著作，分析过数万个学习个案，统计处理了无数的数据。”苦中能有乐优秀教师和所有教师一样，都承担着艰苦、繁重的工作任务，所不同的是他们能够做到苦中有乐。他们真是“累着，但快乐着”，体验着一种神圣的幸福感。特级教师、北京教科院基础教育研究中心数学教研室主任吴正宪说：“我一上讲台，就融入了学生世界，全身心地投入数学教学之中，其他一切便都忘记了。只有教数学的人被数学的魅力打动了，学习数学的人才能被数学所深深吸引。”青年优秀教师、浙江杭州临平一小蒋军晶说：“我不但没有教师的职业倦怠感，目前我还把这种工作的幸福状态延伸到我的和别人的生活当中。”二、顽强、自觉地学习优秀教师的学习都是自觉的。“学无止境。我先天不足，唯有后天勤奋补上！”为了弥补自己没有经过系统科班学习的缺陷，吴正宪给自己约法三章：“要敢于吃别人不愿意吃的苦，要乐于花别人不愿意花的时间，要敢于下别人不愿下的苦功！”酷爱学习在繁重工作的同时，能够锲而不舍地坚持学习，是优秀教师的另一个共同特点。他们学习的顽强、自觉有时达到了惊人的程度：有的“几年来阅读量达300多万字，记下了20多万字的读书笔记”(特级教师、清华附小副校长窦桂梅，)；有的工资不高，但是“那几年买了近40000元的书”(蒋军晶)；“在最初的几年，我阅读了50多部理论书籍和2000多本教育期刊，撰写了100多万字的笔记。”(特级教师、苏州工业园区第二实验小学副校长徐斌)灵活多样的学习方式他们“随时随地寻找教你的师傅”(蒋军晶)；有的“具有终身学习的理念并且善于学习，家庭被评为全国学习型家庭”，而特级教师、厦门第一中学校长任勇的几种学习方式是：向同行学习；向学生学习；向报刊书籍学习；进修学习；课题学习；学术学习；追踪学习；分阶段有重点地学习；网上学习；传播学习；实践学习；参观学习；”窦桂梅向名师学习，几年来她竟听了校内外1000多节课三、联系实际的思考优秀教师在顽强、自觉学习的基础上，普遍十分重视思考，显著地具有爱思考的品质。正像特级教师于永正所说：“我们的教育需要理性，别让一些非本质因素过多地打扰了教育，比如商业、权威、权力、习惯等-这些已过多地干扰了课堂的方向。理性状态是对教育最好的救助”。而优秀教师的思考又有着自己鲜明的特点：思考紧密联系自己的教学实际优秀教师的思考很少大而无当，无病呻吟，故作深沉。江苏省特级教师邱学华说，“我深信，教育实践是教育理论的源泉，因而我始终没有离开讲台。我的许多新方法、新思想，都是在教育实践过程中萌发出来的。”苏景泰教授评价道：“邱学华在从事教学实践时，从未停止过教学理论研究；同样，他在进行理论探讨时，也从未离开过教学实践岗位。”通过思考，他们对教育理念的理解更加深刻特级教师、成都盐道街中学外语学校副校长李镇西“视教育为心灵的艺术”。他提出“以人格引领人格，以心灵赢得心灵，以思想点燃思想，以自由呼唤自由，以平等造